1、四川省绵阳市高中2020届高三数学第二次诊断性测试试题 理（含解析）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将答题卡交回.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先确定集合的元素，再由补集定义求解【详解】由题意，故选：D【点睛】本题考查补集的运算
2、，解题时需确定集合的元素后才能进行集合的运算本题还考查了指数函数的单调性2.已知为虚数单位，复数满足，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由除法计算出复数【详解】由题意故选：A【点睛】本题考查复数的除法运算，属于基础题3.已知两个力，作用于平面内某静止物体的同一点上，为使该物体仍保持静止，还需给该物体同一点上再加上一个力，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据力的平衡条件下,合力为,即可根据向量的坐标运算求得.【详解】根据力的合成可知因为物体保持静止,即合力为,则即故选:A【点睛】本题考查了向量的运算在物理中的简单应用,静止状态的条件应用,属于基础
3、题.4.甲、乙、丙三位客人在参加中国（绵阳）科技城国际科技博览会期间，计划到绵阳的九皇山、七曲山大庙两个景点去参观考察，由于时间关系，每个人只能选择一个景点，则甲、乙、丙三人恰好到同一景点旅游参观的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】可用列举法写出三人选择景点的各种情形然后计数后可概率【详解】两景点用1，2表示，三人选择景点的各种情形为：甲1乙1丙1 ，甲1乙1丙2 ，甲1乙2丙1 ，甲2乙1丙1 ，甲2乙2丙1 ，甲2乙1丙2 ，甲1乙2丙2 ，甲2乙2丙2 共8种，其中三人去同一景点的有甲1乙1丙1 和甲2乙2丙2两种，所以概率为故选：B【点睛】本题考查古典概型，
4、解题时可用列举法写出所有的基本事件5.已知为任意角，则“”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要【答案】B【解析】【分析】说明命题和是否为真即可【详解】，则，因此“”是“”的必要不充分条件故选：B【点睛】本题考查充分必要条件的判断，只要命题为真，则是的充分条件，是的必要条件6.若的展开式中各项系数的和为1，则该展开式中含项的系数为（ ）A. -80B. -10C. 10D. 80【答案】A【解析】【分析】根据二项式定理展开式的各项系数和为1,即可得参数的值.由二项展开式的通项即可求得项的系数.【详解】因为的展开式中各项系数的和为1令代入可得,
5、解得即二项式为展开式中含的项为 所以展开式中含项的系数为 故选:A【点睛】本题考查了二项定理展开式的简单应用,指定项系数的求法,属于基础题.7.已知某产品的销售额与广告费用之间的关系如下表：（单位：万元）01234（单位：万元）10153035若根据表中的数据用最小二乘法求得对的回归直线方程为，则下列说法中错误的是（ ）A. 产品的销售额与广告费用成正相关B. 该回归直线过点C. 当广告费用为10万元时，销售额一定为74万元D. 的值是20【答案】C【解析】【分析】根据回归直线方程中系数为正，说明两者是正相关，求出后，再由回归方程求出，然后再求得，同样利用回归方程可计算出时的预估值【详解】因为
6、回归直线方程中系数为6.50，因此，产品的销售额与广告费用成正相关，A正确；又，回归直线一定过点，B正确；时，说明广告费用为10万元时，销售额估计为74万元，不是一定为74万元，C错误；由，得，D正确故选：C【点睛】本题考查回归直线方程，回归直线方程中系数的正负说明两变量间正负相关性，回归直线一定过中心点，回归直线方程中计算的值是预估值，不是确定值8.双曲线的右焦点为，过作与双曲线的两条渐近线平行的直线且与渐近线分别交于，两点，若四边形（为坐标原点）的面积为，则双曲线的离心率为（ ）A. B. 2C. D. 3【答案】B【解析】【分析】把四边形面积用表示出来，它等于，变形后可求得离心率【详解】
7、由题意，渐近线方程，不妨设方程为，由，得，即，同理，由题意，故选：B【点睛】本题考查求双曲线的离心率求离心率关键是找到关于的一个等式，本题中四边形的面积是就是这个等式，因此只要按部就班地求出其面积即可得9.小明与另外2名同学进行“手心手背”游戏，规则是：3人同时随机等可能选择手心或手背中的一种手势，规定相同手势人数多者每人得1分，其余每人得0分.现3人共进行了4次游戏，记小明4次游戏得分之和为，则的期望为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】根据古典概型概率求法,列举出现的所有可能.由离散型随机变量的概率求法,可得小明得分的对应的概率与分布列,即可求出得分之和的期望.
