1、第3讲导数的概念及其简单应用导数的几何意义及导数的运算1.(2015洛阳统考)已知直线m:x+2y-3=0,函数y=3x+cos x的图象与直线l相切于点,若lm,则点的坐标可能是(B)(A)（-,-）(B)（,）(C)（,）(D)（-,-）解析:由lm可得直线l的斜率为2,函数y=3x+cos x的图象与直线l相切于点,也就是函数在P点的导数值为2,而y =3-sin x=2,解得sin x=1,只有B,D符合要求,而D中的点不在函数图象上,因此选B.2.(2014广东卷)曲线y=e-5x+2在点(0,3)处的切线方程为.解析:由题意知点(0,3)是切点.y=-5e-5x,令x=0,得所求切
2、线斜率为-5.从而所求方程为5x+y-3=0.答案:5x+y-3=0利用导数研究函数的单调性3.(2015辽宁沈阳市质检)若定义在R上的函数f(x)满足f(x)+f(x)1,f(0)=4,则不等式f(x)+1(e为自然对数的底数)的解集为(A)(A)(0,+) (B)(-,0)(3,+)(C)(-,0)(0,+)(D)(3,+)解析:不等式f(x)+1可以转化为exf(x)-ex-30令g(x)=exf(x)-ex-3,所以g(x)=ex(f(x)+f(x)-ex=ex(f(x)+f(x)-1)0,所以g(x)在R上单调递增,又因为g(0)=f(0)-4=0,所以g(x)0x0,即不等式的解集
3、是(0,+).故选A.4.(2014辽宁卷)当x-2,1时,不等式ax3-x2+4x+30恒成立,则实数a的取值范围是(C)(A)-5,-3(B)-6,-(C)-6,-2(D)-4,-3解析:当x(0,1时,得a-3()3-4()2+,令t=,则t1,+),a-3t3-4t2+t,令g(t)=-3t3-4t2+t,t1,+),则g(t)=-9t2-8t+1=-(t+1)(9t-1),显然在1,+)上,g(t)0(其中f (x)是函数f (x)的导函数),则下列不等式中成立的有.(1)f(-)f(-)(3)f(0)f(-)(4)f()0,所以为增函数.所以,所以f()f(),又因为f(x)为偶函
4、数,所以f(-)f(),f(-)f(-).故(2)正确,(1)错误.因为,所以f(0)f(),又因为f(x)为偶函数,所以f(0)f(-),故(3)正确.因为,所以f()2;a=0,b=2;a=1,b=2.解析:令f(x)=x3+ax+b,则f(x)=3x2+a.当a0时,f(x)0,f(x)为增函数,合题.对于,由a=b=-3,得f(x)=x3-3x-3,f(x)=3(x+1)(x-1),f(x)极大值=f(-1)=-10,f(x)极小值=f(1)=-50,f(x)极小值=f(1)=0,函数f(x)的图象与x轴有两个交点,故x3+ax+b=0有两个实根;对于,由a=-3,b2,得f(x)=x
5、3-3x+b,f(x)=3(x+1)(x-1),f(x)极大值=f(-1)=2+b0,f(x)极小值=f(1)=b-20,函数f(x)的图象与x轴只有一个交点,故x3+ax+b=0仅有一个实根.答案:【教师备用】 (2015上饶三模)已知函数f(x)=(mx+1)(ln x-3).(1)若m=1,求曲线y=f(x)在(1,f(1)处的切线方程;(2)设点A(x1,f(x1),B(x2,f(x2)满足ln x1ln x2=3ln(x1x2)-8,(x1x2),判断是否存在点P(m,0),使得APB为直角?说明理由;(3)若函数f(x)在(0,+)上是增函数,求实数m的取值范围.解:(1)f(x)
