1、本册学业质量标准检测(一)时间120分钟，满分150分。一、选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1在空间四边形OABC中，等于(C)ABCD解析根据向量的加法、减法法则，得.故选C2若命题p：0是偶数，命题q：2是3的约数则下列命题中为真的是(B)Ap且qBp或qC非pD非p且非q解析命题p：0是偶数为真命题命题q：2是3的约数为假命题，则p且q为假命题，p或q为真命题，非p为假命题，非p且非q为假命题，故选B3下列说法中正确的是(B)A“x5”是“x3”的必要条件B命题“xR，x210”的否定是“xR，x210”CmR，使函数f(
2、x)x2mx(xR)是奇函数D设p、q是简单命题，若pq是真命题，则pq也是真命题解析命题“xR，x210”的否定是“xR，x210”，故选B4(山西太原市20182019学年高二期末)已知空间直角坐标系中点P(2,1,3)，若在z轴上取一点Q，使得|PQ|最小，则点Q的坐标为(C)A(0,0,1)B(0,0,2)C(0,0,3)D(0,1,0)解析因为P(2,1,3)，若在z轴上取一点Q，使得|PQ|最小，只需PQz轴，所以Q点竖坐标为3，故点Q的坐标为(0,0,3)故选C5设p：2x23x10，q：x2(2a1)xa(a1)0，若p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是(A)A0，B(
3、0，)C(，0，)D(，0)(，)解析由2x23x10，得x1，p为x1，由x2(2a1)xa(a1)0得axa1，q为xa1.若p是q的必要不充分条件，应有或所以0a.故选A6如图所示，椭圆的中心在原点，焦点F1、F2在x轴上，A、B是椭圆的顶点，P是椭圆上一点，且PF1x轴，PF2AB，则此椭圆的离心率是(B)ABCD解析点P的坐标(c，)，于是kAB，kPF2，由kABkPF2得b2c，故e.7已知a、b是两异面直线，A、Ba，C、Db，ACb，BDb且AB2，CD1，则直线a、b所成的角为(B)A30B60C90D45解析由于，()21.cos，60，故选B8在三棱锥PABC中，ABB
4、C，ABBCPA，点O、D分别是AC、PC的中点，OP底面ABC，则直线OD与平面PBC所成角的正弦值为(D)ABCD解析OP平面ABC，OAOC，ABBC，OAOB，OAOP，OBOP.以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.设ABa，则A(a,0,0)、B(0，a,0)、C(a,0,0)设OPh，则P(0,0，h)，PA2a，ha.(a,0，a)由条件可以求得平面PBC的法向量n(1,1，)，cos，n.设OD与平面PBC所成的角为，则sin|cos，n|.二、多项选择题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，有选错
5、的得0分，部分选对的得3分)9已知A、B、C三点不共线，对于平面ABC外的任一点O，下列条件中能确定点M与点A、B、C一定共面的是(BD)AB3CD解析若点M与点A、B、C一定共面，则xyz且xyz1，故选BD10已知曲线C的方程为1，给定下列两个命题：p：若k3，则曲线C为双曲线；q：若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则3k4，其中是假命题的是(ACD)ApqBp(q)C(p)qD(p)(q)解析若k0，所以直线和曲线有两个公共点，所以该选项正确三、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13已知双曲线1(a0，b0)的一条渐近线为yx，则此双曲线的离心率为_.
