1、第三章空间向量与立体几何向量是一种重要的数学工具，它不仅在解决几何问题中有着广泛的应用，而且在物理学、工程科学等方面也有着广泛的应用，如鸟巢体育场的钢结构、北斗卫星定位系统示意图等本章是在必修2中学习了立体几何初步以及必修4中学习了平面向量的基础上，学习空间向量及其运算，把平面向量推广到空间向量，并利用空间向量的运算解决有关的立体几何问题由于空间向量具有代数形式与几何形式的“双重身份”，使之成为中学数学知识的一个交汇点学习目标1空间向量及其运算(1)了解空间向量的概念、空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示(2)掌握空间向量的线性运算及其坐标表示(3)掌握空间向量的数量积
2、及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直2空间向量的应用 (1)理解直线的方向向量与平面的法向量(2)能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系(3)能用向量方法证明有关线面位置关系的一些定理(包括三垂线定理)(4)能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角计算问题，了解向量方法在研究立体几何问题中的应用本章重点空间向量的基本概念和基本运算；以空间向量为工具判断或证明立体几何中的线面位置关系；求空间角和空间的距离本章难点用空间向量表示点、直线、平面的位置；用空间向量的运算表示空间直线与平面间的平行、垂直关系以及夹角的大小等；用空间向量解决立体几何问题3.1空间向
3、量及其运算3.1.1空间向量及其加减运算 3.1.2空间向量的数乘运算自主预习探新知情景引入1987年11月台湾开放台胞来大陆探亲，开始时要从香港绕道，比如从台北到上海的路径是：台北香港上海.2008年7月开始两岸直航后，从台北到上海的路径是：台北上海如果把台北香港的位移记为向量a，香港上海的位移记为向量b，台北上海的位移记为向量c，那么ab与c有怎样的关系呢？新知导学1空间向量(1)定义：在空间，具有_大小_和_方向_的量叫做空间向量(2)长度或模：向量的_大小_.(3)表示方法：几何表示法：空间向量用_有向线段_表示；字母表示法：用字母a，b，c，表示；若向量的起点是A，终点是B，也可记作
4、：_，其模记为_|a|_或_|_.2几类常见的空间向量名称方向模记法零向量_任意_0_0_单位向量任意_1_相反向量_相反_相等a的相反向量：_a_的相反向量：_相等向量相同_相等_ab3空间向量的加减法和运算律(1)加法：_ab.(2)减法：_ab.(3)加法运算律：交换律：ab_ba_；结合律：(ab)c_a(bc)_.4空间向量的数乘运算(1)定义：实数与空间向量a的乘积a仍然是一个_向量_，称为向量的数乘运算(2)向量a与a的关系：的范围方向关系模的关系0方向_相同_a的模是a的模的_|_倍0a_0_其方向是任意的0方向_相反_(3)空间向量的数乘运算律：分配律：(ab)_ab_；结合
5、律：(a)_()a_5平行(共线)向量与共面向量平行(共线)向量共面向量定义位置关系表示空间向量的有向线段所在的直线的位置关系：_互相平行或重合_平行于同一个_平面_的向量特征方向_相同或相反_特例零向量与_任意向量_共线充要条件对空间任意两个向量a，b(b0)，ab的充要条件是存在实数，使_ab_向量p与不共线向量a，b共面的充要条件是存在_唯一_的有序实数对(x，y)使_pxayb_推论对空间任意一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t满足等式_ta_，向量a为直线l的_方向向量_或在直线l上取向量a，则_t_点P位于平面ABC内的充要条件是存在有序实数对(x，y)，使_xy_或对空间
6、任意一点O，有_xy_预习自测1下列命题中，假命题的是(D)A向量与的长度相等B两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同C只有零向量的模等于0D在同一条直线上的单位向量都相等解析在同一条直线上的单位向量方向可能相同，也可能相反2下列命题中正确的是(C)A若a与b共线，b与c共线，则a与c共线B向量a、b、c共面即它们所在的直线共面C零向量没有确定的方向D若ab，则存在唯一的实数，使ab解析由零向量定义知选C而A中b0，则a与c不一定共线；D中要求b0；B中a，b，c所在的直线可能异面3化简下列各式：(1)；(2)；(3).结果为零向量的个数是(D)A0个B1个C2个D3个解析对于(1)，0；对
