1、2016-2017学年四川省绵阳市涪城区南山中学高三（下）入学数学试卷（文科）一.选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1已知集合A=y|y=sinx，xR，B=x|（）x3，则AB等于（）Ax|1x1Bx|1x1Cx|1x1Dx|1x22已知命题p：x0，x+4；命题q：x0R，2x0=1则下列判断正确的是（）Ap是假命题Bq是真命题Cp（q）是真命题D（p）q是真命题3已知复数z=3+4i（i是虚数单位），则复数的虚部为（）ABCDi4一个直棱柱被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A9B10
2、C11D5若，则sin2=（）ABCD6如果执行如图的框图，输入N=5，则输出的数等于（）ABCD7两圆x2+y2+2ax+a24=0和x2+y24by1+4b2=0恰有三条公切线，若aR，bR，且ab0，则的最小值为（）ABC1D38已知f（x）=2x2x，a=（），b=（），c=log2，则f（a），f（b），f（c）的大小顺序为（）Af（b）f（a）f（c）Bf（c）f（b）f（a）Cf（c）f（a）f（b）Df（b）f（c）f（a）9直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为（）ABCD10已知函数f（x）=4sin（x+）（0）在平面直角
3、坐标系中的部分图象如图所示，若ABC=90，则=（）ABCD11在ABC中，a，b，c分别为A，B，C所对应三角形的边长，若，则cosB=（）ABCD12已知函数f（x）=ax2+bx2lnx（a0，bR），若对任意x0都有f（x）f（2）成立，则（）Alnab1Blnab1Clnab1Dlnab1二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13设不等式组表示平面区域为D，在区域D内随机取一点P，则点P落在圆x2+y2=1内的概率为14已知|=1，|=2，与的夹角为60，则2+在方向上的投影为15已知直线l，m平面，且l，m，给出下列四个命题若则lm；若lm则；若，则lm；若lm则其中
4、正确命题的序号是16已知点P为双曲线右支上的一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，点I为PF1F2的内心，若成立，则的值为三.解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤.）17已知数列log2（an1）（nN*）为等差数列，且a1=3，a3=9（）求数列an的通项公式；（）证明+118在微信群中抢红包已成为一种娱乐，已知某商业调查公司对此进行了问卷调查，其中男性500人，女性400人，为了了解喜欢抢红包是否与性别有关，现采用分层抽样的方法从中抽取了45人的调查结果，并作出频数统计表如下：表1：男性等级喜欢一般不喜欢频数15x5表2：女性等级喜欢一般不喜欢
5、频数153y（）由表中统计数据填写下面22列联表，并判断是否有90%的把握认为“喜欢抢红包与性别有关”；男性女性总计喜欢非喜欢总计参考公式：K2=，其中n=a+b+c+d临界值表：P（K2k0）0.100.050.01k02.7063.8416.635（）从表1“一般”与表2“不喜欢”的人中随机选取2人进行交谈，求所选2人中至少有1人是“不喜欢”的概率19如图，四边形BCDE是直角梯形，CDBE，CD丄BC，CD=BE=2，平面BCDE丄平面ABC，又已知ABC为等腰直角三角形，AB=AC=4，M是BC的中点（I）求证：AM丄ME；（II）求四面体ADME的体积20在平面直角坐标系xOy中，设
6、点P（x，y），M（x，4）以线段PM为直径的圆经过原点O（1）求动点P的轨迹W的方程；（2）过点E（0，4）的直线l与轨迹W交于两点A，B，点A关于y轴的对称点为A，试判断直线AB是否恒过一定点，并证明你的结论21已知函数（）若曲线y=f（x）在点P（1，f（1）处的切线与直线y=x+2垂直，求函数y=f（x）的单调区间；（）若对于x（0，+）都有f（x）2（a1）成立，试求a的取值范围；（）记g（x）=f（x）+xb（bR）当a=1时，函数g（x）在区间e1，e上有两个零点，求实数b的取值范围请考生在第22、23两题中任选一题作答注意：只能做所选定的题目如果多做，则按所做的第一个题目计分，
7、作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑选修4-4：坐标系与参数方程22以平面直角坐标系xOy的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，直线l的参数方程为，圆C的极坐标方程为=4sin（+）（1）求直线l的普通方程与圆C的直角坐标系；（2）设曲线C与直线l交于A、B两点，若P点的直角坐标为（2，1），求|PA|PB|的值选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）=|2xa|+|2x+3|，g（x）=|x1|+2（1）解不等式|g（x）|5；（2）若对任意x1R，都有x2R，使得f（x1）=g（x2）成立，求实数a的取值范围2016-2017学年四川