6、=(ln x-3)+(x+1),则f(1)=-1,f(1)=-6,所以切线方程为x+y+5=0.(2)不存在点P(m,0),使得APB为直角,依题意得=(x1-m,f(x1),=(x2-m,f(x2),=(x1-m)(x2-m)+f(x1)f(x2)=(x1-m)(x2-m)+(mx1+1)(ln x1-3)(mx2+1)(ln x2-3)=x1x2-m(x1+x2)+m2+m2x1x2+m(x1+x2)+1ln x1ln x2-3(ln x1+ln x2)+9=x1x2-m(x1+x2)+m2+m2x1x2+m(x1+x2)+1=(1+m2)(x1x2+1)0,所以不存在实数m,使得APB为
7、直角.(3)f(x)=m(ln x-3)+(mx+1)=,若函数f(x)在(0,+)上是增函数,则f(x)0在(0,+)上恒成立,有mx(ln x-2)+10在(0,+)上恒成立,设h(x)=x(ln x-2),h(x)=ln x-1,h(x)在(0,e)是减函数,在(e,+)是增函数,所以h(x)的值域为-e,+),即mt+10在-e,+)上恒成立.有解得0m.利用导数研究函数的极值与最值7.设函数f(x)=x2-mln x,h(x)=x2-x+a.(1)当a=0时,f(x)h(x)在(1,+)上恒成立,求实数m的取值范围;(2)当m=2时,若函数k(x)=f(x)-h(x)在1,3上恰有两
8、个不同的零点,求实数a的取值范围;(3)是否存在实数m,使函数f(x)和函数h(x)在公共定义域上具有相同的单调性?若存在,求出m的值,若不存在,请说明理由.解:(1)由a=0,f(x)h(x),x(1,+)可得-mln x-x,即m.记(x)=,则f(x)h(x)在(1,+)上恒成立等价于m(x)min,x(1,+).求得(x)=,当x(1,e)时,(x)0,故(x)在x=e处取得极小值,也是最小值,即(x)min=(e)=e,故me.(2)函数k(x)=f(x)-h(x)在1,3上恰有两个不同的零点等价于方程x-2ln x=a在1,3上恰有两个相异实根.令g(x)=x-2ln x,则g(x
9、)=1-.当x1,2)时,g(x)0.所以g(x)在1,2上是单调递减函数,在(2,3上是单调递增函数.故g(x)min=g(2)=2-2ln 2,又g(1)=1,g(3)=3-2ln 3,g(1)g(3),所以只需g(2)0,由f(x)0可得2x2-m0,解得x或x0时,函数f(x)的单调递增区间为(,+),单调递减区间为(0,),而h(x)在(0,+)上的单调递减区间是(0,),单调递增区间是(,+),故只需=,解得m=.即当m=时,函数f(x)和函数h(x)在其公共定义域上具有相同的单调性.定积分8.(2014江西卷)若f(x)=x2+2f(x)dx,则f(x)dx等于(B)(A)-1(
10、B)-(C)(D)1解析:因为f(x)dx是常数,所以f(x)=2x,所以可设f(x)=x2+c(c为常数),所以x2+c=x2+2(x3+cx)|,解得c=-,f(x)dx=(x2+c)dx=(x2-)dx=(x3-x)|=-.故选B.9.(2015福建卷)如图,点A的坐标为(1,0),点C的坐标为(2,4),函数f(x)=x2.若在矩形ABCD内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率等于.解析:由题图可知阴影部分的面积S阴影=S矩形ABCD-x2dx=14-|=4-(-)=,则所求事件的概率P=.答案:一、选择题1.(2015潮州二模)已知奇函数y=f(x)的导函数f(x)0在R上恒成立,且
11、x,y满足不等式f(x2-2x)+f(y2-2y)0,则的取值范围是(A)(A)0,2(B)0,(C)1,2 (D),2解析:因为函数y=f(x)为奇函数,所以f(x2-2x)+f(y2-2y)0f(x2-2x)f(2y-y2).由函数y=f(x)的导函数f(x)g(x0)成立,则实数a的范围为(D)(A)1,+)(B)(1,+)(C)0,+)(D)(0,+)解析:设h(x)=f(x)-g(x)=ax-2ln x,则h(x)=a-.若a0,则h(x)0,即f(x0)g(x0)成立;若a0,则由h(1)=a0知,总存在x0=1使得f(x0)g(x0)成立.故实数a的范围为(0,+).3.已知函数
