1、第一章集合与常用逻辑用语1.1集合的概念【素养目标】1.通过实例，能说出集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；2.记住集合元素的特性以及常用数集；3.会用集合元素的特性解决相关问题【重点】用元素与集合的“属于”关系判断元素与集合的关系；用集合元素的特性解答相关问题【难点】集合元素特性的应用1.1.1 集合的含义要点整合夯基础基础知识知识点一元素与集合的含义定义元素一般地，我们把研究对象统称为元素，常用小写的拉丁字母，表示集合把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，常用大写拉丁字母，表示集合相等指构成两个集合的元素是一样的集合中元素的特性：确定性、互异性和无序性思考1：以下对象的全体能否构
2、成集合？(1)河北红对勾书业的员工；(2)平昌冬奥会速滑比赛中滑得很快的选手；(3)一次函数的图象上的若干个点；(4)不超过的非负数提示：(1)能构成集合河北红对勾书业的员工是确定的，因此有一个明确的标准，可以确定出来所以能构成一个集合(2)“滑得很快”无明确的标准，对于某位选手是否“滑得很快”无法客观地判断，因此，“平昌冬奥会速滑比赛中滑得很快的选手”不能构成一个集合(3)“若干个点”是模糊的概念，因此与之对应的对象都是不确定的，自然它们不能构成集合，故“一次函数的图象上的若干个点”不能构成一个集合(4)任给一个实数，可以明确地判断是不是“不超过的非负数”，即“”与“或”，两者必居其一，且仅
3、居其一，故“不超过的非负数”能构成一个集合思考2：若集合由,与三个元素组成，则的取值有限制吗？为什么？提示：有限制，且.因为集合中的任意两个元素必须是互异的知识点二 元素与集合的关系如果是集合中的元素，就说属于(belong to)集合，记作；如果不是集合中的元素，就说不属于(not belong to)集合，记作.思考3：若集合是由元素,所组成的集合，问与,与有什么关系？提示：,.知识点三 常用数集及表示名称非负整数集（或自然数集）正整数集整数集有理数集实数集符号或思考4：常用的数集符号，有什么区别？提示：(1)为非负整数集(即自然数集)，而或表示正整数集，不同之处就是包括元素，而或不包括元
4、素.(2)和的含义是一样的，初学者往往误记为或，为避免出错，对于和可形象地记为“星星()在天上，十字架()在地下”思考5：用符号“”或“”填空(1)；(2)；(3)；(4)；(5).典例讲练破题型题型探究类型一 集合的概念【例1】下列所给的对象能构成集合的是_(1)(4)(5)_(1)所有的正三角形；(2)高中数学必修第一册课本上的所有难题；(3)比较接近的正数全体；(4)某校高一年级的岁以下的学生；(5)平面直角坐标系内到原点距离等于的点的集合；(6)参加里约奥运会的年轻运动员【解析】(1)能构成集合其中的元素需满足三条边相等；(2)不能构成集合因“难题”的标准是模糊的，不确定的，故不能构成
5、集合；(3)不能构成集合因“比较接近”的标准不明确，所以元素不确定，故不能构成集合；(4)能构成集合其中的元素是“岁以下的学生”；(5)能构成集合其中的元素是“到坐标原点的距离等于的点”；(6)不能构成集合因为“年轻”的标准是模糊的，不确定的，故而不能构成集合【通法提炼】判断元素能否构成集合，关键是集合中元素的确定性，即能否找到一个明确的评判标准来衡量元素是否为集合中的元素，若标准明确则可以构成集合，否则不可以.【变式训练1】下列对象能组成集合的是( )A.的所有近似值B.某个班级中学习好的所有同学C.年全国高考数学试卷中所有难题D.屠呦呦实验室的全体工作人员【解析】D中的对象都是确定的，而且