8、省绵阳市涪城区南山中学高三（下）入学数学试卷（文科）参考答案与试题解析一.选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1已知集合A=y|y=sinx，xR，B=x|（）x3，则AB等于（）Ax|1x1Bx|1x1Cx|1x1Dx|1x2【考点】1E：交集及其运算【分析】求出集合A中函数的值域，确定出A，求出集合B中不等式的解集，确定出B，找出两集合的公共部分，即可求出两集合的交集【解答】解：由集合A中的函数y=sinx，得到1y1，A=1，1，由集合B中的不等式（）x3，解得：1x2，B=（1，2），则AB=（1，1故选：C2已知命题p
9、：x0，x+4；命题q：x0R，2x0=1则下列判断正确的是（）Ap是假命题Bq是真命题Cp（q）是真命题D（p）q是真命题【考点】2I：特称命题；2H：全称命题【分析】首先，判断命题p和命题q的真假，然后，结合由逻辑联结词“且”、“或”、“非”构成的复合命题的真值表进行判断即可【解答】解：对于命题p：x0，x+2=4，命题p为真命题；对于命题q：对xR，2x0，命题q为假命题，q为真命题，故只有选项C为真命题故选：C3已知复数z=3+4i（i是虚数单位），则复数的虚部为（）ABCDi【考点】A5：复数代数形式的乘除运算【分析】把z=3+4i代入，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案【解答
10、】解：z=3+4i，=，复数的虚部为故选：A4一个直棱柱被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A9B10C11D【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】根据得出该几何体是在底面为边长是2的正方形、高是3的直四棱柱的基础上，截去一个底面积为21=1、高为3的三棱锥形成的，运用直棱柱减去三棱锥即可得出答案【解答】解：由三视图可知该几何体是在底面为边长是2的正方形、高是3的直四棱柱的基础上，截去一个底面积为21=1、高为3的三棱锥形成的，V三棱锥=1，所以V=431=11故选：C5若，则sin2=（）ABCD【考点】GI：三角函数的化简求值【分析】利用二倍角公式
11、、同角三角函数的基本关系，求得sin2的值【解答】解：若，则=，故选：D6如果执行如图的框图，输入N=5，则输出的数等于（）ABCD【考点】EF：程序框图【分析】按照程序框图的流程，写出前五次循环的结果，直到第五次不满足判断框中的条件，执行输出结果【解答】解：经过第一次循环得到 S=，满足进入循环的条件，k=2，经过第二次循环得到S=+=，满足进入循环的条件，k=3，经过第三次循环得到S=+=，满足进入循环的条件，k=4，经过第四次循环得到S=+=，满足进入循环的条件，k=5，经过第五次循环得到S=+=，不满足进入循环的条件，执行输出，故输出结果为：，故选：D7两圆x2+y2+2ax+a24=
12、0和x2+y24by1+4b2=0恰有三条公切线，若aR，bR，且ab0，则的最小值为（）ABC1D3【考点】JA：圆与圆的位置关系及其判定；7G：基本不等式在最值问题中的应用【分析】由题意可得 两圆相外切，根据两圆的标准方程求出圆心和半径，由 =3，得到 =1，=+=+，使用基本不等式求得的最小值【解答】解：由题意可得 两圆相外切，两圆的标准方程分别为 （x+a）2+y2=4，x2+（y2b）2=1，圆心分别为（a，0），（0，2b），半径分别为 2和1，故有 =3，a2+4b2=9，=1，=+=+2=1，当且仅当 = 时，等号成立，故选 C8已知f（x）=2x2x，a=（），b=（），c=
13、log2，则f（a），f（b），f（c）的大小顺序为（）Af（b）f（a）f（c）Bf（c）f（b）f（a）Cf（c）f（a）f（b）Df（b）f（c）f（a）【考点】3F：函数单调性的性质；4M：对数值大小的比较【分析】判断出函数f（x）的单调性，求出a，b，c的大小，从而判断出函数值的大小即可【解答】解：f（x）=2x2x在R递增，而a=（）1，0b=（）1，c=log20，故abc，则f（a）f（b）f（c），故选：C9直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为（）ABCD【考点】K4：椭圆的简单性质【分析】设出椭圆的方程，求出直线的方程，利
14、用已知条件列出方程，即可求解椭圆的离心率【解答】解：设椭圆的方程为：，直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，则直线方程为：，椭圆中心到l的距离为其短轴长的，可得：，4=b2（），=3，e=故选：B10已知函数f（x）=4sin（x+）（0）在平面直角坐标系中的部分图象如图所示，若ABC=90，则=（）ABCD【考点】HK：由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式【分析】由函数f（x）的最值求得A，再利用勾股定理求得AC、AB、BC的值，再利用 AC2=AB2+BC2，求得【解答】解：根据函数f（x）=4sin（x+）（0）在平面直角坐标系中的部分图象，可得A=4，再根据AC=，AB=，BC=
