1、课时分层训练抓基础自主学习明考向题型突破第七章 立体几何初步 第二节 空间几何体的表面积与体积考纲传真 了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式1多面体的表(侧)面积因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是_与底面面积之和2圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图 侧面积公式 S 圆柱侧_S 圆锥侧_S 圆台侧_侧面积2rlrl(r1r2)l3.柱、锥、台和球的表面积和体积名称几何体 表面积体积柱体(棱柱和圆柱)S 表面积S 侧2S 底V_锥体(棱锥和圆锥)S 表面积S 侧S 底V_台体(棱台和圆台)S 表面积S 侧S 上S 下
2、V13(S 上S 下 S上S下)h球S_V_Sh13Sh4R243R31(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)锥体的体积等于底面面积与高之积()(2)球的体积之比等于半径比的平方()(3)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差()(4)已知球 O 的半径为 R，其内接正方体的边长为 a，则 R 32 a.()答案(1)(2)(3)(4)2(教材改编)已知圆锥的表面积等于 12 cm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为()A1 cm B2 cmC3 cmD.32 cmB S 表r2rlr2r2r3r212，r24，r2(cm)3(2015全国卷)九章算术是我国古
3、代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图 7-2-1，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为 8 尺，米堆的高为 5 尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺，圆周率约为 3，估算出堆放的米约有()A14 斛B22 斛C36 斛D66 斛图 7-2-1B 设米堆的底面半径为 r 尺，则2r8，所以 r16，所以米堆的体积为 V1413r25 1216253209(立方尺)故堆放的米约有3209 1.6222(斛)故选 B.4(2016全国卷)体积为 8 的
4、正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为()A12B.323 C8D4A 设正方体棱长为 a，则 a38，所以 a2.所以正方体的体对角线长为 2 3，所以正方体外接球的半径为 3，所以球的表面积为 4(3)212，故选 A.5(2017郑州质检)某几何体的三视图如图 7-2-2 所示(单位：cm)，则该几何体的体积是_cm3.图 7-2-2323 由三视图可知该几何体是由棱长为 2 cm 的正方体与底面为边长为 2 cm的正方形、高为 2 cm 的四棱锥组成，VV 正方体V 四棱锥8 cm383 cm3323 cm3.空间几何体的表面积(1)某几何体的三视图如图 7-2-3 所示，则该几
5、何体的表面积等于()图 7-2-3A82 2 B112 2C142 2D15(2)(2016全国卷)如图 7-2-4，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径若该几何体的体积是283，则它的表面积是()A17B18C20D28图 7-2-4(1)B(2)A(1)由三视图知，该几何体是一个直四棱柱，上、下底面为直角梯形，如图所示直角梯形斜腰长为 1212 2，所以底面周长为 4 2，侧面积为 42 22282 2，两底面的面积和为 2121(12)3.所以该几何体的表面积为 82 23112 2.(2)由几何体的三视图可知，该几何体是一个球体去掉上半球的14，得到的几何体如
6、图设球的半径为 R，则43R31843R3283，解得 R2.因此它的表面积为784R234R217.故选 A.规律方法 1.(1)多面体与旋转体的表面积等于侧面面积与底面面积之和(2)简单组合体：应搞清各构成部分，并注意重合部分的处理2若以三视图的形式给出，解题的关键是对给出的三视图进行分析，从中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系，得到几何体的直观图，然后根据条件求解变式训练 1(2016全国卷)如图 7-2-5，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为()【导学号：31222245】图 7-2-5A1836 5B5418 5C90D81B 由
