1、专题25 圆一【学习目标】1.掌握圆的标准方程和一般方程，会用圆的方程及其几何性质解题.2.能根据所给条件选取适当的方程形式，利用待定系数法求出圆的方程，解决与圆有关的问题.3.能利用直线与圆、圆与圆的位置关系的几何特征判断直线与圆、圆与圆的位置关系，能熟练解决与圆的切线和弦长等有关的综合问题；体会用代数法处理几何问题的思想.二方法规律总结1.在求圆的方程时，应根据题意，合理选择圆的方程形式.圆的标准方程突出了圆心坐标和半径，便于作图使用；圆的一般方程是二元一次方程的形式，便于代数运算；而圆的参数方程在求范围和最值时应用广泛.同时，在选择方程形式时，应熟悉它们的互化.如果问题中给出了圆心与圆上
2、的点两坐标之间的关系或圆心的特殊位置时，一般用标准方程；如果给出圆上的三个点的坐标，一般用一般方程.2.在二元二次方程中x2和y2的系数相等并且没有xy项，只是表示圆的必要条件而不是充分条件.3.在解决与圆有关的问题时，要充分利用圆的几何性质，这样会使问题简化.涉及与圆有关的最值问题或范围问题时应灵活、恰当运用参数方程.4.处理直线与圆、圆与圆的位置关系常用几何法，即利用圆心到直线的距离，两圆心连线的长与半径和、差的关系判断求解.5.求过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程：(1)几何方法：设切线方程为yy0k(xx0)，即kxykx0y00.由圆心到直线的距离等于半径，可求得k，切线方程即可
3、求出.(2)代数方法：设切线方程为yy0k(xx0)，即ykxkx0y0，代入圆方程，得一个关于x的一元二次方程，由0，求得k，切线方程即可求出.(以上两种方法只能求斜率存在的切线，斜率不存在的切线，可结合图形求得). 6.求直线被圆截得的弦长(1)几何方法：运用弦心距、半径及弦的一半构成的直角三角形，计算弦长|AB|2.(2)代数方法：运用韦达定理.弦长|AB|.7.注意利用圆的几何性质解题.如：圆心在弦的垂直平分线上，切线垂直于过切点的半径，切割线定理等，在考查圆的相关问题时，常结合这些性质一同考查，因此要注意灵活运用圆的性质解题.三题型讲解及规律总结1直线与圆的相切问题例1以为圆心，且与
4、直线相切的圆的方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】B练习1已知圆C与直线2xy+5=0及2x-y-5=0都相切,圆心在直线x+y=0上，则圆C的方程为A. (x+1)2+(y-1)2=5 B. x2+y2=5 C. (x-1)2+(y-1)2= D. x2+y2=【答案】B【解析】因为两条直线2xy50与2xy50平行，故它们之间的距离为圆的直径，即，所以r.设圆心坐标为P(a，a)，则满足点P到两条切线的距离都等于半径，所以，解得a0，故圆心为(0，0)，所以圆的标准方程为x2y25，故选B.2已知直线与圆相交于两点，则 “”是 “”的（ ）A. 充分必要条件 B. 必要不充分条件C
5、. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】圆心为，半径为，由于，故圆心到直线的距离为，即，解得.故是的充分不必要条件.3直线过点且圆相切，则直线的的方程为（ ）A. B. C. 或 D. 或【答案】C【解析】当直线的斜率存在时，设直线的方程为，而圆心为，半径为，所以，解得；当直线的斜率不存在，即直线为时，直线与圆相切，所以直线的方程为或，故选：C2.与圆有关的最值和范围问题例2. 已知点， ，且点是圆上的动点，则面积的最大值为（ ）A. B. C. D. 6【答案】B故选B.【方法总结】本题主要考查直线与圆的位置关系以及求最值问题.解析几何中的最值问题一般有两种方法：一是
6、几何意义，特别是用曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法.练习1已知圆，圆，点分别在圆和圆上，点在轴上，则的最小值为（ ）A. 7 B. 8 C. 9 D. 10【答案】A【解析】圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径. 关于轴的对称点为，所以，故为其最小值.2如果圆上总存在两个点到点(1,1)的距离为2,则实数t的取值范围是A. B. C. D. 【答案】B3已知直线截圆所得的弦长为，点在圆上，且直线过定点，若，则的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答