6、是不同的A中的“近似值”，B中的“学习好”，C中的“难题”标准不明确，不满足确定性，因此A，B，C都不能构成集合类型二 集合中元素的特性命题视角1：集合元素的互异性【例2】已知集合中含有两个元素和，若，求实数的值【分析】本题中已知集合中有两个元素且，根据集合中元素的特点需分或两种情况讨论，另外还要注意集合中元素的互异性根据集合中元素的确定性，可以解出字母的所有可能值，再根据集合中元素的互异性对集合中的元素进行检验另外，利用集合中元素的特性解题时，要注意分类讨论思想的应用【解析】若，则或，即.当时，集合有一个元素，.当时，集合含有两个元素，符合互异性.【通法提炼】当一个集合中的元素含字母时，可根
7、据题意并结合集合中元素的确定性求出集合中字母的所有取值，再根据集合中元素的互异性进行检验.【变式训练2】(1)若集合中的三个元素是的三边长，则一定不是( D )A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D等腰三角形(2)由,组成一个集合，且集合中含有个元素，则实数的取值可以是( C )ABCD【解析】(1)集合中任何两个元素不相同(2)由题意知,，解得，且.结合选项知C正确故选C命题视角2：集合元素的无序性【例3】集合中含有三个元素，集合中含有三个元素，若，两个集合相等，求的值【分析】由两个集合相等，所含元素相同列出，的关系式，解出与，再求的值【解析】由两个集合相等易知，故，且或.若，由得，经验
8、证，符合题意；若，则，结合，可知，不符合题意综上知，.所以.【通法提炼】两个集合相等，元素相同，因为集合元素无序，所以要进行讨论.同时还需要对集合求值问题代入验证，注意集合中元素的互异性.【变式训练3】集合由,四个元素组成，已知实数，那么的不同值有( B )A个B个C个D个【解析】，是集合的元素，的值会因，的顺序不同而不同，所取的值按顺序分别为：,；,；,；,；,；,；,；,；,；,；,；,；,；,；,；,，其对应的有个不同的值类型三 元素与集合的关系【例4】(1)给出下列关系：；.其中正确的个数为( B )A BC D(2)集合中的元素满足，则集合中的元素为_【解析】(1)是实数；是无理数；
9、是自然数；是无理数；是自然数故正确，不正确(2)由，知，且，故.又，故.当时，当时，当时,.故集合中的元素为.【通法提炼】判断一个元素是否属于某一集合，就是判断这个元素是否满足该集合元素的条件.若满足，就是“属于”关系；若不满足，就是“不属于”关系.特别注意，符号“”与“”只表示元素与集合的关系.【变式训练4】已知不等式的解集为.(1)试判断元素,与集合的关系；(2)若是集合中的元素，求的取值范围【解析】(1)，不是集合中的元素，.又，是集合中的元素，.(2)，.，.课堂达标练经典1下列各组对象不能构成集合的是(B)A某中学所有身高超过米的大个子B约等于的实数C某市全体中学生D北京大学建校以来
10、的所有毕业生【解析】由于“约等于”没有一个明确的标准，因此B中对象不能构成集合2下列命题中，正确命题的个数是(C )集合中最小的数是；若，则；若，则的最小值是；的解集是A B C D【解析】是正整数集，最小的正整数是，故正确；当时，故错误；若，则的最小值是，同理，的最小值也是，当和都取最小值时，取最小值，故正确；由集合中元素的互异性，知是错误的3已知，是非零实数，代数式的值组成的集合是，则下列判断正确的是( B )ABCD【解析】当，全为正数时，代数式的值是；当，全是负数时，代数式的值是；当，是一正一负时，代数式的值是.综上可知B正确4集合由元素和构成，集合是方程的解，若，则_.【解析】，方程
11、的解是或.，.5已知集合由，两个元素构成，若，求的值【解析】，或.若，则或.当时，此时集合中含有两个，因此应舍去当时，满足题意若，则或(舍去)当时，满足题意综上可知或.课时作业A组 素养自测一、选择题1下列各组对象能组成一个集合的是( C )某中学高一年级所有聪明的学生；在平面直角坐标系中，所有横坐标与纵坐标相等的点；所有不小于的正整数；的所有近似值ABCD【解析】不符合集合中元素的确定性故选C2若集合只含有元素，则下列各式正确的是( C )ABCD【解析】由题意知中只有一个元素，元素与集合的关系不应该用“”，故选C3若以方程和的解为元素组成集合，则中元素的个数为( C )ABCD【解析】方程
