1、第5课时空间几何体的表面积和体积一、 填空题1. 已知圆锥的侧面展开图为一个圆心角为120，且面积为3的扇形，则该圆锥的体积为_答案：解析：设圆锥的母线为l，底面半径为r，因为3l2，所以l3，由2r，得r1，所以圆锥的高是2，所以圆锥的体积是122.2. 如图，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AB3 cm，AA11 cm，则三棱锥D1A1BD的体积为_cm3.答案：解析：三棱锥D1A1BD的体积等于三棱锥BA1D1D的体积，因为三棱锥BA1D1D的高等于AB，A1D1D的面积为矩形AA1D1D的面积的，所以三棱锥BA1D1D的体积是正四棱柱ABCDA1B1C1D1的体积的，所以三棱锥D
2、1A1BD的体积为321.3. 若正四棱锥的底面边长为2 cm，侧面积为8 cm，则它的体积为_cm3.答案：解析：因为正四棱锥的底面边长为2，侧面积为8，所以底面周长c8，ch8，所以斜高h2，所以正四棱锥的高h，所以正四棱锥的体积为22.4. 底面边长为2，侧棱长为的正四棱锥的体积为_答案：解析：底面边长为2，侧棱长为的正四棱锥的高为1，底面积为4，则体积为.5. 设M，N分别为三棱锥P ABC的棱AB，PC的中点，三棱锥P ABC的体积记为V1，三棱锥P AMN的体积记为V2，则_答案：解析：设AMN的面积为S，点P到平面AMN的距离为h，则V2Sh，而V122Sh，则. 6. 如图，在
3、正三棱柱ABCA1B1C1中，已知ABAA13，点P在棱CC1上，则三棱锥PABA1的体积为_答案： 解析：三棱锥的底SABA133，点P到底面ABA1的距离为ABC的高：h ，故三棱锥的体积VSh .7. 已知正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为1，点E是棱B1B的中点，则三棱锥B1ADE的体积为_答案：解析：三棱锥B1ADE的体积三棱锥DB1AE的体积11.8. 若一个正方体与底面边长为2，侧棱长为的正四棱锥的体积相等，则该正方体的棱长为_答案：2解析：底面边长为2，侧棱长为的正四棱锥的体积为8，则该正方体的棱长为2.9. 已知正四棱锥OABCD的体积为，底面边长为，则以O为球心，OA
4、为半径的球的表面积为_答案：24解析：设正四棱锥的高为h，则()2h，解得高h.则底面正方形的对角线长为，所以OA，所以球的表面积为4()224.10. 将矩形ABCD绕边AB旋转一周得到一个圆柱，AB3，BC2，圆柱上底面圆心为O，EFG为下底面圆的一个内接直角三角形，则三棱锥OEFG体积的最大值是_答案：4解析：因为将矩形ABCD绕边AB旋转一周得到一个圆柱，AB3，BC2，圆柱上底面圆心为O，EFG为下底面圆的一个内接直角三角形，所以三棱锥OEFG的高为圆柱的高，即高为AB，所以当三棱锥OEFG体积取最大值时，EFG的面积最大，当EF为直径，且点G在EF的垂直平分线上时，(SEFG)ma
5、x424，所以三棱锥OEFG体积的最大值Vmax(SEFG)maxAB434.二、 解答题11. 如图，在三棱锥DABC中，已知BCD是正三角形，AB平面BCD，ABBCa，E为BC的中点，F在棱AC上，且AF3FC.(1) 求三棱锥DABC的体积；(2) 若M为DB中点，N在棱AC上，且CNCA，求证：MN平面DEF.(1) 解：因为BCD是正三角形，且ABBCa，所以SBCDa2.因为AB平面BCD，所以VDABCVA BCDSBCDABa2aa3.(2) 证明：连结CM，设CMDEO，连结OF.则O为BCD的重心，COCM.因为CNCA，AF3FC，所以CFCN，所以MNOF.因为OF平
6、面DEF，MN平面DEF，所以MN平面DEF.12. 如图，在三棱锥PABC中，PAAB，PABC，ABBC，PAABBC2，点D为线段AC的中点，点E为线段PC上一点(1) 求证：PABD；(2) 求证：平面BDE平面PAC；(3) 当PA平面BDE时，求三棱锥EBCD的体积(1) 证明：因为PAAB，PABC，所以PA平面ABC.因为BD平面ABC，所以PABD.(2) 证明：因为ABBC，点D为AC的中点，所以BDAC.由(1)知，PABD，PAACA，PA，AC平面PAC，所以BD平面PAC.又BD平面BDE，所以平面BDE平面PAC.(3) 解：因为PA平面BDE，平面PAC平面BD
7、EDE，所以PADE.因为点D为AC的中点，所以DEPA1，BDDC.由(1)知，PA平面ABC，所以DE平面ABC，所以三棱锥E BCD的体积VBDDCDE.13. 如图，在菱形ABCD中，AB2，ABC60，BDACO，现将其沿菱形对角线BD折起得到四面体EBCD，使EC.(1) 求证：EOCD.(2) 求点O到平面EDC的距离(1) 证明： 四边形ABCD为菱形， ACBD. BDACO， EOBD. 在菱形ABCD中，AB2，ABC60， ADCDBC2，AOOC1. EC，COEO1， EO2OC2EC2， EOOC.又BDOCO， EO平面BCD， EOCD.(2) 解：设点O到平面ECD的距离为h，由(1)知EO平面OCD.V三棱锥OCDEV三棱锥EOCD，即SOCDEOSECDh.在RtOCD中，OC1，OD，DOC90， SOCDOCOD.在CDE中，EDDC2，EC， SCDE， h，即点O到平面EDC的距离为.