7、案】D【解析】圆心到直线的距离为 ，可得解得，因为直线，可化为 ，由 可得 ，所以过定点，故；设的中点为，则 ,即，化简可得，所以点的轨迹是以为圆心， 为半径的圆， 到圆心的距离为 ，所以的取值范围为，所以的取值范围为，故选D【方法点睛】本题主要考查直线和椭圆的位置关系、最值问题及直线过定点问题.属于难题. 探索曲线过定点的常见方法有两种： 可设出曲线方程 ，然后利用条件建立等量关系进行消元（往往可以化为的形式，根据 求解），借助于曲线系的思想找出定点(直线过定点，也可以根据直线的各种形式的标准方程找出定点). 从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关.4已知圆与圆相外切， 为正实数，则的
8、最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由题意，又，则，当且仅当时取等号，故选A5直线与圆相交于M，N两点，若|MN|，则的取值范围是A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析：圆心的坐标为，且圆与轴相切，设圆心到直线的距离为，则由点到直线距离公式，有，则，解得，故选A考点：直线与圆的位置关系及圆的弦长公式的应用6设点是函数的图象上的任意一点，点，则的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】函数的图象为半圆 在直线 上,所以的最大值为圆心到直线距离加半径,即 ,选B【方法总结】与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略(1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解
9、法一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解7已知点在圆和圆的公共弦上，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】圆和圆的公共弦方程为 选D【方法总结】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.3.与圆有关的轨迹问题例3. 半径为1的圆与相切，则圆的圆心轨迹为（ ）A. 两个圆 B. 一个圆 C. 两个点 D. 一个点【答案】A【解析】若两圆外切，则与的距离为，在一个圆上；若两圆内切，则与的距离为，在
10、一个圆上.综上可得选.练习1. 已知直线与直线平行且与圆相切，则直线的方程是_【答案】， .【方法总结】这个题目考查的是直线和圆的位置关系，一般直线和圆的题很多情况下是利用数形结合来解决的，联立的时候较少；还有就是在求圆上的点到直线或者定点的距离时，一般是转化为圆心到直线或者圆心到定点的距离，再加减半径，分别得到最大值和最小值。2过点向圆作两条切线，切点分别为，则过点 四点的圆的方程为_【答案】【解析】圆的圆心为(1,1)，半径为1，由直线与圆相切知， ,所以过点 四点的圆的直径为， 的中点为圆心，即圆心为(0,0).所以.过点 四点的圆的方程为.故答案为： .3圆心为两直线和的交点，且与直线
11、相切的圆的标准方程是_.【答案】【解析】联立方程组解之得圆与直线相切圆的半径故答案为【方法总结】此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：点到直线的距离公式，圆的标准方程，当直线与圆相切时，圆心到切线的距离等于圆的半径属于基础题4设圆x2y24x2y110的圆心为A，点P在圆上，则PA的中点M的轨迹方程是_.【答案】x2y24x2y105已知圆： 及一点， 在圆上运动一周， 的中点形成轨迹的方程为_【答案】【解析】设，则， 在圆上， ，即， 轨迹的方程为,故答案为.6如图，在棱长为2的正四面体中， 分别为直线上的动点，且.若记中点的轨迹为，则等于_.（注： 表示的测度，在本题， 为曲线、平面
12、图形、空间几何体时， 分别对应长度、面积、体积.）【答案】【解析】为了便于计算，将正四面体放置于如图的正方体中，可知，正方体的棱长为，建立如图所示的空间直角坐标系，设， ，即 ，又，即 ，代入上式得 ，即，即的轨迹为半径为的圆，周长为 .【方法总结】本题考查了立体几何中的解析几何问题，属于难题，立体几何中的轨迹问题，既考查了空间想象能力，同时又将空间几何的轨迹问题转化为平面几何的轨迹，一般会有两种方法，一种题设更趋向于空间几何，根据几何关系与圆锥曲线的定义建立联系，得到轨迹，另一种需建立坐标系，得到动点的轨迹方程，根据方程形式判断轨迹.4.两圆的位置关系例4. 已知圆与圆有公切线，则的取值范围