15、，ABC=90，AC2=AB2+BC2，即 +192=+48+48，=，故选：B11在ABC中，a，b，c分别为A，B，C所对应三角形的边长，若，则cosB=（）ABCD【考点】HX：解三角形【分析】由已知及向量减法的平行四边形法则可得4a=即（4a3c）+（2b3c）=，根据向量的基本定理可得a，b，c之间的关系，然后利用余弦定理即可求cosB【解答】解：4a=（4a3c）+（2b3c）=，不共线即a=则cosB=故选A12已知函数f（x）=ax2+bx2lnx（a0，bR），若对任意x0都有f（x）f（2）成立，则（）Alnab1Blnab1Clnab1Dlnab1【考点】6B：利用导数研
16、究函数的单调性【分析】由f（x）f（1），知x=1是函数f（x）的极值点，所以f（2）=0，从而得到b=14a，作差：lna（b1）=lna+24a，所以构造函数g（x）=lnx+24x，通过导数可求得g（x）g（）0，即g（x）0，所以g（a）0，所以lnab1【解答】解：f（x）=2ax+b，由题意可知，f（x）在x=2处取得最小值，即x=2是f（x）的极值点；f（2）=0，4a+b=1，即b=14a；令g（x）=24x+lnx（x0），则g（x）=；当0x时，g（x）0，g（x）在（0，）上单调递增；当x时，g（x）0，g（x）在（，+）上单调递减；g（x）g（）=1+ln=1ln40；
17、g（a）0，即24a+lna=lna+b+10；故lnab1，故选：C二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13设不等式组表示平面区域为D，在区域D内随机取一点P，则点P落在圆x2+y2=1内的概率为【考点】7C：简单线性规划【分析】先画出满足条件的平面区域，分别求出区域D的面积和区域D在圆中的部分面积，从而求出满足条件的概率P的值【解答】解：画出区域D和圆，如图示：区域D的面积是4，区域D在圆中的部分面积是，点P落在圆内的概率是=，故答案为：14已知|=1，|=2，与的夹角为60，则2+在方向上的投影为3【考点】9R：平面向量数量积的运算【分析】运用向量的数量积的定义和性质，即
18、向量的平方即为模的平方，再由向量的投影的概念即可求得所求值【解答】解：|=1，|=2，与的夹角为60，（2+）=2+=2|cos60+4=212+4=6，2+在方向上的投影为=3，故答案为：315已知直线l，m平面，且l，m，给出下列四个命题若则lm；若lm则；若，则lm；若lm则其中正确命题的序号是【考点】LJ：平面的基本性质及推论【分析】由l，m，知：若，则l，故lm；若lm，则与平行或相交；若，则l与m相交、平行或异面；若lm，则m，故【解答】解：l，m，若，则l，lm，故正确；若lm，则与平行或相交，故不正确；若，则l与m相交、平行或异面，故不正确；若lm，则m，故正确故答案为：16已
19、知点P为双曲线右支上的一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，点I为PF1F2的内心，若成立，则的值为【考点】KC：双曲线的简单性质【分析】设PF1F2的内切圆半径为r，由|PF1|PF2|=2a，|F1F2|=2c，用PF1F2的边长和r表示出等式中的三角形的面积，解此等式求出【解答】解：双曲线的a=4，b=3，c=5，设PF1F2的内切圆半径为r，由双曲线的定义得|PF1|PF2|=2a，|F1F2|=2c，S=|PF1|r，S=|PF2|r，S=2cr=cr，由得，|PF1|r=|PF2|r+cr，故=，故答案为：三.解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程
20、或推演步骤.）17已知数列log2（an1）（nN*）为等差数列，且a1=3，a3=9（）求数列an的通项公式；（）证明+1【考点】84：等差数列的通项公式；89：等比数列的前n项和；R6：不等式的证明【分析】（1）设等差数列log2（an1）的公差为d根据a1和a3的值求得d，进而根据等差数列的通项公式求得数列log2（an1）的通项公式，进而求得an（2）把（1）中求得的an代入+中，进而根据等比数列的求和公式求得+=1原式得证【解答】（I）解：设等差数列log2（an1）的公差为d由a1=3，a3=9得2（log22+d）=log22+log28，即d=1所以log2（an1）=1+（n
21、1）1=n，即an=2n+1（II）证明：因为=，所以+=+=11，即得证18在微信群中抢红包已成为一种娱乐，已知某商业调查公司对此进行了问卷调查，其中男性500人，女性400人，为了了解喜欢抢红包是否与性别有关，现采用分层抽样的方法从中抽取了45人的调查结果，并作出频数统计表如下：表1：男性等级喜欢一般不喜欢频数15x5表2：女性等级喜欢一般不喜欢频数153y（）由表中统计数据填写下面22列联表，并判断是否有90%的把握认为“喜欢抢红包与性别有关”；男性女性总计喜欢151530非喜欢10515总计252045参考公式：K2=，其中n=a+b+c+d临界值表：P（K2k0）0.100.050.
