1、第节函数模型及其应用 【选题明细表】知识点、方法题号一次函数、二次函数模型1、3、11分段函数模型4、6、7、10指数函数模型2、8、12其他问题5、9一、选择题1. (2012浙江温州月考)某电信公司推出两种手机收费方式:A种方式是月租20元,B种方式是月租0元.一个月的本地网内通话时间t(分钟)与电话费s(元)的函数关系如图所示,当通话150分钟时,这两种方式电话费相差(A)(A)10元(B)20元(C)30元(D)元解析:依题意可设sA(t)=20+kt,sB(t)=mt,又sA(100)=sB(100),100k+20=100m,得k-m=-0.2,于是sA(150)-sB(150)=
2、20+150k-150m=20+150(-0.2)=-10,即两种方式电话费相差10元,选A.2.在一次数学试验中,采集到如下一组数据:x-2-10123y0.240.5112.023.988.02则下列函数与x,y的函数关系最接近的是(其中a,b为待定系数)(B)(A)y=a+bx(B)y=a+bx(C)y=ax2+b(D)y=a+解析:由数据知x,y之间的函数关系近似为指数型,故选B.3.(2012海口市调研)若一根蜡烛长20 cm,点燃后每小时燃烧5 cm,则燃烧剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(小时)的函数关系用图象表示为(B)解析:根据题意得解析式为h=20-5t(0t4),其图象为
3、B.4.(2012福州模拟)国家规定某行业征税如下:年收入在280万元及以下的税率为p%,超过280万元的部分按(p+2)%征税,有一公司的实际缴税比例为(p+0.25)%,则该公司的年收入是(D)(A)560万元(B)420万元(C)350万元(D)320万元解析:设该公司的年收入为x,纳税额为y,则由题意,得y=依题意有,=(p+0.25)%.解之得x=320(万元).故选D.5.某农贸市场出售西红柿,当价格上涨时,供给量相应增加,而需求量相应减少,具体调查结果如下表.表1市场供给量单价(元/kg)22.533.33.54供给量(1000 kg)506070758090表2市场需求量单价(
4、元/kg)43.53.22.82.42需求量(1000 kg)506065707580根据以上提供的信息,市场供需平衡点(即供给量和需求量相等时的单价)应在的区间是(C)(A)(2.4,2.5)(B)(2.5,2.8)(C)(2.8,3)(D)(3,3.2)解析:由表1、表2可知,当市场供给量为6070时,市场单价为2.53,当市场需求量为6570时,市场单价为2.83.2,所以市场供需平衡点应在2.83内,故选C.6.某种新药服用x小时后血液中的残留量为y毫克,如图所示为函数y=f(x)的图象,当血液中药物残留量不小于240毫克时,治疗有效.设某人上午8:00第一次服药,为保证疗效, 则第二
5、次服药最迟的时间应为(C) (A)上午10:00(B)中午12:00(C)下午4:00(D)下午6:00解析:当x0,4时,设y=k1x,把(4,320)代入,得k1=80,y=80x.当x4,20时,设y=k2x+b.把(4,320),(20,0)代入得解得y=400-20x.y=f(x)=由y240,得或解得3x4或4x8,3x8.故第二次服药最迟应在当日下午4:00.故选C.二、填空题7.(2012河南调研)为了在“十一”黄金周期间降价搞促销,某超市对顾客实行购物优惠活动,规定一次购物付款总额:如果不超过200元,则不予优惠;如果超过200元,但不超过500元,则按标价给予9折优惠;如果
6、超过500元,其中500元按第条给予优惠,超过500元的部分给予7折优惠,辛云和她母亲两次去购物,分别付款168元和423元,假设她们一次性购买上述同样的商品,则应付款额为元.解析:依题意,价值为x元商品和实际付款数f(x)之间的函数关系式为f(x)=当f(x)=168时,1680.9187200,故此时x=168;当f(x)=423时,4230.9=470(200,500,故此时x=470.所以两次共购得价值为470+168=638元的商品,又5000.9+(638-500)0.7=546.6元,即若一次性购买上述商品,应付款额为546.6元.答案:546.68.(2012长春模拟)一个容器
