1、高考资源网（） 您身边的高考专家2.4.2抛物线的几何性质(一)学 习 目 标核 心 素 养1.了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等几何性质(重点)2.会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题(重点、难点)通过抛物线的几何性质的学习，培养学生的直观想象、数学运算素养.1抛物线的几何性质标准方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)图形性质范围x0，yRx0，yRxR，y0xR，y0对称轴x轴y轴顶点(0,0)离心率e1思考：参数p对抛物线开口大小有何影响？提示参数p(p0)对抛物线开口大小有影响，因为过抛物线的焦点F且垂直于对称轴的弦的长度是2p，所
2、以p越大，开口越大2焦点弦设过抛物线焦点的弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则：y22px(p0)|AB|x1x2py22px(p0)|AB|p(x1x2)x22py(p0)|AB|y1y2px22py(p0)|AB|p(y1y2)1设抛物线y28x上一点P到y轴的距离是6，则点P到该抛物线焦点F的距离是()A8B6C4D2A抛物线的方程为y28x，其准线l的方程为x2，设点P(x0，y0)到其准线的距离为d，则d|PF|，即|PF|dx0(2)x02，点P到y轴的距离是6，x06，|PF|628.2顶点在原点，对称轴为y轴，顶点到准线的距离为4的抛物线方程是 ()Ax216y B
3、x28yCx28y Dx216yD顶点在原点，对称轴为y轴的抛物线方程有两个：x22py，x22py(p0)由顶点到准线的距离为4知p8，故所求抛物线方程为x216y，x216y.3已知抛物线y22px(p0)的焦点F，点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)、P3(x3，y3)在抛物线上，且2x2x1x3，则有()A|FP1|FP2|FP3|B|FP1|2|FP2|2|FP3|2C|FP1|FP3|2|FP2|D|FP1|FP3|FP2|2C由抛物线定义知|FP1|x1，|FP2|x2，|FP3|x3，|FP1|FP3|2|FP2|，故选C.由抛物线的几何性质求标准方程【例1】抛物线的顶点在
4、原点，对称轴重合于椭圆9x24y236短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，求抛物线的方程及抛物线的准线方程思路探究解答本题可先确定椭圆的短轴，从而确定抛物线的焦点位置，再写出标准方程即可解椭圆的方程可化为1，其短轴在x轴上，抛物线的对称轴为x轴，设抛物线的方程为y22px或y22px(p0)抛物线的焦点到顶点的距离为3，即3，p6，抛物线的标准方程为y212x或y212x，其准线方程分别为x3和x3.用待定系数法求抛物线方程的步骤1已知双曲线方程是1，求以双曲线的右顶点为焦点的抛物线的标准方程及抛物线的准线方程解因为双曲线1的右顶点坐标为(2，0)，所以2，且抛物线的焦点在x轴正半轴上
5、，所以所求抛物线方程为y28x，其准线方程为x2.抛物线几何性质的应用【例2】已知抛物线y28x.(1)求出该抛物线的顶点、焦点、准线、对称轴、变量x的范围；(2)以坐标原点O为顶点，作抛物线的内接等腰三角形OAB，|OA|OB|，若焦点F是OAB的重心，求OAB的周长思路探究(1)利用抛物线对应性质的公式求解；(2)利用抛物线的对称性即重心的性质求解解(1)抛物线y28x的顶点、焦点、准线、对称轴、变量x的范围分别为(0,0)，(2,0)，x2，x轴，x0.(2)如图所示由|OA|OB|可知ABx轴，垂足为点M，又焦点F是OAB的重心，则|OF|OM|.因为F(2,0)，所以|OM|OF|3
6、，所以M(3,0)，故设A(3，m)代入y28x得m224，所以m2或m2，所以A(3,2)，B(3，2)，所以|OA|OB|，所以OAB的周长为24.抛物线的几何性质在解与抛物线有关的问题时具有广泛的应用，但是在解题的过程中又容易忽视这些隐含的条件.本题的关键是根据抛物线的对称性和正三角形的性质证明A，B两点关于x轴对称.另外，抛物线方程中变量x，y的范围也是常用的几何性质. 2正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y22px(p0)上，求这个正三角形的边长. 解如图所示，设正三角形OAB的顶点A，B在抛物线上，且坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y2px1，y2
7、px2.又OAOB，所以xyxy，即xx2px12px20，整理得(x1x2)(x1x22p)0.x10，x20,2p0，x1x2，由此可得|y1|y2|，即线段AB关于x轴对称由此得AOx30，所以y1x1，与y2px1联立，解得y12p.|AB|2y14p.焦点弦问题探究问题以抛物线y22px(p0)为例，回答下列问题：(1)过焦点F的弦长|AB|如何表示？还能得到哪些结论？提示|AB|2(焦点弦长与中点关系)|AB|x1x2p(为AB的倾斜角)A，B两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即x1x2，y1y2p2.SAOB.(定值)A1FB190.(2)以AB为直径的圆与直线l具有怎样的位置
8、关系？提示如图，AB是过抛物线y22px(p0)焦点F的一条弦，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点M(x0，y0)，相应的准线为l.所以以AB为直径的圆必与准线l相切【例3】已知抛物线方程为y22px(p0)，过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于A，B两点，且|AB|p，求AB所在直线的方程思路探究根据弦长求出直线斜率，进而求得直线方程解过焦点的弦长|AB|p，弦所在的直线的斜率存在且不为零，设直线AB的斜率为k，且A(x1，y1)，B(x2，y2)y22px的焦点为F.直线方程为yk.由整理得k2x2(k2p2p)xk2p20(k0)，x1x2，|AB|x1x2pp，又|AB|p
9、，pp，k2.所求直线方程为y2或y2.1(改变问法)本例条件不变，求弦AB的中点M到y轴的距离解设AB中点为M(x0，y0)，由例题解答可知2x0x1x2p，所以AB的中点M到y轴的距离为p.2(变换条件)本例中，若A、B在其准线上的射影分别为A1，B1，求A1FB1.解由例题解析可知AB的方程为yk，即xy，代入y22px消x可得y2yp2，即y2yp20，y1y2p2，由A1点的坐标为，B1点的坐标为，得kA1F，kB1F.kA1FkB1F1，A1FB190.解决过焦点的直线与抛物线相交有关的问题时，一是注意直线方程和抛物线方程联立得方程组，再结合根与系数的关系解题，二是注意焦点弦长、焦
10、半径公式的应用.解题时注意整体代入思想的运用，简化运算. 1思考辨析(1)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形()(2)AB为抛物线y22px(p0)的过焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，y1y2p2，弦长|AB|x1x2p.()(3)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫作抛物线的通径，那么抛物线x22ay(a0)的通径长为2a.()提示(1)抛物线是轴对称图形，但不是中心对称图形(2)(3)2在抛物线y216x上到顶点与到焦点距离相等的点的坐标为()A(4，2)B(4，2)C(2,4) D(2，4)D抛物线y216x的顶点O(0,0)，焦点F(4,0)，设P(x，y)符合题意，则有所以符合题意的点为(2，4)3设O为坐标原点，F为抛物线y24x的焦点，A是抛物线上一点，若4，则点A的坐标是()A(2，2) B(1，2)C(1,2) D(2,2)B由题意知F(1,0)，设A，则，由4得y02，点A的坐标为(1，2)，故选B.4已知抛物线C：y28x的焦点为F，P是C上一点，若P在第一象限，|PF|8，则点P的坐标为_(6,4)抛物线的焦点为F(2,0)，设点P的坐标为(x0，y0)，则|PF|x028，所以x06，所以y04，即P(6,4)- 9 - 版权所有高考资源网
