1、2.2.4点到直线的距离学 习 目 标核 心 素 养1.掌握点到直线的距离公式并能灵活运用此公式解决距离问题(重点)2会求两条平行直线的距离(重点)3点到直线的距离公式的推导(难点)1.通过点到直线的距离公式的推导，培养逻辑推理的数学核心素养2借助点到直线的距离公式与两平行线间的距离公式，提升数学运算的核心素养.1点到直线的距离(1)概念过一点向直线作垂线，则该点与垂足之间的距离，就是该点到直线的距离(2)公式点P(x0，y0)到直线l：AxByC0的距离d.2两平行线间的距离公式(1)概念夹在两条平行直线间的公垂线段的长度就是两条平行直线间的距离(2)求法两条平行直线间的距离转化为点到直线的
2、距离(3)公式两条平行直线l1：AxByC10与l2：AxByC20之间的距离d.1原点到直线x2y50的距离是()ABC2D.D由点到直线的距离公式得d.2两平行直线xy20与xy30的距离等于()ABC5DA由两平行线间的距离公式可得d.3已知点(3，m)到直线xy40的距离等于1，则m等于()ABCD或D由点到直线的距离公式得1，解得m或.4两直线3x4y20和6x8y50的距离等于()A3B7 CDC直线6x8y50化为3x4y0.故两直线平行，且两直线间的距离为：d.点到直线的距离【例1】求过点A(1,2)，且与原点的距离等于的直线方程解因为所求直线过点A(1,2)，且斜率存在，所以
3、设直线方程为y2k(x1)，即kxyk20，又因为原点到直线的距离等于，所以，解得k7或k1.故直线方程为xy10或7xy50.点到直线的距离的求解方法1求点到直线的距离时，只需把直线方程化为一般式方 程，直接应用点到直线的距离公式求解即可2对于与坐标轴平行(或重合)的直线xa或yb，求点到它们的距离时，既可以用点到直线的距离公式，也可以直接写成d|x0a|或d|y0b|.3若已知点到直线的距离求参数时，只需根据点到直线的距离公式列方程求解参数即可1求点P(3，2)到下列直线的距离：(1)yx；(2)y6；(3)x4.解(1)直线yx化为一般式为3x4y10，由点到直线的距离公式可得d.(2)
4、因为直线y6与y轴垂直，所以点P到它的距离d|26|8.(3)因为直线x4与x轴垂直，所以点P到它的距离d|34|1.两条平行线间的距离【例2】直线l1过点A(0,1)，l2过点B(5,0)，如果l1l2，且l1与l2的距离为5，求直线l1与l2的方程思路探究先设出l1、l2的方程，利用两条平行线间的距离公式求解，但注意直线斜率的讨论解当l1，l2的斜率不存在，即l1：x0，l2：x5时，满足条件当l1、l2的斜率存在时，设l1：ykx1，即kxy10，l2：yk(x5)，即kxy5k0，由两条平行直线间的距离公式得5，解得k.此时l1：12x5y50，l2：12x5y600.综上所述，所求直
5、线l1，l2的方程为l1：x0，l2：x5或l1：12x5y50，l2：12x5y600.求两平行线间距离一般有两种方法1转化法：将两平行线间的距离转化为其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离由于这种求法与点的选择无关，因此，选点时，常选取一个特殊点，如直线与坐标轴的交点等，以便于运算2公式法：直接用公式d，但要注意两直线方程中x，y的系数必须分别相同2与直线2xy10的距离等于的直线方程为()A2xy0B2xy20C2xy0或2xy20D2xy0或2xy20D根据题意可设所求直线方程为2xyc0，因为两直线间的距离等于，所以d，解得c0或c2.故所求直线方程为2xy0或2xy20.距离公式
6、的综合应用探究问题1两条互相平行的直线分别过点A(6,2)和B(3，1)，并且各自绕着A，B旋转，如果两条平行直线间的距离为d.你能求出d的取值范围吗？提示如图，显然有0d|AB|.而|AB|3.故所求的d的变化范围为(0,32上述问题中，当d取最大值时，请求出两条直线的方程提示由上图可知，当d取最大值时，两直线与AB垂直而kAB，所求直线的斜率为3.故所求的直线方程分别为y23(x6)和y13(x3)，即3xy200和3xy100.【例3】在直线l：3xy10上求一点P，使得P到A(4,1)和B(0,4)的距离之差最大思路探究点到直线的距离的最值问题可转化为对称问题、共线问题解如图所示，设点
7、B关于直线l的对称点B的坐标为(a，b)，则kBBkl1，即31.所以a3b120.又由于线段BB的中点坐标为，且在直线l上，所以310.即3ab60，解得a3，b3，所以B(3,3)于是AB的方程为，即2xy90.所以由解得即直线l与AB的交点坐标为(2,5)所以点P(2,5)为所求在本例中，求到A(4,1)和C(3,4)的距离之和最小的P点的坐标？解如图所示，设点C关于直线l的对称点为C，求出点C的坐标为.所以AC所在直线的方程为19x17y930，AC和l的交点坐标为.故P点坐标为为所求求最值问题的处理思路1利用对称转化为两点之间的距离问题2利用所求式子的几何意义转化为点到直线的距离3利
8、用距离公式转化为一元二次函数的最值问题1本节课的重点是掌握点到直线的距离公式，能用公式求点到直线的距离，会求两条平行直线间的距离难点是能用公式求点到直线的距离2本节课要重点掌握的规律方法(1)点到直线的距离的求解方法，(2)求两平行直线间的距离有两种思路，(3)待定系数法求解有关距离问题的方法3本节课的易错点是求两条平行线间距离时易用错公式1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)当点在直线上时，点到直线的距离公式仍适用()(2)点P(x0，y0)到与x轴平行的直线yb(b0)的距离dy0b.()(3)两直线xym与xy2n的距离为.()答案(1)(2)(3)提示(1)正确(2)应是d|y0b|.(3)正确2点(1，1)到直线xy10的距离是()ABCDAd.3分别过点A(2,1)和点B(3，5)的两条直线均垂直于x轴，则这两条直线间的距离是_5d|3(2)|5.4求与直线l：5x12y60平行且与直线l距离为3的直线方程解与l平行的直线方程为5x12yb0，根据两平行直线间的距离公式得3，解得b45或b33.所求直线方程为：5x12y450或5x12y330.