22、01k02.7063.8416.635（）从表1“一般”与表2“不喜欢”的人中随机选取2人进行交谈，求所选2人中至少有1人是“不喜欢”的概率【考点】BL：独立性检验【分析】（）先由分层抽样求出x=5，y=2，得到22列联表，求出K2=1.1252.706，从而得到没有90%的把握认为“喜欢抢红包与性别有关”（）先求出基本事件总数，再求出所选2人中至少有一人“不喜欢”的基本事件个数，由此能求出所选2人中至少有一人“不喜欢”的概率【解答】解：（）设从男性中抽取了m人，则=，m=25，从而知从女性中抽取了20人，x=2520=5，y=2018=2填写完整的22列联表如下：男性女性总计喜欢151530
23、非喜欢10515总计252045而K2=1.1252.706，10.9=0.1，P（K22.706）=0.10，没有90%的把握认为“喜欢抢红包与性别有关”（ II）由（）知表1中“一般”的有5人，分别记为A，B，C，D，E，表2中“不喜欢”的有2人，分别记为a，b，则从中随机选取2人，不同的结果为：A，B，A，C，A，D，A，E，A，a，A，b，B，C，B，D，B，E，B，a，B，b，C，D，C，E，C，a，C，b，D，E，D，a，D，b，E，a，E，b，a，b，共21种设事件M表示“所选2人中至少有1人是不喜欢”，则为“所选2人都是一般”，事件M所包含的不同的结果为：A，B，A，C，A，D
24、，A，E，B，C，B，D，B，E，C，D，C，E，D，E，共10种P（）=，故P（M）=1P（）=1=19如图，四边形BCDE是直角梯形，CDBE，CD丄BC，CD=BE=2，平面BCDE丄平面ABC，又已知ABC为等腰直角三角形，AB=AC=4，M是BC的中点（I）求证：AM丄ME；（II）求四面体ADME的体积【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LX：直线与平面垂直的性质【分析】（）由AB=AC，M是BC的中点，可得AMBC，再由面面垂直的性质可得AM平面BCDE，进一步得到AMME；（）由已知可得BME的面积，得到DCM的面积，求出梯形BCDE的面积，作差可得DME的面积，结合（）知，
25、AM平面BCDE，即三棱锥ADME的高AM=代入棱锥体积公式得答案【解答】（）证明：AB=AC，M是BC的中点，AMBC，平面BCDE平面ABC，而平面BCDE平面ABC=BC，AM平面ABC，AM平面BCDE，又EM平面BCDE，AMME；（）解：BECD，CDBC，且四边形BCDE是直角梯形，而梯形BCDE的面积由（）知，AM平面BCDE，即三棱锥ADME的高AM=820在平面直角坐标系xOy中，设点P（x，y），M（x，4）以线段PM为直径的圆经过原点O（1）求动点P的轨迹W的方程；（2）过点E（0，4）的直线l与轨迹W交于两点A，B，点A关于y轴的对称点为A，试判断直线AB是否恒过一定
26、点，并证明你的结论【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合问题；J3：轨迹方程【分析】（1）根据点P（x，y），M（x，4）以线段PM为直径的圆经过原点O，可知OPOM，所以，即（x，y）（x，4）=0，化简可得动点P的轨迹W的方程；（2）直线l与轨迹W的方程联立，进而可求直线AB的方程，由此，可判断是否恒过一定点【解答】解：（1）由题意可得OPOM，所以，即（x，y）（x，4）=0即x24y=0，即动点P的轨迹w的方程为x2=4y（2）设直线l的方程为y=kx4，A（x1，y1），B（x2，y2），则A（x1，y1）由消y整理得x24kx+16=0则x1+x2=4k，x1x2=16直线即，所以，直
