1、第6节空间向量及其运算 【选题明细表】知识点、方法题号空间直角坐标系5空间向量的线性运算6,8,10空间向量的坐标运算及数量积1,3,4,7,9,11,14,15综合问题2,12,13,16基础对点练(时间:30分钟)1.已知a=(-2,-3,1),b=(2,0,4),c=(-4,-6,2),则下列结论正确的是(C)(A)ac,bc(B)ab,ac(C)ac,ab(D)以上都不对解析:因为c=2a,所以ac,又ab=(-2,-3,1)(2,0,4)=-4+0+4=0,所以ab.故选C.2.有以下命题:如果向量a,b与任何向量不能构成空间向量的一个基底,那么a,b的关系是不共线;O,A,B,C为
2、空间四点,且向量,不构成空间的一个基底,那么点O,A,B,C一定共面;已知向量a,b,c是空间的一个基底,则向量a+b,a-b,c也是空间的一个基底.其中正确的命题是(C)(A)(B)(C)(D)解析:对于,“如果向量a,b与任何向量不能构成空间向量的一个基底,那么a,b的关系一定是共线”,所以错误,正确.故选C.3.已知a=(1,1,1),b=(0,2,-1),c=ma+nb+(4,-4,1).若c与a及b都垂直,则m,n的值分别为(A)(A)-1,2(B)1,-2(C)1,2(D)-1,-2解析:由已知得c=(m+4,m+2n-4,m-n+1),ac=3m+n+1=0,bc=m+5n-9=
3、0.解得4.(2014高考广东卷)已知向量a=(1,0,-1),则下列向量中与a成60夹角的是(B)(A)(-1,1,0)(B)(1,-1,0)(C)(0,-1,1)(D)(-1,0,1)解析:设b=(1,-1,0),则cos=,即b与a的夹角为60.故选B.5.(2016福州质检)正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a,点M在AC1上且=,N为B1B的中点,则|为(A)(A)a(B)a(C)a(D)a解析:以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz, 则A(a,0,0),C1(0,a,a),N(a,a,).设M(x,y,z).因为点M在AC1上且=,所以(x-a,y,z)=(-x,a-
4、y,a-z),所以x=a,y=,z=.所以M(,),所以|=a.故选A.6.(2016晋江一模)设OABC是四面体,G1是ABC的重心,G是OG1上的一点,且OG=3GG1,若=x+y+z,则x+y+z等于(C)(A)1(B)(C)(D)2解析:如图所示,取BC的中点E, 连接AE.=,所以=x+y+z,所以=x+y+z,又G1,A,B,C四点共面,所以x+y+z=1,所以x+y+z=.7.已知a=(1-t,1-t,t),b=(2,t,t),则|b-a|的最小值为.解析:b-a=(1+t,2t-1,0),所以|b-a|=,所以当t=时,|b-a|取得最小值为.答案:8.已知空间四边形OABC,
5、点M,N分别是OA,BC的中点,且=a,=b,=c,用a,b,c表示向量=.解析:如图所示, =(+)=(-)+(-)=(+-2)=(+-)=(b+c-a).答案:(b+c-a)9.已知空间三点A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5),则以,为边的平行四边形的面积为.解析:由题意可得=(-2,-1,3),=(1,-3,2),所以cos=.所以sin=.所以以,为边的平行四边形的面积S=2|sin=14=7.答案:710.已知各个面都是平行四边形的四棱柱ABCDABCD.设M是底面ABCD的中心,N是侧面BCCB的对角线BC上的点,且BNNC=31,设=+,试求,之值.解:=+=
6、+=(+)+(+)=(-+)+(+)=+,所以=,=,=.11.已知空间中三点A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4),设a=,b=.(1)求向量a与向量b的夹角的余弦值;(2)若ka+b与ka-2b互相垂直,求实数k的值.解:(1)因为a=(1,1,0),b=(-1,0,2),所以ab=(1,1,0)(-1,0,2)=-1,又|a|=,|b|=,所以cos=-,即向量a与向量b的夹角的余弦值为-.(2)法一因为ka+b=(k-1,k,2).ka-2b=(k+2,k,-4),且ka+b与ka-2b互相垂直,所以(k-1,k,2)(k+2,k,-4)=(k-1)(k+2)+k2
