1、高考资源网（） 您身边的高考专家自我校对一般形式的柯西不等式柯西不等式的三角形式反序和顺序和排序原理利用柯西不等式证明简单不等式柯西不等式形式优美、结构易记，因此在解题时，根据题目特征灵活运用柯西不等式，可证明一些简单不等式【例1】已知a，b，c是实数，且abc1，求证：4.自主解答因为a，b，c是实数，且abc1，令m(，)，n(1,1,1)，则|mn|2()2，|m|2|n|23(13a1)(13b1)(13c1)313(abc)348.|mn|2|m|2|n|2，()248，4.1设a，b，x，y都是正数，且xyab，求证：.证明a，b，x，y都大于0，且xyab.由柯西不等式，知(ax
2、)(by)2(ab)2.又axby2(ab)0，所以.排序原理在不等式证明中的应用应用排序不等式的技巧在于构造两个数组，而数组的构造应从需要入手来设计，这一点应从所要证的式子的结构观察分析，再给出适当的数组【例2】已知a，b，c为正实数，求证：abc.自主解答由于不等式关于a，b，c对称，可设abc0.于是a2b2c2，.由排序不等式，得反序和乱序和，即a2b2c2a2b2c2，及a2b2c2a2b2c2.以上两个同向不等式相加再除以2，即得原不等式2设a，b，cR，求证：a5b5c5a3bcb3acc3ab.证明不妨设abc0，则a4b4c4，运用排序不等式有：a5b5c5aa4bb4cc4
3、ac4ba4cb4.又a3b3c30，且abacbc0，所以a4bb4cc4aa3abb3bcc3caa3bcb3acc3ab，即a5b5c5a3bcb3acc3ab.利用柯西不等式、排序不等式求最值有关不等式的问题往往要涉及到对式子或量的范围的限制，柯西不等式、排序不等式为我们通过不等式求最值提供了新的有力工具，但一定要注意取等号的条件能否满足【例3】设a，b，c为正实数，且a2b3c13，求的最大值自主解答由于a，b，c为正实数，根据柯西不等式，知(a2b3c)()2()2()2()2，()2，即，当且仅当时取等号又a2b3c13，当a9，b，c时，取得最大值为.3已知实数a，b，c，d，
4、e满足a2b2c2d2e216.求abcde的最大值解abcde4，所以abcde的最大值是4.1已知关于x的不等式|xa|b的解集为x|2x4(1)求实数a，b的值；(2)求的最大值解(1)由|xa|b，得bax0，b0，c0，函数f(x)|xa|xb|c的最小值为4.(1)求abc的值；(2)求a2b2c2的最小值解(1)因为f(x)|xa|xb|c|(xa)(xb)|c|ab|c，当且仅当axb时，等号成立又a0，b0，所以|ab|ab，所以f(x)的最小值为abc.又已知f(x)的最小值为4，所以abc4.(2)由(1)知abc4，由柯西不等式，得(491)(abc)216，即a2b2c2.当且仅当，即a，b，c时等号成立，故a2b2c2的最小值是.- 5 - 版权所有高考资源网
