1、第二章 统计 2.2 用样本估计总体 2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征 学 习 目 标核 心 素 养 1会求样本的众数、中位数、平均数、标准差、方差(重点)2理解用样本的数字特征来估计总体数字特征的方法(重点)3会应用相关知识解决实际统计问题(难点)1通过数字特征的计算，提升数学运算素养2借助实际统计问题的应用，培养数学建模素养.自 主 预 习 探 新 知 1众数、中位数、平均数的概念(1)众数：一组数据中 的数(2)中位数：一组数据按大小顺序排列后，处于 位置的数如果个数是偶数，则取 两个数据的平均数(3)平均数：一组数据的 除以数据个数所得到的数出现次数最多中间中间和2三种数
2、字特征的比较名称优点缺点 众数体现了样本数据的最大集中点；容易计算它只能表达样本数据中很少的一部分信息；无法客观地反映总体的特征中位数不受少数几个极端数据(即排序靠前或靠后的数据)的影响；容易计算，便于利用中间数据的信息对极端值不敏感平均数代表性较好，是反映数据集中趋势的量一般情况下，可以反映出更多的关于样本数据全体的信息任何一个数据的改变都会引起平均数的改变数据越“离群”，对平均数的影响越大3.标准差、方差的概念与计算公式(1)标准差：标准差是样本数据到平均数的一种，一般用 s 表示，s .平均距离1nx1x2x2x2xn x2(2)方差：标准差的平方 s2 叫做方差s2 其中，xn 是，n
3、 是，x是1n(x1x)2(x2x)2(xnx)2样本平均数样本数据样本容量思考：在统计中，计算方差的目的是什么？提示 方差与标准差描述了一组数据围绕平均数波动的大小，其值越大，数据离散程度越大，当其值为 0 时，说明样本各数据相等，没有离散性1为评估一种农作物的种植效果，选了 n 块地作试验田这 n块地的亩产量(单位：kg)分别为 x1，x2，xn，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是()Ax1，x2，xn 的平均数Bx1，x2，xn 的标准差Cx1，x2，xn 的最大值Dx1，x2，xn 的中位数B 标准差能反映一组数据的稳定程度2数据 101,98,102,100,9
4、9 的标准差为()A.2 B0C1D2A x15(1019810210099)100.s15101100298100210210021001002991002 2.3 10名 工 人 某 天 生 产 同 一 零 件，生 产 的 件 数 是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12，设其平均数为 a，中位数为 b，众数为c，则有()AabcBbcaCcabDcbaD 将数据从小到大排列为 10,12,14,14,15,15,16,17,17,17，则中位数 b15，众数 c17.平均数 a 110(101214215216173)14.7.显然 abx 甲x 丁，且 s2甲s2乙
5、s2丙0.5，所以样本数据的中位数是 1 5000.50.10.20.000 51 900(元)(3)样本平均数为(7500.000 21 2500.000 41 7500.000 5 2 2500.000 5 2 7500.000 3 3 2500.000 1)500 1 900(元)1(变条件)某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出 80名学生，其数学成绩(均为整数)的频率分布直方图如图所示(1)求这次测试数学成绩的中位数(2)求这次测试数学成绩的平均分解(1)由图知，设中位数为 x，由于前三个矩形面积之和为 0.4，第四个矩形面积为 0.3,0.30.40.5，因此中位数位于第四个矩
6、形内，得 0.10.03(x70)，所以 x73.3.(2)由图知这次数学成绩的平均分为：405020.00510506020.01510607020.0210708020.0310809020.025109010020.0051072.2(变结论)本例条件不变(1)若再从这 10 000 人中用分层抽样的方法抽出若干人，分析居民收入与幸福指数的关系，已知月收入在2 000，2 500)内的抽取了 40人则月收入在3 000，3 500内的该抽多少人？(2)根据频率分布直方图估计样本数据的众数解(1)因为(0.000 20.000 40.000 30.000 1)5000.5.所以 a 0.5
7、1 0000.000 5.故月收入在2 000,2 500)内的频率为 0.000 55000.25.新抽样本容量为 400.25160(人)月收入在3 000,3 500内的该抽：160(0.000 1500)8(人)(2)由图知众数为 2 000 元用频率分布直方图估计众数、中位数、平均数(1)众数：取最高小长方形底边中点的横坐标作为众数(2)中位数：在频率分布直方图中，把频率分布直方图划分为左右两个面积相等的部分的分界线与 x 轴交点的横坐标称为中位数(3)平均数：平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和课 堂 小 结 提 素
8、养 1一组数据中的众数可能不止一个，中位数是唯一的，求中位数时，必须先排序2利用频率分布直方图求数字特征(1)众数是最高的矩形的底边的中点(2)中位数左右两边直方图的面积应相等(3)平均数等于每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和3标准差的平方 s2 称为方差，有时用方差代替标准差测量样本数据的离散程度方差与标准差的测量效果是一致的，在实际应用中一般多采用标准差1判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)在一组样本数据中，众数一定是唯一的()(2)中位数是样本数据中最中间的那个数()(3)方差的值越小，数据的离散程度越小()答案(1)(2)(3)2下列说法中，不正确的是()
9、A数据 2,4,6,8 的中位数是 4,6B数据 1,2,2,3,4,4 的众数是 2,4C一组数据的平均数、众数、中位数有可能是同一个数据D8 个数据的平均数为 5，另 3 个数据的平均数为 7，则这 11个数据的平均数是857311A 数据 2、4、6、8 的中位数为462 5，A 错，B、C、D 都是正确的3一组样本数据 a,3,5,7 的平均数是 b，且 a，b 是方程 x25x40 的两根，则这个样本的方差是()A3 B4C5D6C x25x40 的两根为 1,4，当 a1 时，a,3,5,7 的平均数是4；当 a4 时，a,3,5,7 的平均数不是 1，所以 a1，b4，s25.4
10、某校高二年级在一次数学选拔赛中，由于甲、乙两人的竞赛成绩相同，从而决定根据平时在相同条件下进行的六次测试确定出最佳人选，这六次测试的成绩数据如下：甲127138130137135131 乙133129138134128 136 求两人比赛成绩的平均数以及方差，并且分析成绩的稳定性，从中选出一位参加数学竞赛解 设甲、乙二人成绩的平均数分别为 x 甲、x 乙，方差分别为 s2甲、s2乙.则 x 甲13016(380751)133，x 乙13016(318426)133，s2甲16(6)252(3)24222(2)2473，s2乙1602(4)25212(5)232383.因此，甲、乙的平均数相同，由于乙的方差较小，所以乙的成绩比甲的成绩稳定，应选乙参加竞赛较合适点击右图进入 课 时 分 层 作 业 Thank you for watching!