12、f(x)=(x2-2x)ex,x-2,+),f(x)是函数f(x)的导函数,且f(x)有两个零点x1和x2(x10得-2x;由f(x)0得-xf()=(2-2),所以f(x)的最小值为f(),即f(x2).4.设函数f(x)满足x2f(x)+2xf(x)=,f(2)=,则x0时,f(x)(D)(A)有极大值,无极小值 (B)有极小值,无极大值(C)既有极大值又有极小值(D)既无极大值也无极小值解析:由题知f(x)x2=0,令g(x)=f(x)x2,则f(x)=,f(x)=.令m(x)=ex-2g(x),m(x)=ex-2g(x)=ex-2=ex(1-)=ex.则x2时,m(x)0,m(x)为增
13、函数,0x2时,m(x)0时,f(x)为增函数.则函数f(x)无极大值也无极小值.故选D.5.已知函数f(x)=(aR),若对于任意的xN*,f(x)3恒成立,则a的最小值等于(A)(A)- (B)-3(C)-4+3(D)-6解析:xN*时,不等式f(x)3可化为a-x-+3,设h(x)=-x-+3,则h(x)=-1+=,当x(0,2)时,h(x)0,当x(2,+)时,h(x),所以m,故选B.7.已知函数f(x)的定义域为-1,5,部分对应值如表.x-1045f(x)1221f(x)的导函数y=f(x)的图象如图所示.下列关于函数f(x)的命题:函数y=f(x)是周期函数;函数f(x)在0,
14、2是减函数;如果当x-1,t时,f(x)的最大值是2,那么t的最大值为4;当1a2时,函数y=f(x)-a有4个零点.其中真命题的个数是(D)(A)4个(B)3个(C)2个(D)1个解析:由导函数的图象和原函数的关系得,函数f(x)在(-1,0),(2,4)上是增函数,在(0,2),(4,5)上是减函数,可以画出原函数的大致图象(图略),因此为假命题,为真命题.当t=5时,也满足x-1,t时,f(x)的最大值是2,故为假命题;无法确定f(2)与1的大小关系,故为假命题.故选D.8.(2014湖南卷)已知函数f(x)=sin(x-),且f(x)dx=0,则函数f(x)的图象的一条对称轴是(A)(
15、A)x=(B)x=(C)x=(D)x=解析:由定积分sin(x-)dx=-cos(x-)|=cos -sin +cos =0,得tan =,所以=+k(kZ),所以f(x)=sin(x-k)(kZ),由正弦函数的性质知y=sin(x-k)与y=sin(x-)的图象的对称轴相同,令x-=n+,则x=n+(nZ),所以函数f(x)的图象的对称轴为x=n+(nZ),当n=0,得x=,故选A.9.(2015兰州高三诊断)已知定义在R上的可导函数f(x)的导函数为f(x),满足f(x)f(x),且f(x+2)为偶函数,f(4)=1,则不等式f(x)ex的解集为(B)(A)(-2,+)(B)(0,+)(C
16、)(1,+)(D)(4,+)解析:因为f(x+2)为偶函数,所以f(x+2)的图象关于x=0对称,所以f(x)的图象关于x=2对称,所以f(4)=f(0)=1,设g(x)=(xR),则g(x)=,又因为f(x)f(x),所以g(x)0(xR),所以函数g(x)在定义域上单调递减,因为f(x)exg(x)=1,而g(0)=1,所以f(x)exg(x)0,故选B.10.(2015赣州高三摸底)已知函数f(x)=(a-3)x-ax3在-1,1的最小值为-3,则实数a的取值范围是(D)(A)(-,-1(B)12,+)(C)-1,12(D)-,12解析:当a=0时,f(x)=-3x,x-1,1,显然满足
