1、第一章数 列3 等比数列3.2 等比数列的前n项和第1课时 等比数列的前n项和内 容 标 准学 科 素 养1.学会推导等比数列前n项和的方法.2.掌握等比数列的前n项和公式，学会应用其解决问题.严格分类讨论提升数学运算抽象数学模型01 课前 自主预习02 课堂 合作探究03 课后 讨论探究04 课时 跟踪训练基础认识知识点一 等比数列的前n项和预习教材P2629，思考并完成以下问题1对于数列1，2，22，23，2n，(1)该数列的首项和公比分别是多少？提示：首项为1，公比为2.(2)把该数列的前n项和Sn12222n1两边同乘以公比2得：2Sn222232n这两个等式的右边有何相同点？若用式减
2、去式，会有什么结果？提示：两个等式的右边除首项与末项不同外，其余各项均相同，若用式减去式会把这些相同的项全部消掉，求得Sn2n1.2对和式Sna1a1qa1q2a1qn1(q1)按1(2)的方法处理会怎样呢？提示：Sna1a1qa1q2a1qn1，qSna1qa1q2a1q3a1qn，得：(q1)Sna1(qn1)，由q1得Sna1（1qn）1q.知识梳理 等比数列的前n项和公式已知量首项、公比与项数首项、末项与公比公式Sn_（q1）_Sn_（q1）_na1a1（1qn）1qna1a1qan1q（q1）)知识点二 等比数列前n项和的性质思考并完成以下问题1在等差数列an中，Sk，S2kSk，S
3、3kS2k，成等差数列吗？提示：是的2若数列an为等比数列，a1a2，a3a4，a5a6，成等比数列吗？提示：a3a4q2(a1a2)，a5a6q2(a3a4)，所以a1a2，a3a4，a5a6成等比数列3若数列an为等比数列，a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9成等比数列吗？提示：是的4仿照问题1，在等比数列an中，Sk，S2kSk，S3kS2k，是否成等比数列提示：成等比数列知识梳理 类比等差数列前n项和的性质，等比数列前n项和的性质总结如下：(1)等比数列an中，若项数为2n，则S偶S奇q；若项数为2n1，则S奇a1S偶q.(2)若等比数列an的前n项和为Sn，则Sn，S2nSn，S
4、3nS2n成等比数列(其中Sn，S2nSn，S3nS2n均不为0)(3)若一个非常数列an的前n项和SnAqnA(A0，q0，nN)，则数列an为等比数列，即SnAqnA(A0，q0，q1，nN)数列an为等比数列自我检测1设an是公比为正数的等比数列，若a11，a516，则数列an前7项的和为()A63 B64 C127 D128解析：a5a1q4，q2.q0.q2，S7a1（1q7）1q27121127，故选C.答案：C2在等比数列an中，a12，S326，则公比q()A3 B4 C3或4 D3或4解析：S3a1（1q3）1q2（1q3）1q26.q2q120，q3或4，故选C.答案：C3
5、等比数列an共有2n项，它的全部各项的和是奇数项的和的3倍，则公比q_解析：设an的公比为q，则奇数项也构成等比数列，其公比为q2，首项为a1，偶数项之和与奇数项之和分别为S偶，S奇，由题意S偶S奇3S奇，即S偶2S奇，因为数列an的项数为偶数，所以qS偶S奇2.答案：2探究一 等比数列前n项和的计算阅读教材P27例5及解答(1)已知等比数列an中，a12，q3，求S3.(2)求等比数列1，12，14，18，的前10项的和题型：等比数列前n项和的计算方法步骤：(1)明确首项a1，公比q以及项数n；(2)直接使用等比数列的前n项和公式求解例1 求下列等比数列前8项的和(1)12，14，18，；(
6、2)a127，a9 1243，q0.解析(1)因为a112，q12，所以S8121128112255256.(2)由a127，a9 1243，可得 124327q8.又由q0.可得q13，所以S8a1a8q1q a1a91q27 12431131 64081.方法技巧 等比数列前n项和计算的注意事项(1)应用等比数列的前n项和公式时，首先要对公比q1或q1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论(2)当q1时，等比数列是常数列，所以Snna1；当q1时，等比数列的前n项和Sn有两个公式当已知a1，q与n时，用Sn a1（1qn）1q比较方便；当已知a1，q与an时，用Sna1anq1q 比较
7、方便跟踪探究 1.(1)设等比数列an的前n项和为Sn，已知a26，6a1a330，求an和Sn.(2)在等比数列an中，S372，S6632，求an.解析：(1)设an的公比为q，由题意得a1q6，6a1a1q230解得a13q2 或a12q3.当a13，q2时，an32n1，Sn3(2n1)，当a12，q3时，an23n1，Sn3n1.(2)设等比数列的公比为q，由已知S62S3，则q1，又S372，S6632，得a1（1q3）1q72 a1（1q6）1q632 ，得1q39，q2.将q2代入解得a112，因此ana1qn12n2.探究二 等比数列前n项和的性质 例2(1)在等比数列an中
8、，已知Sn48，S2n60，则S3n_(2)已知等比数列an的前4项和为1，且公比q2，求前12项的和解题指南(1)由Sn，S2nSn，S3nS2n成等比数列求S3n.(2)根据S1，S8S4，S12S8的关系求S12.解析(1)由Sn，S2nSn，S3nS2n成等比数列得(S2nSn)2Sn(S3nS2n)，即(6048)248(S3n60)，所以S3n63.(2)因为S8S4a5a6a7a8q4S42416，所以S817.又因为S4，S8S4，S12S8成等比数列所以(S8S4)2S4(S12S8)，即162S1217，所以S12273.答案(1)63(2)答案见解析延伸探究 1.例(2)