8、【详解】进行“手心手背”游戏,3人出现的所有可能情况如下所示:(心,心,心), (心,心,背),(心,背,心),(背,心,心)(心,背,背),(背,心,背),(背,背,心),(背,背,背)则小明得1分的概率为,得0分的概率为进行4次游戏,小明得分共有5种情况:0分,1分,2分,3分,4分 由独立重复试验的概率计算公式可得:则得分情况的分布列如下表所示:01234P则的期望 故选:C【点睛】本题考查了离散型随机变量的概率分布及期望的求法,属于基础题.10.已知圆：，点，在圆上，平面上一动点满足且，则的最大值为（ ）A. 4B. C. 6D. 【答案】D【解析】【分析】根据几何意义可知动点位于以为
9、直径的圆上,由正弦定理即可求得的最大值.【详解】圆：化成标准方程可得所以圆C的半径为因为点,在圆上,动点满足且所以位于以为直径的圆上,位置关系如下图所示:则,即 在三角形中,由正弦定理可得 代入可得则因为所以的最大值为故选:D【点睛】本题考查了圆的一般方程与标准方程的转化,圆的几何性质,正弦定理的简单应用,属于中档题.11.已知为偶函数，且当时，则满足不等式的实数的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由偶函数性质把不等式化为，由导数确定函数在上的单调性，利用单调性解不等式【详解】是偶函数，则不等式可化为，即，时，令，则，是上的增函数，当时，时，在上是增函数，由得，
10、即，故选：A【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性，考查解对数不等式此各种类型不等式的解法是：本题这种类型的不等式有两种，一种是奇函数，不等式为，转化为，一种是偶函数，不等式为，转化为，然后由单调性去函数符号“”12.函数在区间上恰有一个零点，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据函数零点存在定理可求得的取值范围.并根据区间上恰有一个零点,分析可知当时函数有两个零点,不符合要求,即可求得最终的取值范围.【详解】函数在区间上恰有一个零点,则,由二次函数的图像与对数函数的图像可知,函数零点至多有两个.且因为恰有一个零点,所以满足且与在上不同时成立.解不等式可得
11、 当时,函数,区间为且满足,所以在内有一个零点, 为一个零点.故由题意可知,不符合要求综上可知, 的取值范围为故选:D【点睛】本题考查了函数零点存在定理的综合应用,根据零点个数求参数的取值范围.需要判断零点个数及检验参数是否符合题目要求,属于难题.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.直线：与直线平行，则实数的值是_.【答案】2.【解析】【分析】由两直线平行的条件判断【详解】由题意，解得故答案为：2【点睛】本题考查两直线平行的充要条件，两直线和平行，条件是必要条件，不是充分条件，还必须有或，但在时，两直线平行的充要条件是14.法国数学家布丰提出一种计算圆周率的方法随机投针法，
12、受其启发，我们设计如下实验来估计的值：先请200名同学每人随机写下一个横、纵坐标都小于1的正实数对；再统计两数的平方和小于1的数对的个数；最后再根据统计数来估计的值.已知某同学一次试验统计出，则其试验估计为_.【答案】3.12【解析】【分析】横、纵坐标都小于1的正实数对构成第一象限内的一个正方形, 两数的平方和小于1的数对为单位圆在第一象限的部分.由几何概型概率的计算公式,及试验所得结果,即可估计的值.【详解】横、纵坐标都小于1的正实数对构成第一象限内的一个正方形,两数的平方和小于1的数对为单位圆在第一象限的部分.其关系如下图所示:则阴影部分与正方形面积的比值为 由几何概型概率计算公式可知 解
13、得故答案为: 【点睛】本题考查了几何概型概率的求法,根据题意得各部分的关系是解决问题的关键,属于基础题.15.函数的图象如图所示，则在区间上的零点之和为_.【答案】.【解析】【分析】先求出周期，确定，再由点确定，得函数解析式，然后可求出上的所有零点【详解】由题意，又且，由得，在内有：，它们的和为【点睛】本题考查三角函数的零点，由三角函数图象求出函数解析式，然后解方程得出零点，就可确定在已知范围内的零点本题也可用对称性求解，由函数周期是，区间含有两个周期，而区间端点不是函数零点，因此在上有4个零点，它们关于直线对称，由此可得4个零点的和16.过点的直线与抛物线：交于，两点（在，之间），是抛物线的