17、,故排除A,B;当a=-时,f(x)=x3-x,f(x)=x2-=(x2-1),所以f(x)在-1,1上递减,所以f(x)min=f(1)=-=-3,满足条件,排除C,故选D.11.(2014湖北卷)若函数f(x),g(x)满足f(x)g(x)dx=0,则称f(x),g(x)为区间-1,1上的一组正交函数.给出三组函数:f(x)=sinx,g(x)=cos x;f(x)=x+1,g(x)=x-1;f(x)=x,g(x)=x2.其中为区间-1,1上的正交函数的组数是(C)(A)0(B)1(C)2(D)3解析:对于,sin xcos xdx=sin xdx=0,所以是区间-1,1上的正交函数;对于
18、,(x+1)(x-1)dx=(x2-1)dx0,所以不是区间-1,1上的正交函数;对于,xx2dx=x3dx=0,所以是区间-1,1上的正交函数.故选C.12.(2015河北唐山市期末)设函数f(x)=ax3-x+1(xR),若对于任意x-1,1都有f(x)0,则实数a的取值范围为(C)(A)(-,2(B)0,+)(C)0,2 (D)1,2解析:函数f(x)=ax3-x+1(xR),f(x)=3ax2-1,当a0时,f(x)=3ax2-10,f(x)在-1,1上单调递减,f(x)min=f(1)=a0时,f(x)=3ax2-10,所以x或x-,当0,f(x)在-1,-上单调递增,在-,上单调递
19、减,在(,1上单调递增,所以所以所以a2,当1时,即00符合题意;综上可得0a2.二、填空题13.(2015江西鹰潭一模)定义在R上的可导函数f(x),已知y=ef(x)的图象如图所示,则y=f(x)的增区间是.解析:由题意如图f(x)0的区间是(-,2),故函数y=f(x)的增区间是(-,2),答案:(-,2)14.(2015九江一模)已知函数f(x)=x2+2ax-ln x,若f(x)在区间,2上是增函数,则实数a的取值范围是.解析:因为f(x)在区间,2上是增函数,所以f(x)=x+2a-0在,2上恒成立,即2a-x+在,2上恒成立,令g(x)=-x+,因为g(x)在,2上是减函数,所以
20、g(x)max=g()=,所以2a即a.答案:,+)15.(2015云南二模)已知e是自然对数的底数,函数f(x)=(x2+ax-2)ex在区间(-3,-2)内单调递减,则实数a的取值范围为.解析:由f(x)=(x2+ax-2)ex,得f(x)=x2+(a+2)x+a-2ex,令g(x)=x2+(a+2)x+a-2,因为=(a+2)2-4(a-2)=a2+120,所以g(x)有两个不相等的实数根,要使f(x)在-3,-2上单调递减,必须满足即解得a.答案:,+)利用导数研究函数的单调性与极值、最值训练提示:(1)利用导数研究函数的单调性时不要忽视函数的定义域;(2)函数y=f(x)在区间上单调
21、递增不等价于f(x)0.一般来说,已知函数y=f(x)的单调递增区间,可以得到f(x)0(有等号);求函数y=f(x)的单调递增区间,解f(x)0(没有等号)和确定定义域;(3)f(x0)=0是函数y=f(x)在x=x0处取得极值的必要不充分条件,而不是充要条件;(4)不能将极值点与极值混为一谈.函数有大于零的极值点,指的是极值点的横坐标大于零;函数有大于零的极值,指的是极值点的纵坐标大于零;(5)在求实际问题的最值时,一定要考虑实际问题的意义,不符合的值应舍去.1.(2015柳州市、北海市、钦州市模拟)设函数f(x)=-x3+2ax2-3a2x+1,0a1.(1)求函数f(x)的极大值;(2
22、)若x1-a,1+a时,恒有-af(x)a成立(其中f(x)是函数f(x)的导函数),试确定实数a的取值范围.解:(1)因为f(x)=-x2+4ax-3a2,且0a0时,得ax3a;当f(x)0时,得x3a;所以f(x)的单调递增区间为(a,3a);f(x)的单调递减区间为(-,a)和(3a,+).故当x=3a时,f(x)有极大值,其极大值为f(3a)=1.(2)因为f(x)=-x2+4ax-3a2=-(x-2a)2+a2,当0a2a,所以f(x)在区间1-a,1+a内单调递减.所以f(x)max=f(1-a)=-8a2+6a-1,f(x)min=f(1+a)=2a-1.因为-af(x)a,所