6、解析由题意知，e2，e.14已知在空间四边形OABC中，a、b、c，点M在OA上，且OM3MA，N为BC中点，用a、b、c表示，则_abc_.解析显然()bca.15椭圆1的左、右焦点分别为F1，F2，过焦点F1的直线交该椭圆于A，B两点，若ABF2的内切圆面积为，A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则ABF2的面积S_4_，|y1y2|的值为_.解析椭圆1的左、右焦点分别为F1，F2，a2，b2，c2，过焦点F1的直线交该椭圆于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，ABF2的内切圆面积为，ABF2内切圆半径r1.ABF2面积S1(ABAF2BF2)2a4，ABF2面积S|
7、y1y2|2c|y1y2|224，|y1y2|.故答案为.16过二面角l内一点P作PA于A，作PB于B，若PA5，PB8，AB7，则二面角l的度数为_120_.解析设a，b，由条件知|a|5，|b|8，|7，AB2|2|ba|2|b|2|a|22ab64252ab49，ab20，cosa，b，a，b60，二面角l为120.四、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)已知p：关于x的方程x22axa20有实数根，q：mam2.(1)若p是q的必要非充分条件，求实数m的取值范围；(2)若m1时，“pq”是真命题，求实数a的取值范围解析(1
8、)p为真(2a)24(a2)0a2a20a2或a1由p是q的必要非充分条件可得m，m2是(，12，)的真子集，所以m21或m2.即m3或m2.(2)当m1时，q：1a1，由“pq”是真命题，可知p真或q真即a2或a1，或1a1实数a的取值范围是a2或a1.18(本小题满分12分)(2019年黑龙江省学业水平考试)如图，已知直线l与抛物线y2x相交于A(x1，y1)B(x2，y2)两点，O为坐标原点，直线l与x轴相交于点M，且y1y21.(1)求证：OAOB；(2)求点M的横坐标；(3)过A，B点分别作抛物线的切线，两条切线交于点Q，求kQMkAB.解析证明：(1)设直线的方程为：xmyt，代入
9、抛物线y2x，可得：y2myt0，由A(x1，y1)，B(x2，y2)，y1y21，可得y1y2m，y1y2t1，t1，由x1x2(y1y2)21，可得x1x2y1y2(y1y2)2y1y2110，可得0，即：OAOB；(2)由直线xmyt，令y0，可得x1，即点M的横坐标为1；(3)由y2x，两边对x求导，可得2yy1，即y，可得A处切线的斜率为，切线方程为：yy1(xx1)，由yx1，yx2，可得y1y(xx1)同理可得：B处切线方程为y2y(xx2)由可得：y，xy1yx1my1y(y1y2)y1yy1y21，故Q(1，)，可得：kQMkAB.19(本小题满分12分)设双曲线C：y21(
10、a0)与直线l：xy1相交于两个不同的点A、B.(1)求双曲线C的离心率e的取值范围；(2)设直线l与y轴的交点为P，且，求a的值解析(1)由C与l相交于两个不同的点，故知方程组，有两组不同的实数解，消去y并整理得(1a2)x22a2x2a20.所以，解得0a且a1，双曲线的离心率e，0a，且e，即离心率e的取值范围为(，)(，)(2)设A(x1，y1)、B(x2，y2)、P(0,1)，(x1，y11)(x2，y21)由此得x1x2，由于x1、x2都是方程的根，且1a20，所以x2，x.消去x2得，.由a0，所以a.20(本小题满分12分)(2019全国卷理，19)图是由矩形ADEB，RtAB
11、C和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB1，BEBF2，FBC60.将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连接DG，如图.(1)证明：图中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC平面BCGE；(2)求图中的二面角BCGA的大小解析(1)证明：由已知得ADBE，CGBE，所以ADCG，所以AD，CG确定一个平面，从而A，C，G，D四点共面由已知得ABBE，ABBC，且BEBCB，所以AB平面BCGE.又因为AB平面ABC，所以平面ABC平面BCGE.(2)解：作EHBC，垂足为H.因为EH平面BCGE，平面BCGE平面ABC，且交于BC所以EH平面ABC.由已知，菱形BCGE的边长为2，EB