14、焦点，点满足：，则与的面积之和的最小值是_.【答案】8【解析】【分析】根据直线过点,设出直线的方程.联立抛物线后可表示出、两点的纵坐标,利用可表示出点的纵坐标.由三角形面积公式可表示出与的面积之和.对表达式求导,根据导数即可求得面积和的最小值.【详解】根据题意,画出抛物线及直线方程如下图所示:因为直线过点设直线的方程为 则,化简可得因为有两个不同交点,则,解得或不妨设,则解方程可得因为,则所以所以则 ,()令则令解得 当时, ,所以在内单调递减当时, ,所以在内单调递增即当时取得最小值.所以故答案为:【点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系,抛物线中三角形面积的求法,利用导数求函数的最值的应用
15、,综合性强,属于难题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.每年的4月23日为“世界读书日”，某调查机构对某校学生做了一个是否喜爱阅读的抽样调查.该调查机构从该校随机抽查了100名不同性别的学生（其中男生45名），统计了每个学生一个月的阅读时间，其阅读时间（小时）的频率分布直方图如图所示：（1）求样本学生一个月阅读时间的中位数.（2）已知样本中阅读时间低于的女生有30名，请根据题目信息完成下面的列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为阅读
16、与性别有关.列联表男女总计总计附表：0150.100.052.0722.7063.841其中：.【答案】（1）；（2）不能在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为阅读与性别有关.【解析】【分析】（1）频率为0.5对应的点的横坐标为中位数；（2）100名学生中男生45名，女生55名，由频率分布直方图知，阅读时长大于等于的人数为50人，小于的也有50人，阅读时间低于的女生有30名，这样可得列联表中的各数，得列联表，依据公式计算，对照附表可得结论【详解】（1）由题意得，直方图中第一组，第二组的频率之和为.所以阅读时间的中位数.（2）由题意得，男生人数为45人，因此女生人数为55人，由频率分布直方图知，
17、阅读时长大于等于的人数为人，故列联表补充如下：男女总计252550203050总计4555100的观测值，所以不能在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为阅读与性别有关.【点睛】本题考查频率分布直方图，考查独立性检验正确认识频率分布直方图是解题基础18.已知等差数列的前项和为，且满足，.各项均为正数的等比数列满足，.（1）求和；（2）求和：.【答案】(1) . (2) 【解析】【分析】（1）根据等差数列与等比数列的通项公式,可得方程组,解方程组即可求得数列与数列的通项公式.（2）根据等比数列的前n项和公式,可先求得的通项公式,进而根据分组求得即可求得.【详解】（1）设等差数列的公差为,等比数列的
18、公比为.由题意,得,解得,等比数列的各项均为正数由解得或（舍）（2）由（1）得,.【点睛】本题考查了等差数列与等比数列通项公式的求法,等比数列前n项和公式的简单应用,属于基础题.19.在中，内角，所对的边分别为，.已知.（1）求；（2）若为边上一点，且，求.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由正弦定理把角的关系转化为边的关系，再由余弦定理可求得；（2）把的面积用两种方法表示建立与三角形各边的关系，由，即即代入可得，再代入余弦定理中可求得，从而可得，于是得的值【详解】（1）在中，由正弦定理得，即.由余弦定理得，结合，可知.（2）在中，即.由已知，可得.在中，由余弦定理得，即，整理得，