13、为_【答案】【方法总结】本题主要考查圆与圆的位置关系，考查两圆公切线存在的情况.设两圆半径分别为，圆心距为，当时，两圆外离，有条公切线；当时，两圆外切，有条公切线；当时，两圆相交，有条公切线；当时，两圆内切，有条公切线；当，两圆内含，没有公切线.练习1已知圆和两点若圆上至少存在一点，使得，则的取值范围_【答案】【解析】由，可得P在以AB为直径的圆O： 上，所以圆上至少存在一点，使得，即两圆有公共点，所以 ，解得 练习2若圆与圆恰有三条公切线，则的最大值为_【答案】6【解析】由题意得两圆相外切,即 , 。【方法总结】判断圆与圆的位置关系的常见方法(1)几何法：利用圆心距与两半径和与差的关系(2)
14、切线法：根据公切线条数确定（3）数形结合法：直接根据图形确定3已知圆,圆,则两圆公切线的方程为_【答案】【解析】圆，圆心为(0,0)，半径为1；圆，圆心为(4,0)，半径为5.圆心距为4=5-1，故两圆内切.切点为(-1,0)，圆心连线为x轴，所以两圆公切线的方程为，即.故答案为： .4圆C1：x2y22x2y20与圆C2：x2y24x2y10的相交弦所在直线方程为_.【答案】 【解析】根据两圆的公共弦的求法，即两圆相减得到 故答案为： 。5在平面直角坐标系中，点，若圆上存在一点满足，则实数的取值范围是_【答案】【方法总结】本题的实质是阿波罗尼斯圆，结合题意将其转化为两圆的位置关系，判断两圆的
15、位置关系常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差之间的关系，一般不采用代数法6圆与圆相外切，则的值为_.【答案】3【解析】圆，化简得到，两圆外切即圆心距等于半径之和；圆心为 半径为2，a。列式子得到 故答案为：3.【方法总结】这个题目考查的是两圆的位置关系；两圆的位置关系有相交，外切，内切，内含，外离这几种情况。判断两圆的位置关系时的常用方法是找两圆心距和两半径之和或差的关系。常考的题型是已知位置关系求参或者找公切线的条数。7已知圆和圆，若点在两圆的公共弦上，则的最小值为_【答案】【解析】由题意，两圆的方程相减，可得公共弦方程为点在两圆的公共弦上， ，当且仅当，即时，取等号， 的最小值为，故
16、答案为.8.两圆与的公切线条数为_.【答案】2【方法总结】判断两圆的位置关系常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差之间的关系，一般不采用代数法9已知圆和两点， （），若圆上存在点，使得，则实数的取值范围是_【答案】【解析】因为，的轨迹为圆，此圆过且半径为，其圆心为，圆的方程为，它和圆至少有一个公共点， ，也就是，解得【方法总结】：判断圆与圆的位置关系的常见方法(1)几何法：利用圆心距与两半径和与差的关系(2)切线法：根据切线条数确定圆位置关系10两圆x2y24y0，x2y22(a1)x2ya20在交点处的切线互相垂直，那么实数a的值为_【答案】211在平面直角坐标系中，已知圆：，点，若圆上
17、存在点，满足，则实数的取值范围是_【答案】0,3【解析】设M(x,y),则,，|MA|=2|MO|,x2+(y+3)2=4(x2+y2)，整理得：x2+(y-1)2=4，M的轨迹是以N(0,1)为圆心，以2为半径的圆N，又M在圆C上，圆C与圆N有公共点，1|CN|3，即13，解得0a3.实数的取值范围是0,3.四高考真题演练1.【2016高考新课标2理数】圆的圆心到直线的距离为1，则a=（ ）（A） （B） （C） （D）2【答案】A【解析】考点： 圆的方程、点到直线的距离公式.【名师点睛】直线与圆的位置关系的判断方法(1)几何法：由圆心到直线的距离d与半径长r的大小关系来判断若dr，则直线与
18、圆相离；若dr，则直线与圆相切；若dr，则直线与圆相交(2)代数法：联立直线与圆的方程，消元后得到关于x(或y)的一元二次方程，根据一元二次方程的解的个数(也就是方程组解的个数)来判断如果0，方程有两个不同的实数解，从而方程组也有两组不同的实数解，那么直线与圆相交提醒：直线与圆的位置关系的判断多用几何法2.【2015高考山东，理9】一条光线从点射出，经轴反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ）（A）或 （B） 或 （C）或 （D）或【答案】D【解析】由光的反射原理知，反射光线的反向延长线必过点 ，设反射光线所在直线的斜率为 ，则反身光线所在直线方程为： ，即：. 又因为光线与圆相切，
19、所以， ,整理： ，解得： ，或 ,故选D【考点定位】1、圆的标准方程；2、直线的方程；3、直线与圆的位置关系.【名师点睛】本题考查了圆与直线的方程的基础知识，重点考查利用对称性解决直线方程的有关问题以及直线与圆的位置关系的判断，意在考查学生对直线与直线、直线与圆的位置关系的理解与把握以及学生的运算求解能力.3. 【2015高考广东，理5】平行于直线且与圆相切的直线的方程是（ ） A或 B. 或 C. 或 D. 或【答案】【考点定位】直线与圆的位置关系，直线的方程【名师点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，利用点到直线距离求直线的方程及转化与化归思想的应用和运算求解能力，根据题意可设所求直线方