7、于(2)，0；对于(3)，()()0.4(内蒙古赤峰市宁城县20192020学年高二期末)在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，点M为AC与BD的交点，a，b，c则下列向量中与相等的是(A)AabcBabcCabcDabc解析因为利用向量的运算法则：三角形法则、平行四边形法则表示出c()cab，选A5已知A、B、C三点不共线，O是平面ABC外任一点，若由确定的一点P与A、B、C三点共面，则_.解析由P与A、B、C三点共面，1，解得.互动探究攻重难互动探究解疑命题方向空间向量的有关概念典例1(1)给出下列命题：单位向量没有确定的方向；空间向量是不能平行移动的；有向线段可用来表示空间向量，有向线
8、段长度越长，其所表示的向量的模就越大；如果两个向量不相同，那么它们的长度也不相等其中正确的是 (C)ABC D(2)如图，在以长、宽、高分别为AB4，AD2，AA11的长方体ABCDA1B1C1D1中的八个顶点的两点为起点和终点的向量中，单位向量共有_8_个，模为的所有向量为_，_.思路分析(1)依据空间向量的基本概念逐一进行分析；(2)单位向量的模为1，根据长方体的左右两侧的对角线长均为写出相应向量规范解答(1)正确，单位向量的方向是任意的错误，空间向量可以平行移动正确，向量的模可以比较大小，有向线段长度越长，其所表示的向量的模就越大错误，如果两个向量不相同，它们的长度可以相等(2)由于长方
9、体的高为1，所以长方体的4条高所对应的向量，共8个单位向量而其余向量模均不为1，故单位向量共8个长方体的左、右两侧面的对角线长均为，故模为的向量有，.规律总结处理向量概念问题需注意两点向量：判断与向量有关的命题时，要抓住向量的大小与方向，两者缺一不可单位向量：方向虽然不一定相同，但长度一定为1.跟踪练习1_如图所示，以长方体ABCDA1B1C1D1的八个顶点的两点为始点和终点的向量中(1)试写出与相等的所有向量；(2)试写出的相反向量；(3)若ABAD2，AA11，求向量的模解析(1)与向量相等的所有向量(除它自身之外)有，及共3个(2)向量的相反向量为，.(3)|22229|3.命题方向空间
10、向量的加减运算典例2如图，已知长方体ABCDABCD，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量(1)；(2).思路分析(1)分析题意，将等价转化为，转化为，平行四边形法则得出结论(2)应用平行四边形法则先求，再应用三角形法则求.规范解答(1).(2)().向量、如图所示规律总结化简向量表达式主要是利用平行四边形法则或三角形法则进行化简，在化简过程中遇到减法时可灵活应用相反向量转化成加法，也可按减法法则进行运算，加减法之间可相互转化跟踪练习2_(山东潍坊20182019学年高二期末)已知四棱锥PABCD的底面ABCD是平行四边形，设a，b，c，则(B)AabcBabcCabcDabc解析如
11、图所示，四棱锥PABCD的底面ABCD是平行四边形，a，b，c，则()abc.故选B命题方向空间向量的数乘运算典例3已知四边形ABCD为正方形，P是ABCD所在平面外一点，P在平面ABCD上的射影恰好是正方形ABCD的中心O.Q是CD的中点，求下列各式中x、y的值：(1)xy；(2)xy.思路分析由题目可以获取以下主要信息：四边形ABCD是正方形，O为中心，PO平面ABCD，Q为CD中点；用已知向量表示指定向量解答本题需先画图，利用三角形法则或平行四边形法则表示出指定向量，再根据对应向量的系数相等，求出x、y即可规范解答如图，(1)()，xy.(2)2，2.又2，2.从而有2(2)22.x2，
12、y2.规律总结1.用已知向量表示未知向量是一项重要的基本功，直接关系到本章学习的成败，应认真体会，并通过训练掌握向量线性运算法则和运算律2空间向量的数乘运算定义，运算律与平面向量一致跟踪练习3_如图所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，设a，b，c，M、N、P分别是AA1、BC、C1D1的中点，试用a、b、c表示以下各向量：(1)；(2)；(3).解析(1)P是C1D1的中点，aacacb.(2)N是BC的中点，abababc.(3)M是AA1的中点，a(acb)abc.又ca，(abc)(ac)abc.命题方向共线向量典例4如图所示，ABCDABEF都是平行四边形，且不共面，M、N分
