1、第八章立体几何初步第1课时空间点、直线、平面之间的位置关系一、 填空题1. 线段AB在平面内,则直线AB与平面的位置关系是_(用符号表示)答案:AB解析:由公理1可知AB.2. 已知l,m ,n ,mnP,则点P与直线l的位置关系用相应的符号表示为_答案:Pl解析:因为l,m ,n ,mnP,所以Pm,Pn,P,P,所以Pl.3. 设a,b,c是空间中的三条直线,下面给出四个命题: 若ab,bc,则ac; 若ab,bc,则ac; 若a与b相交,b与c相交,则a与c相交; 若ab,bc,则ac.上述命题中正确的是_(填序号)答案:解析:由公理4知正确;当ab,bc时,a与c可以相交、平行或异面,
2、故错误;当a与b相交,b与c相交时,a与c可以相交、平行或异面,故错误;根据异面直线所成角的定义知正确4. 若直线l1和l2是异面直线,l1在平面内,l2在平面内,l是平面与平面的交线,则下列命题正确的是_(填序号) l与l1,l2都不相交; l与l1,l2都相交; l至多与l1,l2中的一条相交; l至少与l1,l2中的一条相交答案:解析:若l与l1,l2都不相交,则ll1,ll2,所以l1l2,这与l1和l2是异面直线相矛盾,所以l至少与l1,l2中的一条相交故正确5. 如图,在长方体ABCDA1B1C1D1中,点E,F分别为B1O和C1O的中点,长方体的各棱中,与EF平行的有_条答案:4
3、解析: EF是OB1C1的中位线, EFB1C1. B1C1BCADA1D1, 与EF平行的棱共有4条6. 如图为正方体表面的一种展开图,则图中的四条线段AB,CD,EF,GH在原正方体中互为异面的有_对答案:3解析:平面图形的翻折应注意翻折前后相对位置的变化,则AB,CD,EF和GH在原正方体中,显然AB与CD,EF与GH,AB与GH都是异面直线,而AB与EF相交,CD与GH相交,CD与EF平行故互为异面的直线有且只有3对7. 已知ABCDA1B1C1D1是正方体,点O是B1D1的中点,直线A1C交平面AB1D1于点M,则下列结论中错误的是_(填序号) A,M,C1三点共线; M,O,A1,
4、A四点共面; A,O,C,M四点共面; B,B1,O,M四点共面答案:解析:作出图形,可知正确8. 如图,在正三棱柱ABCA1B1C1中,点D是AC的中点,AA1AB1,则异面直线AB1与BD所成的角为_答案:60解析:如图,取A1C1的中点E,连结B1E,ED,AE,在RtAB1E中,AB1E即为所求,设AB1,则AA1,AB1,B1E,故AB1E60.9. 如图,点G,N,M,H分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点,则表示直线GH,MN是异面直线的图形有_(填序号)答案:解析:图中,直线GHMN;图中,G,H,N三点共面,但M平面GHN,因此直线GH与MN异面;图中,连结MG,GMHN,因此
5、GH与MN共面;图中,G,M,N共面,但H平面GMN,因此GH与MN异面所以图中GH与MN异面10. 如图,在正方体ABCD A1B1C1D1中,点M, N分别是BC1,CD1的中点,则下列判断正确的是_(填序号) MN与CC1垂直; MN与AC垂直; MN与BD平行; MN与A1B1平行答案:解析:连结B1C,B1D1,则MN是B1CD1的中位线, MNB1D1. CC1B1D1,ACB1D1,BDB1D1, MNCC1,MNAC,MNBD,故正确 A1B1与B1D1相交, MN与A1B1不平行,因此错误二、 解答题11. 如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,点E,F分别为D1C1,B
6、1C1的中点,ACBDP,A1C1EFQ.(1) 求证:D,B,E,F四点共面;(2) 作出直线A1C与平面BDEF的交点R的位置(1) 证明:由于CC1和BF在同一个平面内且不平行,故必相交设交点为O,则OC1C1C.同理直线DE与CC1也相交,设交点为O,则OC1C1C,故O与O重合由此可证得DEBFO,故D,B,F,E四点共面(设为)(2) 解:由于AA1CC1,所以A1,A,C,C1四点共面(设为)PBD,而BD,故P.又PAC,而AC,所以P,所以P,同理可证得Q,所以有PQ.因为A1C,所以A1C与平面的交点就是A1C与PQ的交点,连结A1C,则A1C与PQ的交点R就是所求的交点1
7、2. 如图,在正方体ABCD A1B1C1D1中,点E,F分别为A1A ,C1C的中点,求证:四边形EBFD1是菱形证明:如图,取B1B的中点G,连结GC1,EG, GBC1F,且GBC1F, 四边形C1FBG是平行四边形, FBC1G,且FBC1G. D1C1EG,且D1C1EG, 四边形D1C1GE为平行四边形, GC1D1E,且GC1D1E, FBD1E,且FBD1E, 四边形EBFD1为平行四边形 FBFD1, 四边形EBFD1是菱形13. 已知空间四面体ABCD,点E,F分别是AB,AD的中点,G,H分别是BC,CD上的点,且CGBC,CHDC.求证:(1) E,F,G,H四点共面;(2) 三条直线FH,EG,AC共点证明:(1) 如图,连结EF,GH. 点E,F分别是AB,AD的中点, EFBD. CGBC,CHDC, GHBD, EFGH, E,F,G,H四点共面(2) 易知FH与直线AC不平行,但共面, 设FHACM, M平面EFHG,M平面ABC. 平面EFHG平面ABCEG, MEG, 直线FH,EG,AC共点