1、第四章 导数专练1已知函数(1)讨论函数的单调性;(2)当时,求实数的取值范围解:(1),当时,对任意,都有,此时的单调递增区间为,无单调递减区间;当时,令,解得,令,解得,此时的单调递减区间为,单调递增区间为,;(2)令,则,当时,令,则,当时,即,由(1)得,当时,在单调递减,在单调递增,当时,即,令,则,在,单调递增,当时,当时,即;当时,因为,所以存在,使得当,所以在单调递减,所以,即,与条件矛盾,综合,实数的取值范围为,2已知是自然对数的底数,函数,(1)若曲线在点,处的切线斜率为1,求的最小值;(2)若当,时,有解,求实数的取值范围解:(1)由,得,曲线在点,处的切线斜率为1,解得
2、:,当,时,当,时,在,上单调递增,即的最小值是(2),设,则当,时,有解,当,时,解,得,的取值范围是,3已知函数,其中为实数,为自然对数的底数是的导数(1)试讨论的极值点;(2)()若,证明:当时,恒成立;()当时,恒成立,求的取值范围解:(1),则,当时,单调递增,无极值点,当时,令,则,令,则,单调递增,令,则,单调递减,的极小值点为,无极大值点,综上:当时,无极值点,当时,的极小值点为,无极大值点(2)()证明:当时,设,则,故在,上单调递增,故当时,故在,上单调递增,故当时,故当时,恒成立()设,则,且,则,且,则在,上单调递增,当时,由于在,上单调递增,则当时,则在,上单调递增,
3、故,则在,上单调递增,故,符合题意,当时,利用()中已证结论可得由于在,上单调递增,故必然存在,使得时,则在上单调递减,故当时,则在上单调递减,则当时,综上,的取值范围为,4已知定义在上的函数,(其中常数是自然对数的底数,(1)当时,求的极值;(2)()若在,上单调递增,求实数的取值范围;()当时,证明:解:(1)时,令,则,故在单调递增,又,当时,当时,当时,当时,在上单调递减,在上单调递增,的极小值是,无极大值;(2),若在,上单调递增,则在,上恒成立,显然当,时,不等式等价于,下面证明,即证,即证,由(1)可知,显然成立,或者考虑亦可(由(1)可知,又当时,即实数的取值范围是,证明:先证
4、当,时,有,由(1)可知,当时,在,上单调递增,当,时,即,当,时,再证当,时,有,当,时,有,即,将上述不等式累加得:,又,5已知函数(1)当时,求在,上的最小值;(2)当时,求函数在上零点的个数解:(1),当,时,当即时,在,上恒成立,故在,上单调递减,(1),当时,令,得,令,得,故在,上递减,在,上单调递增,综上,时,(1),时,(2)由题设得,故,设,则,当时,即在上递减,又,且的图像连续,故在上有唯一零点,当时,当时,故在内单调递增,在上单调递减,又,故,又的图像连续不断,故存在,使得,即此时有1个零点;当,时,在,内递减,又,的图像连续不断,故存在一个,使得;当时,故,从而在上没
5、有零点,综上,在上有2个零点6已知函数(1)当时,求曲线在点,处的切线方程;(2)若存在正实数,使得当时,有对恒成立,求的值解:(1)当时,故曲线在点,处的切线方程为:,即;(2),函数的定义域是,若存在正实数,使得时,有对恒成立,则,且,令,当时,此时存在使得时,递增,在递减,在递增,时,不恒成立,不合题意,舍;当时,同理可得时,不恒成立,不合题意,舍;当时,存在,使得在单调递增,时,时,时,在单调递增,时,时,即恒成立,符合题意,综上:7已知函数,()讨论函数在,上的单调性;()若方程在区间上有且只有一个实数根,求的取值范围解:(),令,当时,单调递减,当时,单调递减,所以当时,当时,所以
6、当时,当时,所以在上单调递增,在上单调递减()由题意得,即在区间上有且只有一个实数根,令,则在上有且只有一个零点,当时,所以,在上单调递增,所以在上无零点;当时,令,所以,所以存在唯一,使,当时,单调递增,当,时,单调递减,因为,当时,即时,在上恒成立,在上无零点,不符合题意;当时,即时,在上有且只有一个零点,符合题意综上,的取值范围是,8已知函数,其中为自然对数的底数(1)若函数在,(1)处的切线与直线垂直,求函数在,(1)处的切线方程(2)若对任意的,恒成立()求实数的取值范围;()若函数,证明:解:(1),(1),(1),即切线方程是:;(2)由,得,即对恒成立,即对恒成立,设即对恒成立,当时,对恒成立,;当时,在上为增函数,当时,不合题意;当时,设在上为增函数,又,(a),所以使即,所以,当时,为减函数,当时,为增函数,综上证明:因为所以,要证明成立,只需证明成立因为,所以,原问题转化为证明;当,时,所以所以成立,所以成立;当时,设,所以,所以在上为增函数,所以(1),所以在上为增函数,所以(1),所以,所以成立,综上:成立