1、要点导学各个击破名称的变换求证:=sin2.思维引导弦化切或切化弦是解决三角函数问题中时常遇到的解题方法,通过“名”的统一,使问题由复杂到简单,由不易联系到直观明确,使问题能简化至易于解答的形式,怎样“化”,需要不断积累经验和题型.证明左边=cossincos=sincos=sin2=右边,故原式成立.精要点评证明三角恒等式实质上是消除等式两边的差异,有目的地化繁为简、左右归一或变更结论.常用定义法、化弦法、拆项拆角法、1的变换、公式变形法等方法.在证明本题时,先观察条件和结论的差异(三角函数名及角),即sin2与tan,cos2的差异,先从解决三角函数名这个差异入手,采用条件转化法,即化切为
2、弦,都转化为弦函数,再从角的差异入手,转化为的正、余弦,最后用二倍角公式转化成sin2.证明三角恒等式最重要的两个环节是观察条件和结论、灵活选择和应用公式.求值:(tan10-).解答原式=(tan10-tan60)=-=-=-2.角的变换已知cos=,x.(1) 求sinx的值;(2) 求sin的值.思维引导(1) x=+;(2) 利用两角和的正弦公式求值.解答(1) 方法一:因为x,所以x-,所以sin=.sinx=sin=sincos+cossin=+=.方法二:由题设得cosx+sinx=,即cosx+sinx=.又sin2x+cos2x=1,所以25sin2x-5sinx-12=0,
3、解得sinx=或sinx=-.因为x,所以sinx=.(2) 因为x,所以cosx=-=-,所以sin2x=2sinxcosx=-,cos2x=2cos2x-1=-,所以sin=sin2xcos+cos2xsin=-.精要点评角的变换非常灵活,如=-=+,即=(+)-,=+等,需要在平时的训练中细心体会.(2014增城调研改编)已知cos=,x,那么=.思维引导注意x=-,及2x=2-的两变换,就有以下的两种解法.答案-解析方法一:由x,得x+2,又因为cos=,所以sin=-.cosx=cos=coscos+sin（+x）sin=-,从而sinx=-,tanx=7.原式=-.方法二:原式=s
4、in2xtan,而sin2x=sin=-cos=-=,tan=-,所以原式=-.三角恒等变换的综合应用已知向量m=(sinx,-1),n=,函数f(x)=m2+mn-2.(1) 求f(x)的最大值,并求取最大值时x的取值集合;(2) 已知a,b,c分别为ABC内角A,B,C的对边,且a,b,c成等比数列,角B为锐角,且f(B)=1,求+的值.思维引导(1) 运用二倍角和两角和与差的公式将函数化到最简形式;(2) f(B)=1的转化和+中名称的变换是关键.解答(1) f(x)=sin2x+1+sinxcosx+-2=+sin2x-=sin2x-cos2x=sin,故f(x)max=1,此时2x-
5、=2k+,kZ,即x=k+,kZ,所以取最大值时x的取值集合为x|x=k+,kZ.(2) f(B)=sin=1,又0B,所以-2B-,所以2B-=,B=.由b2=ac及正弦定理得sin2B=sinAsinC,故+=+=.精要点评(1) 新课标对三角恒等变换的要求:使学生经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程,进一步体会向量方法的作用.向量是公式推导的基础与工具,那么,考查向量与三角恒等变换的综合题必然成为高考合理的动向.这种综合题是高考中的中档题,向量的作用是用坐标运算来构造成一个三角函数,关键是把得到的三角函数式进行三角恒等变形,得到函数f(x)=Asin(x+)+b,从而求周期、最
6、值、单调性等问题.(2) 三角形的有关知识与三角变换经常结合在一起考查.【题组强化重点突破】1. 的值为.答案1解析=1.2. (2014全国卷)函数f(x)=sin(x+2)-2sincos(x+)的最大值为.答案1解析f(x)=sin(x+2)-2sincos(x+)=sin(x+)+-2sincos(x+)=sin(x+)cos-cos(x+)sin=sinx,故其最大值为1.3. (2014成都模拟)若sin=,则cos=.答案-解析令+=,则cos=cos（-2+2）=-cos2=2sin2-1=-1=-.4. (2014江西卷)已知函数f(x)=sin(x+)+acos(x+2),
7、其中aR,.(1) 当a=,=时,求f(x)在区间0,上的最大值与最小值;(2) 若f=0,f()=1,求a,的值.解答(1) f(x)=sin+cos=(sin x+cos x)-sin x=cos x-sinx=sin.因为x0,所以-x,故f(x)在区间0,上的最大值为,最小值为-1.(2) 由得又,知cos0,所以解得已知点A(1,1),B(1,-1),C(cos ,sin )(R),O为坐标原点.(1) 若|-|=,求sin 2的值;(2) 若实数m,n满足m+n=,求(m-3)2+n2的最大值.规范答题(1) 因为|-|2=|2=(cos -1)2+(sin -1)2=-2(sin
8、 +cos )+4, (3分)所以-2(sin +cos )+4=2,即sin +cos =, (4分)两边平方,得1+sin 2=,所以sin 2=-. (6分)(2) 由已知得(m,m)+(n,-n)=(cos ,sin ),所以解得 (8分)所以(m-3)2+n2=m2+n2-6m+9=-3(sin +cos )+10 (10分)=-6sin+10,所以当sin=-1时,(m-3)2+n2取得最大值16. (12分)1. 已知cos 2=,那么sin2=.答案解析因为cos 2=1-2sin2=,所以sin2=.2. 求值:cos 20cos 40cos 80=.答案解析对原式乘以,再结合二倍角公式进行计算与化简即可.3. 已知sin=,那么sin+sin2=.答案解析sin+sin2=sin +sin2=sin+cos2=+=.4. 已知f(x)=,当时,化简:f(sin2)-f(-sin2)=.答案2cos解析f(sin2)-f(-sin2)=-=-=|sin-cos|-|sin+cos|.因为 ,所以 sincos0,所以原式=cos-sin+sin+cos=2cos.温馨提醒趁热打铁,事半功倍.请老师布置同学们完成配套检测与评估中的练习(第51-52页).