19、即，.【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式，第（2）问解题关键是把三角形面积用两种方法表示而建立等式：20.已知椭圆：，直线交椭圆于，两点.（1）若点满足（为坐标原点），求弦的长；（2）若直线的斜率不为0且过点，为点关于轴的对称点，点满足，求的值.【答案】(1) (2) 【解析】【分析】（1）设出,两点的坐标,结合关系式,即可得线段的中点坐标.利用点差法可求得直线的斜率,根据点斜式求得直线的方程.再结合弦长公式即可求得弦的长;（2）设出直线的方程,根据M的坐标及可知.由两点的斜率公式,可得,将,两点的坐标代入直线方程后,整理代入的表达式,联立圆的方程,即可得关于的方程.进而用韦达
20、定理求得n的值即可.【详解】（1）设,由,且点,得,.线段的中点坐标为,其在椭圆内由两式相减得,整理得,即.将代入,得.直线方程为,即.联立消去得,由韦达定理得,.（2）设直线的方程为,由题意得,由已知,可知,三点共线,即.,即,解得.将,代入得.联立消去得由韦达定理得,.将代入得到【点睛】本题考查了直线与椭圆的位置关系,点差法在求直线方程中的应用,弦长公式的用法,综合性较强,属于难题.21.已知函数，其中.（1）讨论函数的单调性；（2）若，记函数的两个极值点为，（其中），当的最大值为时，求实数的取值范围.【答案】(1) 当时,在上单调递增；当时,在和上单调递增,在上单调递减. (2) 【解析
21、】【分析】（1）先求得的导函数,并令.通过对判别式及的讨论,即可判断单调性.（2）根据（1）可知当时,有两极值点,且两个极值点为的两根.进而可得两个极值点间的关系.利用作差法可得的表达式,并令,及.进而通过求导得的单调性,进而根据最大值可求得的值.解得,的值.即可得的取值范围.【详解】（1）.令,则.当或,即时,得恒成立,在上单调递增.当,即时,由,得或；由,得.函数在和上单调递增,在上单调递减.综上所述,当时,在上单调递增；当时,在和上单调递增,在上单调递减.（2）由（1）得当时,有两极值点,（其中）.由（1）得,为的两根,于是,.令,则.,在上单调递减.由已知的最大值为,而.设的取值集合为
22、,则只要满足且中的最小元素为2的集合均符合题意.又,易知在上单调递增,结合,可得与是一一对应关系.而当,即时,联合,解得,进而可得.实数的取值范围为.【点睛】本题考查了导数在研究函数单调性中的综合应用,分类讨论判断函数的单调区间,构造函数法判断函数的单调性及参数的取值范围,综合性强,是高考的常考点和难点,属于难题.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题做答.如果多做，则按所做的第一题记分.22.在平面直角坐标系中，曲线参数方程为（，为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线经过点，曲线的直角坐标方程为.（1）求曲线的普通方程，曲线的极坐标方程；（2）若，是曲
23、线上两点，当时，求的取值范围.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）由消元后得普通方程，由代入直角坐标方程可得极坐标方程；（2）直接把两点的极坐标代入曲线的极坐标方程，得，这样就可转化为三角函数式，利用三角函数知识可得取值范围【详解】（1）将的参数方程化为普通方程为.由，得点的直角坐标为，代入，得，曲线的普通方程为.可化为，即，曲线的极坐标方程为.（2）将点，代入曲线的极坐标方程，得，.由已知，可得，于是.所以的取值范围是.【点睛】本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查参数方程与普通方程的互化消元法和公式法是解决此类问题的常用方法23.已知关于的不等式，其中.（1）当时，求不等式的解集；（2）若该不等式对恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）用分类讨论的方法去绝对值符号后再解不等式，最后要合并（求并集）；（2）设，同样用分类讨论去绝对值符号化函数为分段函数，求得最大值，解相应不等式可得的范围【详解】（1）由时，.原不等式化为，当时，解得，综合得；当时，解得，综合得；当时，解得，综合得.不等式的解集为.（2）设函数，画图可知，函数的最大值为.由，解得.【点睛】本题考查解含绝对值的不等式，解题方法是根据绝对值定义去掉绝对值符号，用分类讨论的方法分段解不等式
