1、第一、二章学业质量标准检测本套检测题仅供教师参考备用，学生书中没有。时间120分钟，满分150分。一、选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1命题“ABC是等腰直角三角形”的形式是(B)ApqBpqCpD以上都不对解析ABC是等腰直角三角形是由ABC是等腰三角形与ABC是直角三角形用“且”联结而成，是pq命题2已知命题p，q，若命题“p”与命题“pq”都是真命题，则(D)Ap为真命题，q为假命题Bp，q均为假命题Cp，q均为真命题Dp为假命题，q为真命题解析命题“p”与命题“pq”都是真命题，命题p为假命题，q为真命题，故选D3(20
2、18天津理，4)设xR，则“”是“x31”的(A)A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析由“”得0x1，则0x31，即“”“x31”；由“x31”得x1，当x0时，即“x31” “”所以“”是“x31”的充分而不必要条件故选A4若抛物线y28x上的点P(x0，y0)到焦点F的距离为3，则|y0|等于(B)AB2C2D4解析过点P作抛物线的准线l的垂线，P1为垂足，则|PF|PP1|x0x023，所以x01，于是|y0|22.5已知命题p：xR，x212x；命题q：若mx2mx10恒成立，则4m0，那么(C)A“p”是假命题Bq是真命题C“p或q”为假命题D“p
3、且q”为真命题解析因为x212x，即x22x10，也即(x1)20，所以命题p为假；若mx2mx10恒成立，则必须m0或，则40，b0)的一条渐近线被圆(x2)2y24所截得的弦长为2，则C的离心率为(A)A2BCD解析设双曲线的一条渐近线方程为yx，圆的圆心为(2,0)，半径为2，由弦长为2得出圆心到渐近线的距离为.根据点到直线的距离公式得，解得b23a2.所以C的离心率e12.故选A8已知点F为抛物线y28x的焦点，O为坐标原点，点P是抛物线准线上一动点，点A在抛物线上，且|AF|4，则|PA|PO|的最小值为(C)A6B24C2D42解析设点A的坐标为(x1，y1)，由已知得x12|AF
4、|4，则x12，y8x116，取y14，得A(2,4)设点O关于准线x2的对称点为B，则B(4,0)，连接AB交准线于一点，则该点就是满足要求的使|PA|PO|取得最小值的点P，此时|AB|2，即|PA|PO|的最小值为2.二、多项选择题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分)9下列命题中假命题是(ABC)A“m”是“直线(m2)x3my10与直线(m2)x(m2)y30相互平行”的充分不必要条件B“直线l垂直平面内无数条直线”是“直线l垂直于平面”的充分条件C已知a、b、c为非零向量，则“aba
5、c”是“bc”的充要条件Dp：存在xR，x22x2 0180.则p：任意xR，x22x2 0180.解析直线(m2)x3my10与直线(m2)x(m2)y30相互平行得m.“m”是“直线(m2)x3my10与直线(m2)x(m2)y30相互平行”的既不充分也不必要条件，故A错误；直线l垂直平面内无数条直线，不一定有直线垂直平面，“直线l垂直平面内无数条直线”不是“直线l垂直于平面”的充分条件，故B错误；a 、b 、c为非零向量，由abac不能得到bc，反之，由bc能够得到ab ac，“ab ac”是“bc”的必要不充分条件，故C错误；p：存在xR，x22x2 0180.则p：任意xR，x22x
6、2 0180，故D正确 10.(多选题)若点O和点F分别为椭圆1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则关于的说法正确的有(BC)A最大值为4B最大值为6C最小值为2D最小值为3解析由题意可知O(0,0)，F(1,0)，设点P为(x，y)，则(x，y)，(x1，y)，x(x1)y2x2xy2x2x3x2x2x3(x2)22.x2,2，当x2时，取最大值，()max(22)226.当x2时，取得最小值，()min2，故选BC 11.双曲线M：1(a0，b0)的虚轴长为2，离心率为，则过点P(0,1)且与双曲线M相切的直线l的方程为(AB)Ayx1Byx1Cy1Dyx1解析由题意得b1，所以，所