7、三视图可知该几何体是底面为正方形的斜四棱柱，其中有两个侧面为矩形，另两个侧面为平行四边形，则表面积为(333633 5)25418 5.故选 B.空间几何体的体积(1)在梯形 ABCD 中，ABC2，ADBC，BC2AD2AB2.将梯形 ABCD 绕 AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为()A.23B.43C.53D2(2)(2016天津高考)已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图 7-2-6 所示(单位：m)，则该四棱锥的体积为_m3.图 7-2-6(1)C(2)2(1)过点 C 作 CE 垂直 AD 所在直线于点 E，梯形ABCD 绕 AD 所在直线旋
8、转一周而形成的旋转体是由以线段 AB 的长为底面圆半径，线段 BC 为母线的圆柱挖去以线段 CE 的长为底面圆半径，ED 为高的圆锥，如图所示由于 V 圆柱AB2BC1222，V 圆锥13CE2DE1312(21)3，所以该几何体的体积 VV 圆柱V 圆锥2353.(2)由三视图知，四棱锥的高为 3，底面平行四边形的一边长为 2，对应高为1，所以其体积 V13Sh132132.规律方法 1.若所给定的几何体是柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解2若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法(转换的原则是使底面面积和高易求)、分割法、补形法等方法进行求解3若以三视图的形式给出几
9、何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解变式训练 2 一个几何体的三视图如图 7-2-7 所示(单位：m)，则该几何体的体积为_m3.图 7-2-783 由几何体的三视图可知该几何体由两个圆锥和一个圆柱构成，其中圆锥的底面半径和高均为 1，圆柱的底面半径为 1 且其高为 2，故所求几何体的体积为V13121212283.多面体与球的切、接问题(2016全国卷)在封闭的直三棱柱 ABC-A1B1C1内有一个体积为 V 的球若 ABBC，AB6，BC8，AA13，则 V 的最大值是()A4B.92C6D.323B 由 ABBC，AB6，BC8，得 AC10，要使球的体积 V 最大
10、，则球与直三棱柱的部分面相切，若球与三个侧面相切，设底面ABC 的内切圆的半径为 r.则126812(6810)r，则 r2.此时 2r43，不合题意因此球与三棱柱的上、下底面相切时，球的半径 R 最大由 2R3，即 R32.故球的最大体积 V43R392.迁移探究1 若本例中的条件变为“直三棱柱ABC-A1B1C1的6个顶点都在球 O 的球面上”，若 AB3，AC4，ABAC，AA112，求球 O 的表面积解 将直三棱柱补形为长方体 ABEC-ABEC，则球 O 是长方体 ABEC-ABEC的外接球，体对角线 BC的长为球 O 的直径因此 2R 324212213，故 S 球4R2169.迁
11、移探究 2 若本例中的条件变为“正四棱锥的顶点都在球 O 的球面上”，若该棱锥的高为 4，底面边长为 2，求该球的体积解 如图，设球心为 O，半径为 r，则在 RtAOF 中，(4r)2(2)2r2，解得 r94，则球 O 的体积 V 球43r34394324316.规律方法 1.与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接球与旋转体的组合通常是作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”、“接点”作出截面图，把空间问题化归为平面问题2若球面上四点 P，A，B，C 中 PA，PB，PC 两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直，可构造长方体或正方体确定直径解决外接问题
12、变式训练 3(2015全国卷)已知 A，B 是球 O 的球面上两点，AOB90，C 为该球面上的动点若三棱锥 O-ABC 体积的最大值为 36，则球 O 的表面积为()A36B64C144D256C 如图，设球的半径为 R，AOB90，SAOB12R2.VO-ABCVC-AOB，而AOB 面积为定值，当点 C 到平面 AOB 的距离最大时，VO-ABC 最大，当 C 为与球的大圆面 AOB 垂直的直径的端点时，体积 VO-ABC 最大为1312R2R36，R6，球 O 的表面积为 4R2462144.故选 C.思想与方法1转化与化归思想：计算旋转体的侧面积时，一般采用转化的方法来进行，即将侧面展开化为平面图形，“化曲为直”来解决，因此要熟悉常见旋转体的侧面展开图的形状及平面图形面积的求法2求体积的两种方法：割补法：求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决等积法：等积法包括等面积法和等体积法等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高易错与防范1求组合体的表面积时，要注意各几何体重叠部分的处理，防止重复计算2底面是梯形的四棱柱侧放时，容易和四棱台混淆，在识别时要紧扣定义，以防出错课时分层训练（三十九）点击图标进入