12、C60，可求得BH1，EH.以H为坐标原点，的方向为x轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Hxyz，则A(1,1,0)，C(1,0,0)，G(2,0，)，(1,0，)，(2，1,0)设平面ACGD的法向量为n(x，y，z)，则即所以可取n(3,6，)又平面BCGE的法向量可取m(0,1,0)，所以cosn，m.因此二面角BCGA的大小为30.21(本小题满分12分)如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ADAB，ABDC，ADDCAP2，AB1，点E为棱PC的中点(1)证明：BEDC；(2)求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；(3)若F为棱PC上一点，满足BFAC，求二面角FAB
13、P的余弦值解析解法一：依题意，以点A为原点建立空间直角坐标系(如图)，可得B(1,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，由E为棱PC的中点， 得E(1,1,1)(1)(0,1,1)、(2,0,0)，故0，所以BEDC.(2)(1,2,0)、(1,0，2)，设n(x，y，z)为平面PBD的法向量，则，即，不妨令y1，可得n(2,1,1)为平面PBD的一个法向量，于是有cosn，.所以，直线BE与平面PBD所成角的正弦值为.(3)向量(1,2,0)，(2，2,2)，(2,2,0)，(1,0,0)，由点F在棱PC上，设，01.故(12，22，2)，由BFAC，得0，因此，2
14、(12)2(22)0，解得，即(，)设n1(x1，y1，z1)为平面FAB的法向量，则，即，不妨令z11，可得n1(0，3,1)为平面FAB的一个法向量，取平面ABP的法向量n2(0,1,0)，则cosn1，n2.易知，二面角FABP是锐角，所以其余弦值为.解法二：(1)证明：如图，取PD中点M，连接EM、AM.由于E、M分别为PC、PD的中点，故EMDC，且EMDC，又由已知，可得EMAB且EMAB，故四边形ABEM为平行四边形，所以BEAM.因为PA底面ABCD，故PACD，又CDDA，PADAA，从而CD平面PAD，因为AM平面PAD，于是CDAM，又BEAM，所以BECD.(2)连接B
15、M，由(1)有CD平面PAD，得CDPD，而EMCD，故PDEM，又因为ADAP，M为PD的中点，故PDAM，可得PDBE，所以PD平面BEM，故平面BEM平面PBD，所以，直线BE在平面PBD内的射影为直线BM，而BEEM，可得EBM为锐角，故EBM为直线BE与平面PBD所成的角依题意，有PD2，而M为PD中点，可得AM，进而BE，故在直角三角形BEM中，tanEBM，因此sinEBM.所以，直线BE与平面PBD所成角的正弦值为.(3)如图，在PAC中，过点F作FHPA交AC于点H，因为PA底面ABCD，故FH底面ABCD，从而FHAC，又BFAC，得AC平面FHB，因此ACBH，在底面AB
16、CD内，可得CH3HA，从而CF3FP.在平面PDC内，作FGDC交PD于点G，于是DG3GP，由于DCAB，故GFAB，所以A、B、F、G四点共面，由ABPA，ABAD，得AB平面PAD，故ABAG，所以PAG为二面角FABP的平面角在PAG中，PA2，PGPD，APG45，由余弦定理可得AG，cosPAG.所以，二面角FABP的余弦值为.22(本小题满分12分)(20192020学年湖南师大附中高二期中)已知椭圆C：1(ab0)的右焦点为F，离心率为，P是椭圆C上位于第一象限内的任意一点，O为坐标原点，P关于O的对称点为P，|PF|PF|4，圆O：x2y2b2. (1)求椭圆C和圆O的标准
17、方程；(2)过点P作PT与圆O相切于点T，使得点F，点T在OP的两侧求四边形OFPT面积的最大值解析(1)设椭圆左焦点为F，连接PF，PF，因为|PO|PO|，|OF|OF|, 所以四边形PFPF为平行四边形，所以|PF|PF|PF|PF|2a4，所以a2，又离心率为，所以c，b1.故所求椭圆C的标准方程为y21，圆O的标准方程x2y21.(2)设P(x0，y0)(x00，y00)，则y1，故y1.所以|TP|2|OP|2|OT|2xy1x，所以|TP|x0，所以SOTP|OT|TP|x0.又O(0,0)，F(，0)，所以SOFP|OF|y0y0.故S四边形OFPTSOFPSOTP.由y1，得2y1，即x0y01，所以S四边形OFPT，当且仅当y，即x0，y0时等号成立