7、装有细沙a cm3,细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出,t min后剩余的细沙量为y=ae-bt(cm3),经过8 min后发现容器内还有一半的沙子,则再经过min,容器中的沙子只有开始时的八分之一.解析:依题意有ae-b8=a,b=,y=a若容器中只有开始时的八分之一,则有a=a.解得t=24,所以再经过的时间为24-8=16 min.答案:169.某商家一月份至五月份累计销售额达3860万元,预测六月份销售额为500万元,七月份销售额比六月份递增x%,八月份销售额比七月份递增x%,九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等.若一月份至十月份销售总额至少达7000万元,则x的最小值是
8、.解析:七月份的销售额为500(1+x%),八月份的销售额为500(1+x%)2,则一月份到十月份的销售总额是3860+500+2500(1+x%)+500(1+x%)2,根据题意有3860+500+2500(1+x%)+500(1+x%)27000,即25(1+x%)+25(1+x%)266,令t=1+x%,则25t2+25t-660,解得t或t-(舍去),故1+x%,解得x20.故x的最小值为20.答案:20三、解答题10.(2013南充高中第六次月考)今年的中秋国庆假期是实施免收小型客车高速通行费政策后的第一个重大节假日,10月3日南充有一个群名为“天狼星”的自驾游车队,组织车友前往重庆
9、游玩.该车队是由31辆车身长都约为5 m(以5 m计算)的同一车型组成的,行程中经过一个长为2725 m的隧道(通过该隧道的车速不能超过25 m/s).匀速通过该隧道时,设车队的速度为x m/s.根据安全和车流的需要,当0x12时,相邻两车之间保持20 m的距离;当12x25时,相邻两车之间保持m的距离.自第1辆车车头进入隧道至第31辆车车尾离开隧道所用的时间为y(s).(1)将y表示为x的函数;(2)求该车队通过隧道时间y的最小值及此时车队的速度. 解:(1)当0x12时,y=;当12x25时,y=5x+10,所以,y=(2)当0x12时,在x=12(m/s)时,ymin=290(s);当1
10、2250,所以当x=24(m/s)时,ymin=250(s).即该车队通过隧道时间y的最小值为250 s及此时该车队的速度为24 m/s. 11.(2013内江市第一次模拟)某商场试销一种成本为每件60元的服装,规定试销期间销售单价不低于成本单价,且获利不得高于45%,经试销发现,销售量y(件)与销售单价x(元)满足y=-x+120.(1)销售单价定为多少元时,商场可获得最大利润,最大利润是多少元?(2)若该商场获得利润不低于500元,试确定销售单价x的范围.解:(1)设该商场获得利润为W元,则W=(x-60)(-x+120)=-x2+180x-7200=-(x-90)2+900,由题意可知6
11、0x87.函数W=-x2+180x-7200在区间60,87上是增函数,当x=87时,Wmax=-(87-90)2+900=891.当销售单价定为87元时,商场可获得最大利润,最大利润是891元.(2)由W500,得-x2+180x-7200500,70x110.又60x87,70x87,销售单价x的范围是70,87.12.(2012武汉模拟)我国加入WTO时,根据达成的协议,若干年内某产品市场供应量p与关税的关系近似满足p(x)=(其中t为关税的税率,且t,x为市场价格,b,k为正常数),当t=时的市场供应量曲线如图所示.(1)根据图象,求b,k的值;(2)记市场需求量为a,它近似满足a(x)=,当p=a时的市场价格称为市场平衡价格.当市场平衡价格控制在不低于9元时,求关税税率的最小值.解:(1)由题图知,t=时,有解得(2)当p=a时,得=,解得t=-.令m=,x9,m,t=-(17m2-m-2),对称轴为m=且开口向下.m=时,t取得最小值,此时x=9,所以税率t的最小值为.