20、程为，然后可用代数方法即联立直线与圆的方程有且只有一解求得，也可以利用几何法转化为圆心与直线的距离等于半径求得，属于容易题4.【2015高考新课标2，理7】过三点，的圆交y轴于M，N两点，则( )A2 B8 C4 D10【答案】C【解析】由已知得，所以，所以，即为直角三角形，其外接圆圆心为，半径为，所以外接圆方程为，令，得，所以，故选C【考点定位】圆的方程【名师点睛】本题考查三角形的外接圆方程，要注意边之间斜率的关系，得出是直角三角形，可以简洁快速地求出外接圆方程，进而求弦的长，属于中档题5. 【2015高考重庆，理8】已知直线l：x+ay-1=0（aR）是圆C：的对称轴.过点A（-4，a）作
21、圆C的一条切线，切点为B，则|AB|=（）A、2 B、 C、6 D、【答案】C【考点定位】直线与圆的位置关系.【名师点晴】首先圆是一个对称图形，它关于圆心成中心对称，关于每一条直径所在直线都是它的对称轴，当然其对称轴一定过圆心，其次直线与圆有相交、相切、相离三种位置关系，判断方法可用几何与代数两种方法研究，圆的切线长我们用勾股定理求解，设圆外一点到圆的距离为，圆的半径为，则由点所作切线的长6. 【2015江苏高考，10】在平面直角坐标系中，以点为圆心且与直线相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 【答案】【解析】由题意得：半径等于，当且仅当时取等号，所以半径最大为，所求圆为【考点定位】直线与
22、圆位置关系【名师点晴】利用圆的几何性质求方程可直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程.圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径建立关系解决问题当半径表示为关于m的函数后，利用基本不等式求最值，需注意一正二定三相等的条件.7. 【2015高考陕西，理15】设曲线在点（0,1）处的切线与曲线上点处的切线垂直，则的坐标为 【答案】【考点定位】1、导数的几何意义；2、两条直线的位置关系【名师点晴】本题主要考查的是导数的几何意义和两条直线的位置关系，属于容易题解题时一定要注意考虑直线的斜率是否存在，否则很容易出现错误解导数的几何意义问题时一定要抓住切点的三重作用：切点在曲线上；切点在切线上；切点处
23、的导数值等于切线的斜率8.【2017江苏，13】在平面直角坐标系中,点在圆上,若则点的横坐标的取值范围是 【答案】 【解析】设，由，易得，由，可得或，由得P点在圆左边弧上,结合限制条件 ，可得点P横坐标的取值范围为.【考点】直线与圆，线性规划【名师点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求横坐标或纵坐标、直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.9.【2015高考湖北，理14】如图，圆与轴相切于点，与轴正半轴交于两点（在的上方）， 且（）圆的标准方程为
24、 ；（）过点任作一条直线与圆相交于两点，下列三个结论：； ； 其中正确结论的序号是 . （写出所有正确结论的序号）【答案】（）；（） （）联立方程组，解得或，因为在的上方，所以，令直线的方程为，此时，所以，因为，所以.所以，正确结论的序号是.【考点定位】圆的标准方程，直线与圆的位置关系.【名师点睛】用特例代替题设所给的一般性条件，得出特殊结论，然后对各个选项进行检验，从而做出正确的判断，这种方法叫做特殊法. 若结果为定值，则可采用此法. 特殊法是“小题小做”的重要策略. 常用的特例有特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等10.【2016高考新课标3理数】已知直线：与圆交于两
25、点，过分别做的垂线与轴交于两点，若，则_.【答案】4【解析】考点：直线与圆的位置关系11.【2016高考上海理数】已知平行直线，则的距离_.【答案】【解析】试题分析：利用两平行线间距离公式得.考点：两平行线间距离公式.【名师点睛】确定两平行线间距离，关键是注意应用公式的条件，即的系数应该分别相同，本题较为容易，主要考查考生的基本运算能力.11.【2017课标3，理20】已知抛物线C：y2=2x，过点（2,0）的直线l交C与A,B两点，圆M是以线段AB为直径的圆.（1）证明：坐标原点O在圆M上；（2）设圆M过点，求直线l与圆M的方程.【答案】(1)证明略；(2)直线 的方程为 ，圆 的方程为 .