23、以此时,a.当a1时,f(x)max=f(2a)=a2.f(x)min=minf(1-a),f(1+a),因为-af(x)a,所以即此时,a.综上可知,实数a的取值范围为,.2.(2015贵州遵义市第二次联考)已知函数f(x)=x-aln x,g(x)=-(aR).(1)当a=1时,求曲线f(x)在x=1处的切线方程;(2)设函数h(x)=f(x)-g(x),求函数h(x)的单调区间;(3)若在1,e(e=2.718)上存在一点x0,使得f(x0)0时,即a-1时,在(0,1+a)上,h(x)0,所以h(x)在(0,1+a)上单调递减,在(1+a,+)上单调递增;当a+10,即a-1时,在(0
24、,+)上h(x)0,所以函数h(x)在(0,+)上单调递增.综上a-1时,h(x)的单调减区间为(0,1+a),单调增区间为(1+a,+);a-1时h(x)的单调增区间为(0,+),无单调减区间.(3)在1,e上存在一点x0,使得f(x0)g(x0)成立,即在1,e上存在一点x0,使得h(x0)0,即函数h(x)=x+-aln x在1,e上的最小值小于零,由(2)可知当a+1e,即ae-1时,h(x)在1,e上单调递减,所以h(x)的最小值为h(e),由h(e)=e+-a.因为e-1,所以a.当a+11,即a0时,h(x)在1,e上单调递增,所以h(x)的最小值为h(1),由h(1)=1+1+
25、a0可得a-2;当1a+1e,即0ae-1时,可得h(x)最小值为h(1+a)=2+a-aln(1+a),因为0ln(1+a)1,所以0aln(1+a)2,此时不存在x0使h(x0)0成立.综上可得所求a的取值范围是(-,-2)(,+).【教师备用】 (2015东北三省四市联考)已知函数f(x)=alnx-ax-3(a0).(1)讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)+(a+1)x+4-e0对任意xe,e2恒成立,求实数a的取值范围(e为自然常数);(3)求证ln(22+1)+ln(32+1)+ln(42+1)+ln(n2+1)0),当a0时,f(x)的单调增区间为(0,1,单调减区间为1,+
26、);当a0时,f(x)的单调增区间为1,+),单调减区间为(0,1.(2)解:令F(x)=aln x-ax-3+ax+x+4-e=aln x+x+1-e,F(x)=0,若-ae,a-e,F(x)在e,e2上是增函数,F(x)max=F(e2)=2a+e2-e+10,a,无解;若e-ae2,-e2ae2,a-e2,F(x)在e,e2上是减函数,F(x)max=F(e)=a+10,a-1,所以af(1),即-ln x+x-10,所以ln x1,则有ln(+1)=-,要证ln(22+1)+ln(32+1)+ln(42+1)+ln(n2+1)1+2ln n!(n2,nN*),只需证ln(+1)+ln(
27、+1)+ln(+1)+ln(+1)1(n2,nN*),ln(+1)+ln(+1)+ln(+1)+ln(+1),(1-)+(-)+(-)+(-)=1-1),曲线y=f(x)过点(e-1,e2-e+1),且在点(0,0)处的切线方程为y=0.(1)求a,b的值;(2)证明:当x0时,f(x)x2;(3)若当x0时,f(x)mx2恒成立,求实数m的取值范围.(1)解:f(x)=2a(x+1)ln(x+1)+a(x+1)+b,因为f(0)=a+b=0,f(e-1)=ae2+b(e-1)=a(e2-e+1)=e2-e+1,所以a=1,b=-1.(2)证明:f(x)=(x+1)2ln(x+1)-x,设g(