12、的解为或，的解为或，所以集合中含有个元素4由实数，所组成的集合，其含有元素的个数最多为( A )ABCD【解析】，故当时，这几个实数均为；当时，它们分别是，；当，它们分别是，.最多表示个不同的数，故集合中的元素最多为个5设，且，则的值可能是( B )ABCD或【解析】，排除C；，而无意义，排除A、D，故选B6如果集合中含有三个元素,，若，且，那么为( B )AB或CD【解析】，当时，；当时，；当时，故或.二、填空题7设表示“中国所有省会城市”组成的集合，则深圳_A，广州_A(填“”或“”)【解析】深圳不是省会城市，而广州是广东省的省会8设直线上的点集为，点与点集的关系为_(填“”或“”)【解析
13、】直线上的点的横坐标和纵坐标满足关系：，即只要具备此关系的点就在直线上由于当时，.9已知集合含有三个元素,，若，则实数的值为_.【解析】因为，所以或或，解得,.经检验，只有时，满足集合元素的互异性三、解答题10记方程的解构成的集合为，若，试写出集合中的所有元素【解析】因为，所以，解得.解方程，即，得或.故含有两个元素,.11由，组成的集合与由，,组成的集合是同一个集合，求的值【解析】由，组成一个集合，可知，由题意可得，即，此时两集合中的元素分别为,和，,，因此，解得或(不满足集合中元素的互异性，舍去)，因此，且，所以.B组 素养提升一、选择题1如果、为集合的四个元素，那么以、为边长构成的四边形
14、可能是( D )A矩形B平行四边形C菱形D梯形【解析】由于集合中的元素具有“互异性”，故、四个元素互不相同，即组成四边形的四条边互不相等2已知集合是由，三个元素组成的集合，且，则实数的值为( B )ABC或D或或【解析】因为，所以，或，解得或.又集合中的元素要满足互异性，对的所有取值进行一一检验可得，故选B3(多选题)已知集合中元素满足，则下列表示正确的是( BC )ABCD【解析】令，解得，；令，解得，；，；令，解得，故选BC4已知，都是非零实数，可能的取值组成的集合为，则下列判断正确的是( B )A，B，C，D，【解析】当，时，；当，时，；当，时，；当，时，.所以，故选B二、填空题5用适当
15、的符号填空：已知，则_；_；_【解析】令，得,，所以；令，得，所以；令，得,，所以6若，且集合中只含有一个元素，则的值为 _.【解析】由题意，得，且，.7(2019江苏泰州期末)集合中含有两个元素和，集合中含有两个元素和，若，相等，则实数的值为_，的值为_.【解析】因为集合，相等，所以或.当时，此时集合中的两个元素为和，不满足集合中元素的互异性，故舍去；当时，解得或，由知应舍去，经检验，符合题意，综上可知，.三、解答题8已知集合中含有两个元素和.(1)若是集合中的元素，试求实数的值；(2)能否为集合中的元素？若能，试求出该集合中的所有元素；若不能，请说明理由【解析】(1)因为是集合中的元素，所
16、以或.若，则，此时集合含有两个元素,，符合要求；若，则，此时集合中含有两个元素，符合要求综上所述，满足题意的实数的值为或.(2)不能理由：若为集合中的元素，则或.当时，解得，此时，显然不满足集合中元素的互异性；当时，解得，此时显然不满足集合中元素的互异性综上，不能为集合中的元素9已知集合(1)试分别判断，与集合的关系；(2)设，证明：【解析】(1)，因为，所以；，因为，但，所以；，因为，所以(2)因为，所以可设，且，所以因为，所以课堂小结本课堂需掌握的三个问题：1理解集合的概念，关键是抓住集合中元素的三个特性：确定性、互异性和无序性特别是处理含有参数的集合问题时，一定要注意集合中元素的互异性，即在求出参数的取值或取值范围后，一定要检验集合中元素的互异性2关于特定集合，等的意义是约定俗成的，解题时作为已知使用，不必重述它们的意义3对于一个元素与一个集合而言，只有“”与“”这两种结果，“”与“”具有方向性，左边是元素，右边是集合
