1、课时作业17利用导数证明不等式1已知函数f(x)aexlnx的图象在x1处的切线与直线x2ey0垂直(1)求a的值;(2)证明:xf(x)15ex1.解:(1)函数f(x)的定义域为(0,),f(x)a,则由题意知f(x)的图象在x1处的切线的斜率kf(1)ae2e,所以a2.(2)证明:要证明xf(x)15ex1,即证明2xexlnx15ex1,x0,即证明2xlnx.令g(x)2xlnx,则g(x)2(lnx1)当0x时,g(x)时,g(x)0.所以g(x)2xlnx在上为减函数,在上为增函数,所以g(x)ming.因为yx在(0,)上为减函数,所以x1,所以xf(x)15ex1.2(20
2、20唐山模拟)已知f(x)x2a2lnx,a0.(1)求函数f(x)的最小值;(2)当x2a时,证明:a.解:(1)函数f(x)的定义域为(0,),f(x)x.当x(0,a)时,f(x)0,f(x)单调递增所以当xa时,f(x)取得极小值,也是最小值,且f(a)a2a2lna.(2)证明:由(1)知,f(x)在(2a,)上单调递增,则所证不等式等价于f(x)f(2a)a(x2a)0.设g(x)f(x)f(2a)a(x2a),则当x2a时,g(x)f(x)axa0,所以g(x)在(2a,)上单调递增,当x2a时,g(x)g(2a)0,即f(x)f(2a)a(x2a)0,故a.3(2020湖南永州
3、一模)已知函数f(x)(x2x1)ex.(1)若f(x)在区间(a,a5)上有最大值,求整数a的所有可能取值;(2)求证:当x0时,f(x)3lnxx3(2x24x)ex7.解:(1)f(x)(x2x2)ex(x2)(x1)ex,当x0,f(x)单调递增,当2x1时,f(x)1时,f(x)0,f(x)单调递增由题意知a2a5,得7a2,则a6,5,4,3.当a6,5,4时,显然符合题意,当a3时,f(2)5e2,f(2)e2,f(2)f(2),不符合题意,舍去故整数a的所有可能取值为6,5,4.(2)证明:f(x)3lnxx3(2x24x)ex7可化为(x23x1)ex3lnxx37,令g(x
4、)(x23x1)ex,h(x)3lnxx37,则g(x)(x2x2)ex,h(x),当0x0,g(x)单调递增,当x2时,g(x)0,g(x)单调递减,所以g(x)的最大值为g(2)e2.当0x1时,h(x)1时,h(x)0,h(x)单调递增,所以h(x)的最小值为h(1)8,又8e2,所以g(x)的最大值小于h(x)的最小值,故x0时,恒有g(x)h(x),即f(x)0)(1)若函数f(x)有且只有一个零点,求实数k的值;(2)求证:当nN*时,1ln(n1)解:(1)f(x)kxlnx1,f(x)k(x0,k0);当0x时,f(x)时,f(x)0.f(x)在上单调递减,在上单调递增,f(x)minflnk,f(x)有且只有一个零点,lnk0,k1.(2)证明:由(1)知xlnx10,即x1lnx,当且仅当x1时取等号,nN*,令x,得ln,1lnlnlnln(n1),故1ln(n1)5(2020昆明诊断)已知函数f(x)2lnxx.(1)讨论f(x)的单调性;(2)若a0,b0,证明:b0,则lnalnbln2ln1,所以f()f(1)0,即f()2ln0,所以.ln.令g(x)lnx,则g(x),当x(0,)时,g(x)0,即g(x)是(0,)上的增函数因为1,所以g()g(1)0,所以ln,从而0,b0时,.