7、以a22，所以双曲线M的方程为y21.由可得(12k2)x24kx40.16k216(12k2)0，且12k20，解得k1，所以直线l的方程为yx1. 12.已知双曲线x21，则(ACD)A双曲线的离心率等于半焦距的长B双曲线y21与双曲线有相同的渐近线C直线x被双曲线截得的线段长度为8D直线ykxb(k，bR)与双曲线C的公共点个数只可能为0,1,2解析双曲线x21的焦点在x轴上，且a1，b2，c，渐近线为y2x.对于A选项，双曲线的离心率为c，所以A选项正确对于B选项，双曲线y21的渐近线为yx，与原双曲线的渐近线不相同，故B选项错误对于C选项，把x代入双曲线方程，解得y4，所以线段的长度
8、为8，故C选项正确对于D选项，直线ykxb与双曲线的公共点个数可能为0,1,2，故D选项正确三、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13命题“若a1，则a21”的逆否命题是_“若a21，则a1”_.解析命题的逆否命题为“若a21，则a1”，故答案为“若a21，则a1”14过点P(0,4)与抛物线y22x只有一个公共点的直线有_3_条解析作出抛物线y22x的图形如图，可以看出点P在y轴上，由图中看出过点P有3条直线与抛物线只有一个公共点其中包括y轴(斜率不存在的切线)，过点P与x轴平行的直线以及过点P与抛物线相切的斜率存在一条直线15设p：方程x22mx10
9、有两个不相等的正根；q：方程x22(m2)x3m100无实根，则使p为真的实数m的取值范围是_(，1)_，使pq为真，pq为假的实数m的取值范围是_(，21,3)_.解析对于方程x22mx10有两个不等正根，m1，方程x22(m2)x3m100无实根，4(m2)24(3m10)0，2m3，若p真q假，则m2；若p假q真，则1m0，b0)的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点若正方形OABC的边长为2，则a_2_.解析双曲线1的渐近线方程为yx，由已知可得两条渐近线方程互相垂直，由双曲线的对称性可得1.又正方形OABC的边长为2，所以c2，所以a2b2c2(2)2
10、，解得a2.四、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)已知命题p：方程1表示的焦点在y轴上的椭圆；命题q：方程1表示的曲线是双曲线，若“pq”为假命题且“pq”为真命题，求实数m的取值范围解析命题p真：方程1表示的焦点在y轴上的椭圆，m3；命题q真：方程1表示的曲线是双曲线，(m2)(m4)0m2或m4；若“pq”为假命题且“pq”为真命题，则p、q一真一假，若p真q假则3m4；若p假q真则m2.综上实数m的取值范围为(，2)(3,418(本小题满分12分)判断下列命题的真假：(1)“若自然数a能被6整除，则a能被2整除”的逆命题；
11、(2)“若0x5，则|x2|3”的否命题及逆否命题；(3)命题“若不等式(a2)x22(a2)x40对一切xR恒成立，则a(2,2)”及其逆命题解析(1)逆命题：若自然数a能被2整除，则a能被6整除逆命题为假反例：2,4,14,22等都不能被6整除(2)否命题：若x0或x5，则|x2|3.否命题为假反例：x0，但|2|3.逆否命题：若|x2|3，则x0或x5.逆否命题为真，|x2|3x5或x1.(3)原命题为假因为(a2)x22(a2)x40，当a2时，变为40，也满足条件逆命题：若a(2，2)，则不等式(a2)x22(a2)x40对一切xR恒成立逆命题为真，因为当a(2,2)时，0，且a20
12、)的焦点为F，斜率为1的一条直线与抛物线交于A，B两点，且线段AB中点的纵坐标为2.(1)求抛物线的方程；(2)在x轴正半轴上是否存在点M(m,0)，使得过点M与抛物线有两个交点C，D的任一直线均满足CFD为钝角？若存在，求出m的范围，若不存在，请说明理由解析(1)设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则2，所以y1y24.由于直线AB的斜率为1，则1.将点A、B的坐标代入抛物线的方程得将上述两式相减得yy2p(x1x2)，则(y1y2)(y1y2)2p(x1x2)，所以，1，即1，解得p2.因此，抛物线的方程为y24x.(2)设直线CD的方程为xtym，设点C(x3，y3)、D(x4，y4
