1、13.3空间图形的表面积和体积13.3.1空间图形的表面积学 习 目 标核 心 素 养1.了解直棱柱、正棱柱、正棱锥、正棱台的几何特征(重点)2了解柱、锥、台的表面积的计算公式(不要求记忆公式)(易错点)3会求直棱柱、正棱锥、正棱台、圆柱、圆锥和圆台的表面积(重点、难点)1. 通过对柱、锥、台的侧面展开，培养学生直观想象素养2. 通过利用柱、锥、台的侧面积和表面积计算公式，培养学生数学运算素养.1在下图中，哪些图形是空间图形的展开图？2下图中分别是哪些空间图形的侧面展开图？1几种特殊的多面体(1)直棱柱：侧棱和底面垂直的棱柱叫作直棱柱(2)正棱柱：底面为正多边形的直棱柱叫作正棱柱(3)正棱锥：
2、一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面中心，那么称这样的棱锥为正棱锥正棱锥的侧棱长都相等(4)正棱台：正棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分叫作正棱台2几种简单空间图形的侧面展开图与侧面积空间图形直观图侧面展开图侧面积直(正)棱柱S直(正)棱柱侧ch正棱锥S正棱锥侧ch正棱台S正棱台侧(cc)h圆柱S圆柱侧cl2rl圆锥S圆锥侧clrl圆台S圆台侧(cc)l(rr)l思考：圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间的关系？提示：S圆柱侧2rlS圆台侧(rr)lS圆锥侧rl.1思考辨析(正确的画“”，错误的画“”)(1)棱长都相等的长方体是正方体()(2)有两个相邻侧面为矩形的棱
3、柱为直棱柱()(3)有两个侧面与底面垂直的棱柱为直棱柱()(4)底面为菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直的棱柱是正四棱柱()答案(1)(2)(3)(4)2正三棱锥的底面边长为a，高为a，则此棱锥的侧面积为_a2如图，在正三棱锥SABC中，过点S作SO平面ABC于O点，则O为ABC的中心，连接AO并延长与BC相交于点M，连接SM，SM即为斜高h，在RtSMO中，h a，所以侧面积S3aaa2.3以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于_2以正方形的一边所在直线为轴旋转得到的圆柱底面半径r1，高h1，所以侧面积S2rh2.4已知圆柱的底面半径为1，母线长与
4、底面的直径相等，则该圆柱的表面积为_6S2122126.棱柱、棱锥和棱台的侧面积和表面积【例1】正四棱锥的侧面积是底面积的2倍，高是3，求它的表面积思路点拨由S侧与S底的关系，求得斜高与底面边长之间的关系，进而求出斜高和底面边长，最后求表面积解如图，设PO3，PE是斜高，S侧2S底，4BCPE2BC2.BCPE.在RtPOE中，PO3，OEBCPE.9PE2，PE2.S底BC2PE2(2)212.S侧2S底21224.S表S底S侧122436.求棱锥、棱台及棱柱的侧面积和表面积的关键是求底面边长，高，斜高，侧棱求解时要注意直角三角形和梯形的应用跟进训练1已知一个三棱台的上、下底面分别是边长为2
5、0 cm和30 cm的正三角形，侧面是全等的等腰梯形，且侧面面积等于上、下底面面积之和，求棱台的高解如图所示，在三棱台ABCABC中，O，O分别为上、下底面的中心，D，D分别是BC，BC的中点，则DD是等腰梯形BCCB的高，所以S侧3(2030)DD75DD.又AB20 cm，AB30 cm，则上、下底面面积之和为S上S下(202302)325(cm2)由S侧S上S下，得75DD325，所以DD(cm)，又因为OD20(cm)，OD305(cm)，所以棱台的高hOO4(cm)圆柱、圆锥和圆台的侧面积和表面积【例2】已知圆锥的底面半径为R，高为3R.若它的内接圆柱的底面半径为R，求该圆柱的全面积
