1、第一节 平面向量的概念及线性运算A组基础对点练1有向线段就是向量，向量就是有向线段；向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反；向量与向量共线，则A，B，C，D四点共线；如果ab，bc，那么ac.以上命题中正确的个数为()A1 B2C3 D0解析：不正确，向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段；不正确，若a与b中有一个为零向量时也互相平行，但零向量的方向是不确定的，故两向量方向不一定相同或相反；不正确，共线向量所在的直线可以重合，也可以平行；不正确，当b0时，a与c不一定平行，故正确命题的个数为0.答案：D2(2020山东威海模拟)设a，b不共线，2apb，ab，a2b.若A，B，D三点
2、共线，则实数p的值为()A2 B1C1 D2解析：因为ab，a2b，所以2ab.又因为A，B，D三点共线，所以，共线设，所以2apb(2ab)，所以22，p，即1，p1.答案：B3已知a，b是两个非零向量，且|ab|a|b|，则下列说法正确的是()Aab0 BabCa与b共线反向 D存在正实数，使ab解析：由已知得，向量a与b为同向向量，即存在正实数，使ab.答案：D4已知a(3，2)，b(2，1)，c(7，4)，则()Aca2b Bca2bCc2ba Dc2ab解析：设cxayb，所以(7，4)(3x2y，2xy)，所以得所以ca2b.答案：B5在ABC中，点D在AB上，CD平分ACB.若a
3、，b，|a|1，|b|2，则()Aab BabCab Dab解析：因为CD平分ACB，由角平分线定理得，所以D为AB的三等分点，且()，所以ab.答案：B6在下列选项中，“ab”的充分不必要条件是()Aa，b都是单位向量B|a|b|C|ab|a|b|D存在不全为零的实数，使ab0解析：a，b都是单位向量，但方向可能既不相同，又不相反，故选项A错误；|a|b|，但方向不定，故选项B错误；|ab|a|b|，若a，b都是非零向量，则a，b反向共线，且|a|b|；若a，b中恰有一个零向量，则a0，b0；若ab0，则a，b也符合|ab|a|b|，所以“|ab|a|b|”“ab”，而“ab”/“|ab|a
4、|b|”，故选项C正确；选项D中“存在不全为零的实数，使ab0”“ab”答案：C7已知向量a(2，3)，b(1，2).若manb与a2b共线，则等于()A BC2 D2解析：因为向量a(2，3)，b(1，2)，所以a2b(4，1)，manb(2mn，3m2n).因为manb与a2b共线，所以4(3m2n)(1)(2mn)0，所以.答案：A8.如图所示，已知AB是圆O的直径，点C，D是半圆弧的两个三等分点，a，b，则()Aab BabCab Dab解析：连接OC，OD，CD，由点C，D是半圆弧的三等分点，有AOCCODBOD60，且OAOCOD，则OAC与OCD均为边长等于圆O的半径的等边三角形
5、，所以四边形OACD为菱形，所以ab.答案：D9若a与b不共线，已知下列各向量：a与2b；ab与ab；ab与a2b；ab与ab.其中可以作为基底的是_(填序号).解析：对于，因为a与b不共线，所以a与2b不共线；对于，假设ab与ab共线，则有ab(ab)，所以1且1，矛盾，所以ab与ab不共线；对于，同理ab与a2b不共线；对于，因为ab2，所以ab与ab共线由基底的定义知，都可以作为基底，不可以答案：10(2021海南海口模拟)在ABC中，A60，角A的平分线交BC于点D.若AB4，且(R)，则AD的长为_解析：因为B，D，C三点共线，所以1，解得，过点D分别作AC，AB的平行线交AB，AC
6、于点M，N(图略)，则，经计算得ANAM3，AD3.答案：311设向量a，b不平行，向量ab与3a2b平行，则实数_解析：因为向量a，b不平行，所以3a2b0.又向量ab与3a2b平行，则存在唯一的实数，使ab(3a2b)成立，即ab3a2b，则解得，.答案：12若点O是ABC所在平面内的一点，且满足|2|，则ABC的形状为_解析：2()()，所以|.故A，B，C为矩形的三个顶点，ABC为直角三角形答案：直角三角形B组素养提升练1若点M是ABC所在平面内的一点，且满足53，则ABM与ABC的面积比为()A BC D解析：如图所示，设AB的中点为D，由53，得3322，所以，所以C，M，D三点共
7、线，且，所以ABM与ABC公共边AB上的两高之比为35，则ABM与ABC的面积比为.答案：C2(2020湖南省八校联考)如图所示，在ABC中，点D在线段BC上，且满足BDDC，过点D的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N.若m，n，则()Amn是定值，定值为2B2mn是定值，定值为3C是定值，定值为2D是定值，定值为3解析：法一：如图所示，过点C作CE平行于MN交AB于点E.由n可得，所以.由BDDC可得，所以.因为m，所以m，整理可得3.法二：连接AD(图略).因为M，D，N三点共线，所以(1).又m，n，所以m(1)n.又，所以，所以.由知m，(1)n，所以3.答案：D3如图所示，四
8、边形ABCD是正方形，延长CD至点E，使得DECD.若动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到点A，其中(，R)，下列判断正确的是()A满足2的点P必为BC的中点B满足1的点P有且只有一个C满足a(a0)的点P最多有3个D的最大值为3解析：以AB，AD所在直线分别为x轴，y轴建立如图所示的平面直角坐标系，设正方形ABCD的边长为1，P(x，y)(0x1，0y1)，则A(0，0)，B(1，0)，E(1，1)，所以(x，y)，(1，0)，(1，1)，所以由得，(x，y)(，)，所以x，y，所以x2y当P或P(0，1)时，2，所以满足2的点P有线段BC的中点和D点；当P(1，0)或P时
9、，1，所以满足1的点P有B点和线段AD的中点；由关于x，y的表达式知，满足a(a0)的点P最多有2个；x1，y1，即点P与点C重合时，取得最大值3.答案：D4在平行四边形ABCD中，点E是AD的中点，BE与AC相交于点F，若mn(m，nR)，则的值为()A2 BC2 D解析：设a，b，则manb，ba，由向量与共线可知存在实数，使得，即manbba，又a与b不共线，则所以2.故选A.答案：A5(2020湖北咸宁联考)如图，在ABC中，点M为AC的中点，点N在AB上，3，点P在MN上，2，那么等于()A BC D解析：由题意知，().故选D.答案：D6在ABC中，若P是直线BN上的一点且满足m，
10、则实数m的值为()A4 B1C1 D4解析：根据题意设n(nR)，则nn()n(1n)，又m，解得故选B.答案：B7(2021湖南长沙模拟)矩形ABCD中，AB3，AD2，P为矩形内部一点，且AP1.若xy，则3x2y的取值范围是_解析：以点A为原点，AB为x轴，AD为y轴建立平面直角坐标系(图略)，则A(0，0)，B(3，0)，D(0，2)，根据xy可知，P(3x，2y)，因为AP1，所以(3x)2(2y)21，x0，y0，那么(3x2y)2(3x)2(2y)223x2y12(3x)(2y)，而23x2y(3x)2(2y)21，所以1(3x2y)22，即3x2y的取值范围是(1，.答案：(1，8如图所示，在ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，a，b.(1)用a，b表示向量，；(2)求证：B，E，F三点共线解析：(1)延长AD到G，使，连接BG，CG，得到ABGC，如图，所以ab，(ab)，(ab)，b，(ab)a(b2a)，ba(b2a).(2)证明：由(1)可知，又因为，有公共点B，所以B，E，F三点共线