13、别是AC、BF的中点，判断与是否共线？思路分析要判断与是否共线，由共线向量定理就是判定是否存在实数，使.若存在，则与共线，否则与不共线规范解答M、N分别是AC、BF的中点，而四边形ABCD、ABEF都是平行四边形，.又，.22()2，即与共线规律总结1.判断向量共线的策略(1)熟记共线向量充要条件：ab，b0，则存在唯一实数使ab；若存在唯一实数，使ab，b0，则ab.(2)判断向量共线的关键是找到实数.2证明空间三点共线的三种思路对于空间三点P、A、B可通过证明下列结论来证明三点共线(1)存在实数，使成立(2)对空间任一点O，有t(tR)(3)对空间任一点O，有xy(xy1)跟踪练习4_e1
14、，e2为不共线的非零向量，如果a4e1e2，be1e2，试判断a，b是否共线解析a4e1e2，be1e2，a4(e1e2)4b，a，b为共线向量命题方向共面问题典例5正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N、P、Q分别为A1D1、D1C1、AA1、CC1的中点，用向量方法证明M、N、P、Q四点共面思路分析要证M、N、P、Q四点共面，只需证明、共面，即寻求实数、k，使得k0.为此，令a，b，c，将、都用a、b、c线性表示，再寻求它们系数之间关系或者令，建立、的方程组解之规范解答令a，b，c，M、N、P、Q均为棱的中点，ba，ac，abc.令，则abc()abc，.2，因此向量、共面，四点M、N、
15、P、Q共面规律总结1.证明点P在平面ABC内，可以用xy，也可以用xy，若用xyz，则必须满足xyz1.2判定三个向量共面一般用pxayb，证明点线共面常用xy，证明四点共面常用xyz(其中xyz1)跟踪练习5_如图，已知E、F、G、H分别为空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，用向量法证明E、F、G、H四点共面思路分析要证E、F、G、H四点共面，根据共面向量定理，只需探求存在实数x，y，使xy成立解析如图，连接BG、EG，则，()，所以().由共面向量定理的推论知E、F、G、H四点共面学科核心素养 空间向量的线性运算在立体几何中的应用(1)立体几何中的线线平行可转化为两向量的平
16、行，即证明两向量具有数乘关系即可证明线面平行、面面平行均可转化为证明线线平行，然后根据空间向量的共线定理进行证明特别地，线面平行可转化为该直线的方向向量能用平面内的两个不共线向量表示(2)在学习空间向量后，求解立体几何问题又增加了新的思路和方法利用向量证明平行的关键是构造向量之间的线性关系(3)解题时，应结合已知和所求，观察图形，联想相关的运算法则和公式，就近表示所需向量，再对照条件，将不符合要求的向量用新形式表示，如此反复，直到所有向量都符合目标要求为止典例6如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且BMBD，ANAE.求证：MN平面CDE
17、.思路分析根据共面向量定理，证明向量平面CDE内两个不共线的向量共面即说明MN平面CDE.规范解答点M在BD上，且BMBD，.同理，.由于与不共线，根据向量共面的充要条件可知，共面因为MN不在平面CDE内，所以MN平面CDE.规律总结解答本题要注意向量共面与直线平行于平面的联系与区别，如果没有充分理解定义、定理的实质，本题容易漏掉MN不在平面CDE内而致错跟踪练习6_已知AB，CD是异面直线，CD，AB，M，N分别是AC，BD的中点求证MN.思路分析运用共面向量定理先证出与平面内两个不共线的向量共面，进而说明MN.证明因为CD，AB，且AB，CD是异面直线，所以在平面内存在向量a，b，使得a，b，且两个向量不共线由M，N分别是AC，BD的中点，得()()(ab)所以，a，b共面，所以MN或MN.若MN，则AB，CD必在平面内，这与已知AB，CD是异面直线矛盾故MN.易混易错警示 典例7如图所示，已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N分别为OA，BC的中点，点G在线段MN上，且2，若xyz，则x，y，z的值分别为_，_.错解因为M为OA的中点，所以，因为2，所以，所以OM()()所以x，y，z的值分别为，.辨析错误的根本原因是空间向量的数乘运算与加法运算的几何意义综合应用不当实际上，本题中由N是BC的中点知()正解M为OA中点，M()x，y，z的值为，.