6、思路点拨作出轴截面，转化为平面问题，利用比例关系找出高与半径的函数关系解设圆柱底面半径为r，高为h，由题意知rR，hR，S圆柱全2r22rh22R2.1圆柱、圆锥、圆台的相关几何量都集中体现在轴截面上，因此准确把握轴截面中相关量是求解旋转体表面积的关键2解决柱体、锥体、台体、球体中的接、切问题，通常是作出轴截面，转化为平面问题来求解跟进训练2圆台的上、下底面半径分别是10 cm和20 cm，它的侧面展开图的扇环的圆心角是180，那么圆台的表面积是多少？解如图所示，设圆台的上底面周长为c，因为扇环的圆心角是180，故cSA210，所以SA20，同理可得SB40，所以ABSBSA20，所以S表面积
7、S侧S上S下(r1r2)ABrr(1020)201022021 100(cm2)故圆台的表面积为1 100 cm2.空间图形侧面积和全面积的实际应用探究问题如图(1)所示，已知正方体面对角线长为a，沿阴影面将它切割成两块，拼成如图(2)所示的空间图形，那么此空间图形的表面积与正方体的表面积之比为多少？(1)(2)提示由已知可得正方体的边长为a，新空间图形的表面积为S表(2)2aa4(2)a2.S表(2)S表(1)(2)a26(2)3.【例3】用油漆涂100个圆台形水桶(桶内、外侧都要涂)，桶口直径为30 cm，桶底直径为25 cm，母线长是27.5 cm，已知每平方米需要油漆150 g，共需要
8、多少油漆？(精确到0.1 kg)思路点拨求水桶的表面积计算总油漆量解每个水桶需要涂油漆的面积为S(S桶底S侧)220.182 5(m2)，因此100个水桶需要油漆1000.182 50.158.6(kg)对于有关空间图形侧面积和全面积的实际问题，求解的关键是把题设信息数学化，然后借助数学知识解决该问题跟进训练3一个正三棱台的两底面的边长分别为8 cm、18 cm，侧棱长是13 cm，求它的全面积解上底面周长为c3824 cm，下底面周长c31854 cm，斜高h12 cm，所以S正棱台侧(cc)h(2454)12468 cm2，S上底面8216 cm2，S下底面18281cm2，所以正三棱台的
9、全面积为S468168146897 cm2.1本节课的重点是掌握柱体、锥体、台体的表面积求法，难点是求组合体的表面积2本节课要掌握的规律方法(1)求简单空间图形侧面积、表面积的方法技巧(2)求组合体的表面积方法3本节课易错点是求空间图形表面积时弄错数据和运算错误1圆台的上、下底面半径分别是3和4，母线长为6，则其表面积等于()A42 B51C58D67DS圆台表S圆台侧S上底S下底(34)6324267.2在如图所示的斜截圆柱中，已知圆柱底面的直径为40 cm，母线长最短50 cm，最长80 cm，则斜截圆柱的侧面面积S()A2 600 cm2B5 200 cm2C2 600 cm2D5 20
10、0 cm2C几何体的50 cm到80 cm处的截去的部分的面积和余下的面积相等，将几何体侧面展开，上部分面积为40，下部分的面积为5040 ，由此可知：斜截圆柱的侧面面积：S5040402 600，故选C3一个圆柱的底面面积是S，其侧面积展开图是正方形，那么该圆柱的侧面积为_4S设圆柱的底面半径为R，则SR2，R，底面周长c2R.故圆柱的侧面积为S圆柱侧c2(2R)2424S.4一座仓库的屋顶呈正四棱锥形，底面的边长为2.7 m，侧棱长为2.3 m，如果要在屋顶上铺一层油毡纸，则需多少油毡纸？(精确到0.1 m2)解如图所示，设SE是侧面三角形ABS的高，则SE就是正四棱锥的斜高在RtSAE中，SA2.3 m，AE1.35 m，所以SE1.86(m)，而底面周长42.710.8(m)，所以S棱锥侧10.81.8610.0(m2)故需要油毡纸约10.0 m2.
