1、第四章平面向量与复数第三节平面向量的综合应用课时规范练A组基础对点练1在ABC中，()|2，则ABC的形状一定是()A等边三角形B等腰三角形C直角三角形 D等腰直角三角形解析：由()|2，得()0，即()0，20，A90.又根据已知条件不能得到|，故ABC一定是直角三角形答案：C2过抛物线y22px(p0)的焦点F的直线l与抛物线在第一象限的交点为A，与抛物线的准线的交点为B，点A在抛物线的准线上的射影为C，若，48，则抛物线的方程为()Ay28x By24xCy216x Dy24x解析：如图所示，由，得F为线段AB的中点，|AF|AC|，ABC30，由48，得|BC|4.则|AC|4，由中位
2、线的性质，有p|AC|2，故抛物线的方程为y24x.故选B.答案：B3已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个动点，若动点P满足，(0，)，则动点P的轨迹一定通过ABC的()A重心 B内心C外心 D垂心解析：由条件，得，从而(|)0，所以，则动点P的轨迹一定通过ABC的垂心答案：D4定义平面向量之间的一种运算“”如下：对任意的a(m，n)，b(p，q)，令abmqnp，下面说法错误的是()A若a与b共线，则ab0BabbaC对任意的R，有(a)b(ab)D(ab)2(ab)2a2b2解析：若a与b共线，则有abmqnp0，故A正确；因为bapnqm，而abmqnp，所以有abba
3、，故B项错误；(a)bmqnp，(ab)(mqnp)，(a)b(ab)，故C正确；(ab)2(ab)2(mqnp)2(mpqn)2(p2q2)(m2n2)，a2b2(p2q2)(m2n2)，故D正确答案：B5在四边形ABCD中，(1，2)，(4，2)，则该四边形的面积为_解析：依题意得1(4)220，所以，所以四边形ABCD的面积为|5.答案：56(2020太原质检)设G为ABC的重心，且sin Asin Bsin C0，则角B的大小为_解析：G是ABC的重心，0，()，将其代入sin Asin Bsin C0，得(sin Bsin A)(sin Csin A)0.又，不共线，sin Bsin
4、 A0，sin Csin A0.则sin Bsin Asin C.根据正弦定理知，bac，ABC是等边三角形，则B60.答案：607.如图，A是半径为5的圆C上的一个定点，单位向量在A点处与圆C相切，点P是圆C上的一个动点，且点P与点A不重合，则的取值范围是_解析：如图所示，以AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴，建立平面直角坐标系设点P(x，y)，B(1，0)，A(0，0)，则(1，0)，(x，y)，所以(x，y)(1，0)x.因为点P在圆x2(y5)225上，所以5x5，即55.答案：5，58已知抛物线C：x24y的焦点为F，M是抛物线C上一点，若FM的延长线交x轴的正半轴于点N，交抛物
5、线C的准线l于点T，且，则|_解析：画出图形如图所示由题意得抛物线的焦点F(0，1)，准线为y1.设抛物线的准线与y轴的交点为E，过M作准线的垂线，垂足为Q，交x轴于点P.由题意得NPMNOF，又，即M为FN的中点，|OF|，|OP| ，|1，|ON|2|OP|2，|.又，即，解得|3.答案：39已知A，B，C是ABC的内角，a，b，c分别是其对边，向量m(，cos A1)，n(sin A，1)，mn.(1)求角A的大小；(2)若a2，cos B，求b的值解析：(1)mn，mnsin A(cos A1)(1)0，sin Acos A1，sin.0A，A，A，A.(2)在ABC中，A，a2，co
6、s B，sin B .由正弦定理知，b.B组素养提升练10记M的最大值和最小值分别为Mmax和Mmin.若平面向量a，b，c满足|a|b|abc(a2b2c)2，则()A|ac|maxB|ac|maxC|ac|min D|ac|min解析：由已知可得ab|a|b|cos 2，cos ，建立平面直角坐标系，a(2，0)，b(1，)，c(x，y)，由c(a2b2c)2，可得(x，y)(42x，22y)2，即4x2x22y2y22，化简得C点轨迹为(x1)2，则|ac| ，转化为圆上点与(2，0)的距离|ac|max.答案：A11.如图所示，在ABC中，ADDB，点F在线段CD上，设a，b，xayb
7、，则的最小值为()A62 B6C64 D32解析：由题意知xayb2xy，因为C，F，D三点共线，所以2xy1，即y12x.由题图可知x0且x1.所以.令f(x)，则f(x)，令f(x)0，得x1或x1(舍)当0x1时，f(x)0，当x1且x1时，f(x)0.所以当x1时，f(x)取得极小值，亦为最小值，最小值为f(1)32.答案：D12如图所示，半圆的直径AB6，O为圆心，C为半圆上不同于A，B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则()的最小值为_答案：13(2020德州一模)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m(cos(AB)，sin(AB)，n(cos B，sin B)，且mn.(1)求sin A的值；(2)若a4，b5，求角B的大小及向量在方向上的投影解析：(1)由mn，得cos(AB)cos Bsin(AB)sin B，所以cos A.因为0A，所以sin A .(2)由正弦定理，得，则sin B，因为ab，所以AB，且B是ABC一内角，则B.由余弦定理得(4)252c225c，解得c1，c7舍去，故向量在方向上的投影为|cos Bccos B1.