28、x)=(x+1)2ln(x+1)-x-x2(x0),则m(x)=g(x)=2(x+1)ln(x+1)-x,m(x)=2ln(x+1)+10,所以m(x)在0,+)上单调递增,所以m(x)m(0)=0,所以g(x)在0,+)上单调递增,所以g(x)g(0)=0.所以f(x)x2.(3)解:设h(x)=(x+1)2ln(x+1)-x-mx2,h(x)=2(x+1)ln(x+1)+x-2mx,由(2)知(x+1)2ln(x+1)x2+x=x(x+1),所以(x+1)ln(x+1)x,所以h(x)3x-2mx,当3-2m0即m时,h(x)0,所以h(x)在0,+)上单调递增,所以h(x)h(0)=0,
29、成立.当3-2m时,n(x)=h(x)=2(x+1)ln(x+1)-(1-2m)x,n(x)=2ln(x+1)+3-2m,令n(x)=0,得x0=-10,所以n(x)在0,x0)上单调递减.当x0,x0)时,n(x)n(0)=0,所以h(x)在0,x0)上单调递减,所以h(x)h(0)=0,不成立.综上,m.【教师备用】 已知曲线f(x)=a(x-1)2+bln x(a,bR)在点(1,f(1)处的切线的斜率为1.(1)若函数f(x)在2,+)上为减函数,求a的取值范围;(2)当x1,+)时,不等式f(x)x-1恒成立,求a的取值范围.解:(1)f(x)=2ax-2a+,由题知f(1)=b=1
30、,即f(x)=a(x-1)2+ln x,f(x)=2ax-2a+=,由f(x)在2,+)上为减函数,则f(x)0在2,+)上恒成立,即2ax2-2ax+10在2,+)上恒成立,2a=-,所以a的取值范围是(-,-.(2)令g(x)=f(x)-x+1=a(x-1)2+ln x-x+1,则g(x)0在1,+)上恒成立,g(x)=2ax-2a+-1=,当a0即2a0时,g(x)0,g(x)在1,+)上单调递减,则g(x)g(1)=0,符合题意;当a即01时,g(x)g(1)=0,矛盾;当0a1时,g(x)在1,)上单调递减,(,+)上单调递增,而g(+1)=ln(+1)0,矛盾;综上,a的取值范围是
31、(-,0.2.已知函数f(x)=b(x+1)ln x-x+1,斜率为1的直线与函数f(x)的图象相切于(1,0)点.(1)求h(x)=f(x)-xln x的单调区间;(2)当实数0a0,解得0x1.令h(x)=-11.所以h(x)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+).(2)g(x)=f(x)-(a+x)ln x+ax2=(1-a)ln x+ax2-x+1,所以g(x)=+ax-1=,由g(x)=0得x1=-1,x2=1.若0-10即a1,0x10即a=,x1=x2=1,则g(x)0,g(x)在(0,+)上单调递增,无极值点.若-11,a0即0ax2=1,x(0,x2)x2(x2
32、,x1)x1(x1,+)f(x)+0-0+f(x)极大值极小值此时g(x)的极大值点为x=1,极小值点x=-1.综上所述,当a1时,g(x)的极小值点为x=1,极大值点为x=-1;当a=时,g(x)无极值点;当0a4时,=c2-160,g(x)=0的两根都小于0,在(0,+)上,f(x)0,故f(x)在(0,+)上单调递增.当c0,g(x)=0的两根x1=(0,2),x2=2.当0x0;当x1xx2时,f(x)x2时,f(x)0,故f(x)分别在(0,x1),(x2,+)上单调递增,在(x1,x2)上单调递减.(3)由(2)可知:当c2) (*)设函数h(t)=t-2ln t+ln 4(t2),当t2时,h(t)=1+-=0,所以h(t)在(2,+)上单调递增,而x22,所以x2-2ln x2+ln 42-2ln 2+ln 4=0,这与(*)式矛盾.故不存在c,使得k=2+c.