7、-8=0,所以k=2或k=-,所以当ka+b与ka-2b互相垂直时,实数k的值为2或-.法二由(1)知|a|=,|b|=,ab=-1,所以(ka+b)(ka-2b)=k2a2-kab-2b2=2k2+k-10=0,得k=2或k=-.能力提升练(时间:15分钟)12.A,B,C,D是空间不共面的四点,且满足=0,=0,=0,M为BC的中点,则AMD是(C)(A)钝角三角形(B)锐角三角形(C)直角三角形(D)不确定解析:因为M为BC中点,所以=(+).所以=(+)=+=0.所以AM AD,AMD为直角三角形.13.(2015宁波检测)如图所示,在正方体ABCDA1B1C1D1中,棱长为a,M,N
8、分别为A1B和AC上的点,A1M=AN=,则MN与平面BB1C1C的位置关系是(B) (A)斜交(B)平行(C)垂直(D)不确定解析:建立如图所示的坐标系, 由于A1M=AN=,则M(a,),N(,a),=(-,0,),又C1D1平面BB1C1C,所以=(0,a,0)为平面BB1C1C的一个法向量,因为=0,所以,所以MN平面BB1C1C.14.已知a=(2,-1,3),b=(-1,4,-2),c=(7,5,),若a,b,c三向量共面,则实数等于.解析:由题意得c=ta+b=(2t-,-t+4,3t-2),所以解得答案:15.如图所示,已知空间四边形OABC,OB=OC,且AOB=AOC=,则
9、cos的值为.解析:设=a,=b,=c,由已知条件=,且|b|=|c|,=a(c-b)=ac-ab=|a|c|-|a|b|=0,所以cos=0.答案:016.(2015汕头模拟)已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为3,点E在AA1上,点F在CC1上,且AE=FC1=1. (1)求证:E,B,F,D1四点共面;(2)若点G在BC上,BG=,点M在BB1上,GMBF,垂足为H,求证:EM平面BCC1B1.证明:(1)以B为原点,以BA,BC,BB1为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz,则B(0,0,0),E(3,0,1),F(0,3,2),D1(3,3,3), 则=(3,0
10、,1),=(0,3,2),=(3,3,3).所以=+.由向量共面的充要条件知E,B,F,D1四点共面.(2)设M(0,0,z0),又G(0,0),则=(0,-,z0),而=(0,3,2),由题设得=-3+z02=0,得z0=1.故M(0,0,1),有=(3,0,0).又=(0,0,3),=(0,3,0),所以=0,=0,从而MEBB1,MEBC.又BB1BC=B,故ME平面BCC1B1.精彩5分钟1.已知矩形ABCD,AB=1,BC=,将ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折,在翻折过程中(B)(A)存在某个位置,使得直线AC与直线BD垂直(B)存在某个位置,使得直线AB与直线CD垂直(C
11、)存在某个位置,使得直线AD与直线BC垂直(D)对任意位置,三对直线“AC与BD”“AB与CD”“AD与BC”均不垂直解题关键:将线线垂直转化为向量的数量积求解.解析:如图所示,在图(1)中,易知AE=CF=,BE=EF=FD=.在图(2)中,设=a,=b,=c,则=90,设=,又=a+b+c,=3b,故=3b2=10,故AC与BD不垂直,A不正确;=+=a-b,=+=b-c,所以=-ac-b2=-cos -.当cos =-,即=时,=0,故B正确;=+=a+2b,=+=2b+c,所以=ac+4b2=cos +=(cos +2),故无论为何值,0,故C不正确.故选B.2.(2015徐州模拟)已知O点为空间直角坐标系的原点,向量=(1,2,3),=(2,1,2),=(1,1,2),且点Q在直线OP上运动,当取得最小值时,的坐标是.解题关键:利用转化思想把数量积的最小值问题转化成二次函数最值问题,求得点的坐标.解析:因为点Q在直线OP上,所以设点Q(,2),则=(1-,2-,3-2),=(2-,1-,2-2),=(1-)(2-)+ (2-)(1-)+(3-2)(2-2)=62-16+10=6(-)2-.当=时,取得最小值-.此时=(,).答案: (,)
