1、第四章 导数专练1已知函数（1）讨论函数的单调性；（2）当时，求实数的取值范围解：（1），当时，对任意，都有，此时的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，令，解得，令，解得，此时的单调递减区间为，单调递增区间为，；（2）令，则，当时，令，则，当时，即，由（1）得，当时，在单调递减，在单调递增，当时，即，令，则，在，单调递增，当时，当时，即；当时，因为，所以存在，使得当，所以在单调递减，所以，即，与条件矛盾，综合，实数的取值范围为，2已知是自然对数的底数，函数，（1）若曲线在点，处的切线斜率为1，求的最小值；（2）若当，时，有解，求实数的取值范围解：（1）由，得，曲线在点，处的切线斜率为1，解得
2、：，当，时，当，时，在，上单调递增，即的最小值是（2），设，则当，时，有解，当，时，解，得，的取值范围是，3已知函数，其中为实数，为自然对数的底数是的导数（1）试讨论的极值点；（2）（）若，证明：当时，恒成立；（）当时，恒成立，求的取值范围解：（1），则，当时，单调递增，无极值点，当时，令，则，令，则，单调递增，令，则，单调递减，的极小值点为，无极大值点，综上：当时，无极值点，当时，的极小值点为，无极大值点（2）（）证明：当时，设，则，故在，上单调递增，故当时，故在，上单调递增，故当时，故当时，恒成立（）设，则，且，则，且，则在，上单调递增，当时，由于在，上单调递增，则当时，则在，上单调递增，
3、故，则在，上单调递增，故，符合题意，当时，利用（）中已证结论可得由于在，上单调递增，故必然存在，使得时，则在上单调递减，故当时，则在上单调递减，则当时，综上，的取值范围为，4已知定义在上的函数，（其中常数是自然对数的底数，（1）当时，求的极值；（2）（）若在，上单调递增，求实数的取值范围；（）当时，证明：解：（1）时，令，则，故在单调递增，又，当时，当时，当时，当时，在上单调递减，在上单调递增，的极小值是，无极大值；（2），若在，上单调递增，则在，上恒成立，显然当，时，不等式等价于，下面证明，即证，即证，由（1）可知，显然成立，或者考虑亦可（由（1）可知，又当时，即实数的取值范围是，证明：先证
4、当，时，有，由（1）可知，当时，在，上单调递增，当，时，即，当，时，再证当，时，有，当，时，有，即，将上述不等式累加得：，又，5已知函数（1）当时，求在，上的最小值；（2）当时，求函数在上零点的个数解：（1），当，时，当即时，在，上恒成立，故在，上单调递减，（1），当时，令，得，令，得，故在，上递减，在，上单调递增，综上，时，（1），时，（2）由题设得，故，设，则，当时，即在上递减，又，且的图像连续，故在上有唯一零点，当时，当时，故在内单调递增，在上单调递减，又，故，又的图像连续不断，故存在，使得，即此时有1个零点；当，时，在，内递减，又，的图像连续不断，故存在一个，使得；当时，故，从而在上没
5、有零点，综上，在上有2个零点6已知函数（1）当时，求曲线在点，处的切线方程；（2）若存在正实数，使得当时，有对恒成立，求的值解：（1）当时，故曲线在点，处的切线方程为：，即；（2），函数的定义域是，若存在正实数，使得时，有对恒成立，则，且，令，当时，此时存在使得时，递增，在递减，在递增，时，不恒成立，不合题意，舍；当时，同理可得时，不恒成立，不合题意，舍；当时，存在，使得在单调递增，时，时，时，在单调递增，时，时，即恒成立，符合题意，综上：7已知函数，（）讨论函数在，上的单调性；（）若方程在区间上有且只有一个实数根，求的取值范围解：（），令，当时，单调递减，当时，单调递减，所以当时，当时，所以
6、当时，当时，所以在上单调递增，在上单调递减（）由题意得，即在区间上有且只有一个实数根，令，则在上有且只有一个零点，当时，所以，在上单调递增，所以在上无零点；当时，令，所以，所以存在唯一，使，当时，单调递增，当，时，单调递减，因为，当时，即时，在上恒成立，在上无零点，不符合题意；当时，即时，在上有且只有一个零点，符合题意综上，的取值范围是，8已知函数，其中为自然对数的底数（1）若函数在，（1）处的切线与直线垂直，求函数在，（1）处的切线方程（2）若对任意的，恒成立（）求实数的取值范围；（）若函数，证明：解：（1），（1），（1），即切线方程是：；（2）由，得，即对恒成立，即对恒成立，设即对恒成立，当时，对恒成立，；当时，在上为增函数，当时，不合题意；当时，设在上为增函数，又，（a），所以使即，所以，当时，为减函数，当时，为增函数，综上证明：因为所以，要证明成立，只需证明成立因为，所以，原问题转化为证明；当，时，所以所以成立，所以成立；当时，设，所以，所以在上为增函数，所以（1），所以在上为增函数，所以（1），所以，所以成立，综上：成立