1、第三章 数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充和复数的概念3.1.1 数系的扩充和复数的相关概念A级基础巩固一、选择题1下列命题中，正确命题的个数是()一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零；1没有平方根；若aR，则(a1)i是纯虚数A0 B1 C2 D3解析：当一个复数实部等于零，虚部也等于零时，复数为0，所以错1的平方根为i，所以错当a1时，(a1)i0是实数，所以错答案：A2设复数z满足iz1，其中i为虚数单位，则z等于()Ai BiC1 D1解析：因为i21，所以i2i(i)1，所以zi.答案：A3设a，bR，i是虚数单位，则“ab0”是“复数abi为纯虚数”的()A充分不
2、必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：若复数abi为纯虚数，则a0且b0，故ab0.而由ab0不一定能得到复数abi是纯虚数，故“ab0”是“复数abi为纯虚数”的必要不充分条件答案：B4已知复数zm2m2(m24m5)i是纯虚数，其中m为实数，则m()A2 B1 C2或1 D5解析：由题意得解得m2.故选A.答案：A5已知集合M1，2，(m23m1)(m25m6)i，N1，3，且MN3，则实数m的值为 ()A4 B1C1或4 D1或6解析：由于MN3，故3M，必有m23m1(m25m6)i3，可得m1.答案：B二、填空题6若复数m3(m29)i0，则实数m的值为_
3、解析：依题意知解得即m3.答案：37设i为虚数单位，若复数z(m22m3)(m1)i是纯虚数，则实数m_解析：依题意有解得m3.答案：38复数zcossini，且，若z是实数，则的值为_；若z为纯虚数，则的值为_解析：zcossinisin icos . 当z是实数时，cos 0.因为， 所以；当z为纯虚数时又，所以0.答案：0三、解答题9已知复数z(m23m2)(m2m6)i，则当实数m为何值时，复数z：(1)是实数；(2)是虚数；(3)是纯虚数解：z(m23m2)(m2m6)i.(1)令m2m60m3或m2，即m3或m2时，z为实数(2)令m2m60，解得m2且m3，所以m2且m3时，z是
4、虚数(3)由解得m1，所以m1时，z是纯虚数10关于x的方程3x1(10x)i有实根，求实数a的值解：设方程的实数根为xm，则原方程可变为3m1(10m)i，所以解得a58.B级能力提升1若复数(x2y24)(xy)i是纯虚数，则点(x，y)的轨迹是()A以原点为圆心，以2为半径的圆B两个点，其坐标为(2，2)，(2，2)C以原点为圆心，以2为半径的圆和过原点的一条直线D以原点为圆心，以2为半径的圆，并且除去两点(，)，(，) 解析：因为复数(x2y24)(xy)i是纯虚数，所以x2y240，且xy，可解得x2y24(xy)，故点(x，y)的轨迹是以原点为圆心，以2为半径的圆，并且除去两点(，)，(，)答案：D2若复数zcos (msin cos )i为虚数，则实数m的取值范围是_解析：依题意有msin cos .因为sin cos sin，所以m(，)(，)答案：(，)(，)3如果log(mn)(m23m)i1，求自然数m，n的值解：因为log(mn)(m23m)i1，所以log (mn)(m23m)i是实数从而有由m23m0得m0或m3.当m0时代入log(mn)1，得0n2，又mn0，所以n1；当m3时，代入log(mn)1，得n1，与n是自然数矛盾综上可得，m0，n1.