13、)将直线CD的方程与抛物线的方程联立，消去x得，y24ty4m0.m0，16t216m0恒成立，由韦达定理得y3y44t，y3y44m.由于CFD为钝角，则0，且(x31，y3)(ty3m1，y3)，同理可得(ty4m1，y4)(ty3m1)(ty4m1)y3y4(t21)y3y4t(m1)(y3y4)(m1)24m(t21)4t2(m1)(m1)2m26m14t20，即不等式m26m14t2对任意的实数tR恒成立，所以m26m10，解得32m0，因此，实数m的取值范围为(32，32)所以，在x轴正半轴上存在点M(m,0)，使得过点M与抛物线有两个交点C，D的任一直线均满足CFD为钝角，且实数
14、m的取值范围是(32，32)20(本小题满分12分)(2019北京理，18)已知抛物线C：x22py经过点(2，1)(1)求抛物线C的方程及其准线方程；(2)设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y1分别交直线OM，ON于点A和点B.求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点解析(1)由抛物线C：x22py经过点(2，1)，得p2.所以抛物线C的方程为x24y，其准线方程为y1.(2)证明：抛物线C的焦点为F(0，1)设直线l的方程为ykx1(k0)由得x24kx40.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1x24.直线OM的方程为yx.令y1，得点A
15、的横坐标xA.同理得点B的横坐标xB.设点D(0，n)，则，(n1)2(n1)2(n1)24(n1)2.令0，即4(n1)20，得n1或n3.综上，以AB为直径的圆经过y轴上的定点(0,1)和(0，3)21(本小题满分12分)(20192020湖北恩施州高二期末)已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点M(2,1)，平行于OM的直线l在y轴上的截距为m(m0)，l交椭圆于A，B两个不同点(1)求椭圆的标准方程以及m的取值范围；(2)求证：直线MA，MB与x轴始终围成一个等腰三角形解析(1)设椭圆方程为1(ab0)，则，解得，椭圆方程1.直线l平行于OM，且在y轴上的截距
16、为m，又kOM，l的方程为：yxm，由，x22mx2m240直线l与椭圆交于A、B两个不同点，(2m)24(2m24)0，m的取值范围是m|2m2且m0(2)设直线MA、MB的斜率分别为k1，k2，只需证明k1k20即可设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则k1，k2，由x22mx2m240，可得x1x22m，x1x22m24而k1k20k1k20故直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形22(本小题满分12分)(2019全国卷理，21)已知曲线C：y，D为直线y上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.(1)证明：直线AB过定点；(2)若以E为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段A
17、B的中点，求四边形ADBE的面积解析(1)证明：设D，A(x1，y1)，则x2y1.因为yx，所以切线DA的斜率为x1，故x1.整理得2tx12y110.设B(x2，y2)，同理可得2tx22y210.故直线AB的方程为2tx2y10.所以直线AB过定点.(2)由(1)得直线AB的方程为ytx.由可得x22tx10.于是x1x22t，x1x21，y1y2t(x1x2)12t21，|AB|x1x2|2(t21)设d1，d2分别为点D，E到直线AB的距离，则d1，d2.因此，四边形ADBE的面积S|AB|(d1d2)(t23).设M为线段AB的中点，则M.因为，而(t，t22)，与向量(1，t)平行，所以t(t22)t0，解得t0或t1.当t0时，S3；当t1时，S4.因此，四边形ADBE的面积为3或4.