9、条件不变，求等比数列an的通项公式解析：由S41，q2，得a1（1q4）1q1，q2.即(241)a11，所以a1 115.所以ana1qn1 1152n1.2例(2)条件“前4项和为1，且公比q2”改为“前4项和为S4，公比为q”，探究S4与S12的关系解析：由S12S4a5a6a7a12S4q4(a1a2a8)S4q4(S4a5a6a7a8)S4q4S4q4(a1a2a3a4)S4q4S4q8S4S4(1q4q8)方法技巧 等比数列前n项和性质应用的关注点(1)在解决等比数列前n项和问题时，若条件含有奇数项和与偶数项和的时候，如果项数为偶数，可考虑利用奇数项和与偶数项和之间的关系求解(2)
10、当已知条件含有片段和时，要考虑性质Sm，S2mSm，S3mS2m，成等比数列跟踪探究 2.设等比数列an的前n项和为Sn，若S6S33，则S9S6()A2 B.73C.83D3解析：由等比数列的性质：S3，S6S3，S9S6仍成等比数列，于是，由S63S3，可推出S9S64S3，S97S3，S9S673，故选B.答案：B3一个项数为偶数的等比数列an，全部各项之和为偶数项之和的4倍，前3项之积为64，则数列的通项公式为_解析：设数列an的首项为a1，公比为q，所有奇数项、偶数项之和分别记作S奇，S偶，由题意可知，S奇S偶4S偶，即S奇3S偶因为数列an的项数为偶数，所以有qS偶S奇13.又因为
11、a1a1qa1q264，所以a31q364，即a112，故所求通项公式为an1213n1.答案：an1213n1探究三 等比数列前n项和的实际应用阅读教材P28例7及解答一个热气球在第一分上升了25 m的高度，在以后的每一分里，它上升的高度都是它在前一分上升高度的80%，这个热气球上升的高度能超过125 m吗？题型：等比数列前n项和的应用方法步骤：抽象出等比数列模型确定首项a125，公比q45.热气球在几分钟里上升的总高度利用公式求和判断作出结论例3 某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上一年减少15，本年度当地旅游收入估计为400万
12、元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上一年增长14.求n年内的总投入与n年内旅游业的总收入解析 第1年投入800万元，第2年投入800115 万元，第n年投入800115n1万元每年的投入构成首项为800，公比为115 的等比数列故n年内的总投入为Sn800800115 800115n14 000145n.第1年旅游业的收入为400万元，第2年旅游业的收入为400114 万元，第n年旅游业的收入为400114n1万元，每年的旅游收入构成首项为400，公比为114 的等比数列所以n年内旅游业的总收入为Tn400400114400114n1 1 60054n1.方法技巧
13、 解数列应用题的具体方法步骤(1)认真审题，准确理解题意，达到如下要求：明确问题属于哪类应用问题，即明确是等差数列问题还是等比数列问题，还是含有递推关系的数列问题？是求an还是求Sn？特别要注意准确弄清项数是多少弄清题目中主要的已知事项(2)抓住数量关系，联想数学知识和数学方法，恰当引入参数变量，将文字语言翻译成数学语言，将数量关系用数学式子表示(3)将实际问题抽象为数学问题，将已知与所求联系起来，列出满足题意的数学关系式跟踪探究 4.某单位从市场上购进一辆新型轿车，购价为36万元，该单位使用轿车时，一年需养路费、保险费、汽油费、年检费等约6万元，同时该车的年折旧率为10%(即这辆车每年减少它
14、价值的10%，当年折旧费用也为该年花费在轿车上的费用)试问：大约使用多少年后，该单位花在轿车上的费用就达36万元？并说明理由解析：用an表示该单位第n年花费在轿车上的费用，则a16360.1，a26(360.9)0.1，a36(360.92)0.1，类推可得an6(360.9n1)0.1，所以Sna1a2an6n360.1(10.90.920.9n1)6n3.610.9n10.96n36(10.9n)令Sn36，得0.9nn6，因为1n6，取值验证，当n4时，0.9n0.656 1，460.666 7.所以n4.故大约使用4年后，该单位花在轿车上的费用就已经达到36万元.课后小结(1)在等比数
15、列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：a1，an，n，q，Sn，其中首项a1和公比q为基本量，且“知三求二”(2)前n项和公式的应用中，注意前n项和公式要分类讨论，即当q1和q1时是不同的公式形式，不可忽略q1的情况(3)解决有关数列模型的实际问题时，关键是弄懂题意，确定数列的类型及所求的基本量(4)等比数列前n项和中用到的数学思想分类讨论思想：a利用等比数列前n项和公式时要分公比q1和q1两种情况讨论；b.研究等比数列的单调性时应进行讨论：当a10，q1或a10，0q1时为递增数列；当a10，q1或a10，0q1时为递减数列；当q0时为摆动数列；当q1时为常数列函数思想：等比数列的通项
16、ana1qn1 a1q qn(q0且q1)常和指数函数相联系；等比数列前n项和Sn a1q1(qn1)(q1)设A a1q1，则SnA(qn1)与指数函数相联系整体思想：应用等比数列前n项和公式时，常把qn，a11q当成整体求解素养培优忽略对公比q的讨论致误已知等比数列an中，a12，S36，求a3和q.易错分析 在求等比数列前n项和Sn时，如果不能明确q的具体情况，不能直接套用前n项和公式，对q1和q1进行讨论，否则会因失去q1的情况而漏解，考查分类讨论的学科素养自我纠正 若q1，则S33a16，符合题意，此时q1，a3a12.若q1，则由等比数列的前n项和公式得S3a1（1q3）1q2（1q3）1q6，解得q1(舍去)或q2.此时，a3a1q22(2)28.综上所述：q1，a32或q2，a38.课时跟踪训练
