1、A级基础巩固一、选择题1已知双曲线1的一条渐近线为yx，则实数a的值为()A.B2C.D4解析：由题意，得，所以a4.答案：D2已知双曲线1(a0，b0)的一条渐近线与直线x3y10垂直，则双曲线的离心率等于()A. B. C. D.答案：C3已知双曲线1的右焦点为F，若过点F的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线斜率的取值范围是()A. B(，)C. D， 解析：由题意知，F(4，0)，双曲线的两条渐近线方程为yx，当过F点的直线与渐近线平行时，满足与双曲线右支只有一个交点，画出图形，通过图形可知应选C.答案：C4若在双曲线1(a0，b0)的右支上到原点O和右焦点F的距离相等的点有两
2、个，则双曲线的离心率的取值范围是()Ae B1e2 D1e2答案：C5已知M(x0，y0)是双曲线C：y21上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若0，则y0的取值范围是()A. B.C. D.解析：因为F1(，0)，F2(，0)，y1, 所以(x0，y0)(x0，y0)xy30, 即3y10，解得y00.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x22m，y1y2x1x22m4m，所以线段AB的中点坐标为(m，2m)，又因为点(m，2m)在圆x2y25上，所以5m25，所以m1.答案：1三、解答题9已知双曲线1(ba0)的渐近线方程为yx，O为坐标原点，点M(，)在双曲线上(1)求双曲线的方
3、程；(2)已知P，Q为双曲线上不同两点，点O在以PQ为直径的圆上，求的值解：(1)因为双曲线的渐近线方程为yx，所以设双曲线方程为x2(0)，因为点M(，)在双曲线上，所以()2，所以2.所以双曲线方程为x22，即1.(2)由题意知OPOQ，设OP直线方程为ykx，由解得所以|OP|2x2y2.由OQ直线方程为yx，以代替上式中的k，可得|OQ|2.所以.10已知双曲线的中心在原点，离心率为2，一个焦点为F(2，0)(1)求双曲线方程；(2)设Q是双曲线上一点，且过点F，Q的直线l与y轴交于点M，若|2|，求直线l的方程解：(1)由题意可设所求的双曲线方程为1(a0，b0)，则有e2，c2，所
4、以a1，则b，所以所求的双曲线方程为x21.(2)因为直线l与y轴相交于M且过焦点F(2，0)，所以l的斜率一定存在，设为k，则l：yk(x2)，令x0，得M(0，2k)，因为|2|且M，Q，F共线于l，所以2或2.当2时，xQ，yQk，所以Q的坐标为，因为Q在双曲线x21上，所以1，所以k，所以直线l的方程为y(x2)当2时，同理求得Q(4，2k)，代入双曲线方程得，161，所以k，所以直线l的方程为y(x2)，综上，所求的直线l的方程为y(x2)或y(x2)B级能力提升1已知椭圆和双曲线有共同焦点F1，F2，P是它们的一个交点，且F1PF2，记椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，则的最大
5、值是()A. B. C2 D3答案：A2过双曲线1(a0，b0)右焦点F作一条直线，当直线的斜率为2时，直线与双曲线左右两支各有一个交点；当直线的斜率为3时，直线与双曲线右支有两个不同的交点，则双曲线的离心率的取值范围是()A(1，) B(，)C(，) D(1，1)解析：双曲线1(a0，b0)的渐近线方程为yx，由题意得当直线满足条件时应有23，又e，所以e.答案：B3已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点(4，)(1)求双曲线方程；(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：0；(3)求F1MF2的面积解：(1)因为e.所以可设双曲线方程为x2y2(0)因为过点(4，)，所以16106，所以双曲线的方程为x2y26，即1.(2)由(1)可知，双曲线中ab，所以c2.所以F1(2，0)，F2(2，0)所以(23，m)，(23，m)所以(32)(32)m23m2.因为M在双曲线上，所以9m26，所以3m20.所以0.(3)F1MF2的底|F1F2|4，F1MF2的高h|m|，所以SF1MF246.
