1、41.3幂函数新课程标准解读核心素养通过具体实例，结合yx，y，yx2，y，yx3的图象，理解它们的变化规律，了解幂函数，会求幂函数的解析式数学抽象、直观想象、逻辑推理我们以前学过函数yx，yx2，y.问题(1)这三个函数的解析式有什么共同的特点吗？(2)你能根据初中学过的整数指数幂的运算，把这三个函数的解析式改写成统一的形式吗？知识点一幂函数的概念1定义：当x为自变量而为非零实数时，函数yx叫作(次)幂函数2幂函数分类(1)整数次幂函数当为1，2，3正整数时，此幂函数是正整数次幂函数，一般写成yxn(xR，nZ)；当为1，2，3，负整数时，此幂函数是负整数次幂函数一般写成yxn(nZ且x0)
2、，正整数次幂函数和负整数次幂函数统称为整数次幂函数(2)当为，分数时，此幂函数是分数次幂函数如yx，yx等3幂运算的基本不等式的推广：对任意的正数r和两正数ab，有1，即arbr.对任意的负数r和两正数ab，有1，即ar0时，它在0，)上有定义且递增，值域为0，)，函数图象过(0，0)和(1，1)两点；(2)当”“”或“幂函数的概念例1(1)在函数yx2，y2x2，y(x1)2，y3x中，幂函数的个数为()A0B1C2 D3(2)若f(x)(m24m4)xm是幂函数，则m_解析(1)根据幂函数定义可知，只有yx2是幂函数，所以选B.(2)因为f(x)是幂函数，所以m24m41，即m24m50，
3、解得m5或m1.答案(1)B(2)5或1判断一个函数是否为幂函数的方法判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为yx(为常数)的形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需满足：(1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)系数为1. 跟踪训练1(多选)下列函数中是幂函数的是()Ay By4x2Cy2x1 Dyx解析：选AD幂函数是形如yx(为常数)的函数，A是1的情形，D是的情形，所以A和D都是幂函数；B中x2的系数是4，不是幂函数；易知C不是幂函数2已知函数f(x)(a2a1)x为幂函数，则实数a的值为()A1或2 B2或1C1 D1解析：选C因为f(x)(a2a1)x为幂函数，所以a2a11
4、，即a2或1.又a20，所以a1.幂函数图象及其应用例2(链接教科书第103页习题8题)点(，2)与点分别在幂函数f(x)，g(x)的图象上，问当x为何值时，有：(1)f(x)g(x)；(2)f(x)g(x)；(3)f(x)g(x)；(2)当x1时，f(x)g(x)；(3)当x(0，1)时，f(x)g(x)解决幂函数图象问题应把握的两个原则(1)依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：在(0，1)上，指数越大，幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低)；在(1，)上，指数越大，幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高)；(2)依据图象确定幂指数与0，1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象来判断
5、跟踪训练1若幂函数yf(x)的图象经过点(2，)，则f(3)()A. BC3 D9解析：选B设幂函数yf(x)x，其图象经过点(2，)，则2，解得.f(x)x，f(3).故选B.2下面给出4个幂函数的图象，则图象与函数大致对应的是()Ayx2，yx，yx，yx1Byx3，yx2，yx，yx1Cyx2，yx3，yx，yx1Dyx，yx，yx2，yx1解析：选B注意到函数yx20，且该函数是偶函数，其图象关于y轴对称，该函数图象应与对应；yx的定义域、值域都是0，)，该函数图象应与对应；yx1，其图象应与对应幂函数的性质例3(链接教科书第101页例9)探讨幂函数f(x)x的单调性解f(x)x的定义
6、域为(0，)x1，x2(0，)，且x1x10，所以x1x20，于是f(x2)f(x1)0，即f(x2)f(x1)，所以幂函数f(x)x是减函数母题探究(变条件)本例若增加条件“(a1) (32a) ”，求实数a的取值范围解：因为f(x)x在区间(0，)上是减函数，所以(a1) (32a) 等价于解得a0时，yx是增函数；当f(1a)的实数a的取值范围是_解析：设幂函数为f(x)x，因为其图象过点(2，8)，所以28，解得3，所以f(x)x3.因为f(x)x3在R上为增函数，所以由f(a3)f(1a)，得a31a，解得a2.所以满足不等式f(a3)f(1a)的实数a的取值范围是(2，)答案：(2
7、，)比较幂值的大小例4(链接教科书第101页例8)比较下列各组数的大小：(1)与；(2)与；(3)与.解(1)幂函数yx0.5在(0，)上是单调递增的，又，.(2)幂函数yx1在(，0)上是单调递减的，又.(3)函数y1x为(0，)上的增函数，又1，11.又函数y2x在(0，)上是增函数，且1，11，.比较幂值大小的2种方法 跟踪训练比较下列各组值的大小：(1)(0.31)，0.35；(2)1.2，1.4，1.42.解：(1)yx为R上的偶函数，(0.31)0.31.又函数yx在0，)上单调递增，且0.310.35，0.310.35，即(0.31)0.35.(2)yx在0，)上是增函数，且1.
8、21.4，1.21.4.易知1.41.42，1.21.40，b0)的图象与性质解：函数f(x)ax(a0，b0)具有如下基本性质：(1)f(x)为奇函数；(2)f(x)在上单调递减，在上单调递增，在(0，)上有最小值2；f(x)在上单调递减，在上单调递增，在(，0)上有最大值2；(3)在第一象限内，函数图象向上与y轴无限接近、向右与直线yax无限接近；在第三象限内，函数图象向下与y轴无限接近，向左与直线yax无限接近该函数的图象如图所示1下列函数中是幂函数的是()Ayx4x2By10xCy Dyx1解析：选C根据幂函数的定义知，y是幂函数，yx4x2，y10x，yx1都不是幂函数2下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，)上单调递减的函数是()Ayx2 Byx1Cyx2 Dyx解析：选A所给选项都是幂函数，其中yx2和yx2是偶函数，yx1和yx不是偶函数，故排除选项B、D，又yx2在区间(0，)上单调递增，不合题意，yx2在区间(0，)上单调递减，符合题意，故选A.3已知2.42.5，则的取值范围是_解析：因为02.42.5，而2.42.5，所以yx在(0，)上为减函数，故0.答案：(，0)4比较下列各组数的大小：(1)，；(2)，.解：(1)由幂函数yx在(0，)上单调递增，得.