27、线AB恒过定点（0，4）21已知函数（）若曲线y=f（x）在点P（1，f（1）处的切线与直线y=x+2垂直，求函数y=f（x）的单调区间；（）若对于x（0，+）都有f（x）2（a1）成立，试求a的取值范围；（）记g（x）=f（x）+xb（bR）当a=1时，函数g（x）在区间e1，e上有两个零点，求实数b的取值范围【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程；52：函数零点的判定定理；6D：利用导数研究函数的极值；6K：导数在最大值、最小值问题中的应用【分析】（） 求出函数的定义域，在定义域内，求出导数大于0的区间，即为函数的增区间，求出导数小于0的区间即为函数的减区间（） 根据函数的单调区间求
28、出函数的最小值，要使f（x）2（a1）恒成立，需使函数的最小值大于2（a1），从而求得a的取值范围（）利用导数的符号求出单调区间，再根据函数g（x）在区间e1，e上有两个零点，得到， 解出实数b的取值范围【解答】解：（）直线y=x+2的斜率为1，函数f（x）的定义域为（0，+），因为，所以，所以，a=1所以， 由f（x）0解得x2；由f（x）0，解得 0x2所以f（x）的单调增区间是（2，+），单调减区间是（0，2） （） ，由f（x）0解得； 由f（x）0解得所以，f（x）在区间上单调递增，在区间上单调递减所以，当时，函数f（x）取得最小值，因为对于x（0，+）都有f（x）2（a1）成立，所
29、以，即可 则 由解得所以，a的取值范围是 （） 依题得，则由g（x）0解得 x1； 由g（x）0解得 0x1所以函数g（x）在区间（0，1）为减函数，在区间（1，+）为增函数又因为函数g（x）在区间e1，e上有两个零点，所以，解得 所以，b的取值范围是请考生在第22、23两题中任选一题作答注意：只能做所选定的题目如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑选修4-4：坐标系与参数方程22以平面直角坐标系xOy的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，直线l的参数方程为，圆C的极坐标方程为=4sin（+）（1）求直线l
30、的普通方程与圆C的直角坐标系；（2）设曲线C与直线l交于A、B两点，若P点的直角坐标为（2，1），求|PA|PB|的值【考点】QH：参数方程化成普通方程；Q4：简单曲线的极坐标方程【分析】（1）直线l的参数方程为，消去t，求得普通方程：y=x1，由=4sin（+）=4sin+4cos，可得：2=4sin+4cos，即可求得x2+y24x4y=0圆C的直角坐标系；（2）将参数方程代入曲线圆C的直角坐标系，可求得t2t7=0，由韦达定理可知t1+t2=，t1t2=70，即t1t2异号，可知|PA|PB|=|t1+t2|【解答】解：（1）直线l的参数方程为，消去t，求得普通方程：y=x1，直线l的普
31、通方程为：y=x1，=4sin（+）=4sin+4cos，2=4sin+4cos，所以曲线C的直角坐标方程为x2+y24x4y=0（2）点P（2，1）在直线l上，且在圆C内，把，代入x2+y24x4y=0，得：t2t7=0，设两个实根为t1，t2，则t1+t2=，t1t2=70，即t1t2异号|PA|PB|=|t1|t2|=|t1+t2|=选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）=|2xa|+|2x+3|，g（x）=|x1|+2（1）解不等式|g（x）|5；（2）若对任意x1R，都有x2R，使得f（x1）=g（x2）成立，求实数a的取值范围【考点】3R：函数恒成立问题；R5：绝对值不等式的解法【分析】（1）利用|x1|+2|5，转化为7|x1|3，然后求解不等式即可（2）利用条件说明y|y=f（x）y|y=g（x），通过函数的最值，列出不等式求解即可【解答】解：（1）由|x1|+2|5，得5|x1|+257|x1|3，得不等式的解为2x4（2）因为任意x1R，都有x2R，使得f（x1）=g（x2）成立，所以y|y=f（x）y|y=g（x），又f（x）=|2xa|+|2x+3|（2xa）（2x+3）|=|a+3|，g（x）=|x1|+22，所以|a+3|2，解得a1或a5，所以实数a的取值范围为a1或a52017年5月26日