26、或直线 的方程为 ，圆 的方程为 .【解析】试题分析：(1)设出点的坐标，联立直线与圆的方程，由斜率之积为 可得，即得结论；(2)结合(1)的结论求得实数 的值，分类讨论即可求得直线 的方程和圆 的方程.试题解析：(1)设 ， .由 可得 ，则 .又 ，故 .因此 的斜率与 的斜率之积为 ，所以 .故坐标原点 在圆 上.当 时，直线 的方程为 ，圆心 的坐标为 ，圆 的半径为 ，圆 的方程为 .当 时，直线 的方程为，圆心 的坐标为 ，圆 的半径为 ，圆 的方程为 .【考点】 直线与抛物线的位置关系；圆的方程【名师点睛】直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系
27、数的关系；在解决直线与抛物线的位置关系时，要特别注意直线与抛物线的对称轴平行的特殊情况.中点弦问题，可以利用“点差法”，但不要忘记验证0或说明中点在曲线内部.12.【2017课标1，理20】已知椭圆C：（ab0），四点P1（1,1），P2（0,1），P3（1，），P4（1，）中恰有三点在椭圆C上.（1）求C的方程；（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为1，证明：l过定点.【解析】试题解析：（1）由于，两点关于y轴对称，故由题设知C经过，两点.又由知，C不经过点P1，所以点P2在C上.因此，解得.故C的方程为.（2）设直线P2A与直线P2B的斜率分
28、别为k1，k2，如果l与x轴垂直，设l：x=t，由题设知，且，可得A，B的坐标分别为（t，），（t，）.则，得，不符合题设.从而可设l：（）.将代入得由题设可知.设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=.而.由题设，故.即.解得.当且仅当时，欲使l：，即，所以l过定点（2，）【考点】椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的位置关系.【名师点睛】椭圆的对称性是椭圆的一个重要性质，判断点是否在椭圆上，可以通过这一方法进行判断；证明直线过定点的关键是设出直线方程，通过一定关系转化，找出两个参数之间的关系式，从而可以判断过定点情况.另外，在设直线方程之前，若题设中为告知，则一定要讨论直
29、线斜率不存在和存在情况，接着通法是联立方程组，求判别式、韦达定理，根据题设关系进行化简.13.【2015高考广东，理20】已知过原点的动直线与圆相交于不同的两点，（1）求圆的圆心坐标；（2）求线段的中点的轨迹的方程；（3）是否存在实数，使得直线与曲线只有一个交点：若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（1）由得， 圆的圆心坐标为；（3）由（2）知点的轨迹是以为圆心为半径的部分圆弧（如下图所示，不包括两端点），且，又直线：过定点，当直线与圆相切时，由得，又，结合上图可知当时，直线：与曲线只有一个交点【考点定位】圆的标准方程、轨迹方程、直线斜率等知识与数形
30、结合思想等应用【名师点睛】本题主要考查圆的普通方程化为标准方程、轨迹方程、直线斜率等知识，转化与化归，数形结合思想和运算求解能力，属于中高档题，本题（1）（2）问相对简单，但第（2）问需注意取值范围（），对于第（3）问如果能运用数形结合把曲线与直线的图形画出求解则可轻易突破难点14.【2016高考江苏卷】（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系中，已知以为圆心的圆及其上一点（1）设圆与轴相切，与圆外切，且圆心在直线上，求圆的标准方程；（2）设平行于的直线与圆相交于两点，且,求直线的方程；（3）设点满足：存在圆上的两点和,使得,求实数的取值范围。【答案】（1）（2）（3）【解析】试题解析：解：
31、圆M的标准方程为，所以圆心M(6，7)，半径为5,.（1）由圆心在直线x=6上，可设.因为N与x轴相切，与圆M外切，所以，于是圆N的半径为，从而，解得.因此，圆N的标准方程为.(2)因为直线l|OA，所以直线l的斜率为.设直线l的方程为y=2x+m，即2x-y+m=0，则圆心M到直线l的距离 因为 而 所以，解得m=5或m=-15.故直线l的方程为2x-y+5=0或2x-y-15=0.(3)设 因为,所以 因为点Q在圆M上，所以 .将代入，得.于是点既在圆M上，又在圆上，从而圆与圆有公共点，所以 解得.因此，实数t的取值范围是. 考点：直线方程、圆的方程、直线与直线、直线与圆、圆与圆的位置关系、平面向量的运算【名师点睛】直线与圆中三个定理：切线的性质定理，切线长定理，垂径定理；两个公式：点到直线距离公式及弦长公式，其核心都是转化到与圆心、半径关系上，这是解决直线与圆的根本思路.对于多元问题，也可先确定主元，如本题以为主元，揭示在两个圆上运动，从而转化为两个圆有交点这一位置关系，这也是解决直线与圆问题的一个思路，即将问题转化为直线与圆、圆与圆位置关系.
