1、第2课时集合的表示必备知识探新知基础知识知识点1 列举法把集合的所有元素_一一列举_出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法思考1：哪些集合适合用列举法表示？提示：(1)含有有限个元素且个数较少的集合(2)元素较多，元素的排列又呈现一定的规律，在不至于发生误解的情况下，也可列出几个元素作代表，其他元素用省略号表示，如N可表示为0,1,2，n，(3)当集合所含元素不易表述时，用列举法表示方便如集合x2，x2y2，x3知识点2 描述法1设A是一个集合，把集合A中所有具有_共同特征_P(x)的元素x所组成的集合表示为xA|P(x)2具体步骤：(1)在花括号内写上表示这个集合的元素的一般符号及取值(或
2、变化)范围(2)画一条竖线(3)在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征思考2：什么类型的集合适合描述法表示？提示：描述法可以看清集合的元素特征，一般含较多元素或无数多个元素(无限集)且排列无明显规律的集合，或者元素不能一一列举的集合，宜用描述法基础自测1判断下列说法是否正确，正确的打“”，错误的打“”(1)由1,1,2,3组成的集合可用列举法表示为1,1,2,3()(2)集合(1,2)中的元素是1和2()(3)集合Ax|x10与集合B1表示同一个集合()2不等式x32且xN*的解集用列举法可表示为_1,2,3,4_3方程组的解集可表示为_(填序号)；1,2；(x，y)|x1且y24说明下列
3、各集合的含义：Ay|y；B(x，y)|1；C(0,1)；Dxy1，xy1解析A表示y的取值集合，由反比例函数的图象，知AyR|y0，B的代表元素是点(x，y)，其表示直线yx3上除去点(3,0)外所有点组成的集合C表示一个单元素集，元素是一个有序实数对(0,1)D表示以方程“xy1”和“xy1”为元素的一个二元素集关键能力攻重难题型探究题型一列举法表示集合例1用列举法表示下列集合：(1)36与60的公约数组成的集合；(2)方程(x4)2(x2)0的根组成的集合；(3)一次函数yx1与yx的图象的交点组成的集合分析(1)(2)可直接求出相应元素，然后用列举法表示；(3)联立求方程组的解写出交点坐
4、标用集合表示解析(1)36与60的公约数有1,2,3,4,6,12，所求集合为1,2,3,4,6,12(2)方程(x4)2(x2)0的根是4,2，所求集合为2,4(3)方程组的解是，所求集合为(，)归纳提升1用列举法表示集合，要注意是数集还是点集2列举法适合表示有限集，当集合中元素个数较少时，用列举法表示集合比较方便，且使人一目了然因此，集合是有限集还是无限集，是选择恰当的表示方法的关键【对点练习】 用列举法表示下列集合：(1)不大于10的非负偶数组成的集合；(2)方程x2x的所有实数解组成的集合；(3)直线y2x3与y轴的交点所组成的集合解析(1)因为不大于10是指小于或等于10，非负是大于
5、或等于0的意思所以不大于10的非负偶数集是0,2,4,6,8,10(2)方程x2x的解是x0或x1，所以方程的解组成的集合为0,1(3)将x0代入y2x3，得y3，即交点是(0，3)，故两直线的交点组成的集合是(0，3)题型二用描述法表示集合例2用描述法表示下列集合：(1)所有不小于2，且不大于20的实数组成的集合；(2)平面直角坐标系内第二象限内的点组成的集合；(3)使y有意义的实数x组成的集合；(4)200以内的正奇数组成的集合；(5)方程x25x60的解组成的集合分析用描述法表示集合时，关键要弄清元素的属性是什么，再给出其满足的性质，注意不要漏掉类似“xN”等条件解析(1)集合可表示为x
6、R|2x20(2)第二象限内的点(x，y)满足x0，且y0，故集合可表示为(x，y)|x0，且y0(3)要使该式有意义，需有，解得x2，且x0故此集合可表示为x|x2，且x0(4)x|x2k1，x200，kN(5)x|x25x60归纳提升用描述法表示集合应注意的问题1写清楚该集合中的代表元素，即弄清代表元素是数、点还是其他对象2准确说明集合中元素所满足的特征3所有描述的内容都要写在集合符号内，并且不能出现未被说明的符号4用于描述的语句力求简明、准确，多层描述时，应准确使用“且”“或”等表示描述语句之间的关系【对点练习】 用描述法表示下列集合：(1)大于6的全体奇数组成的集合；(2)二次函数y3
7、x21图象上的所有点组成的集合；(3)所有的三角形组成的集合解析(1)奇数可表示为2k1，kZ，又因为大于6，故k3，故可用描述法表示为x|x2k1，kN，且k3(2)点可用实数对表示，故可表示为(x，y)|y3x21(3)x|x是三角形题型三集合中的方程问题例3集合Ax|kx28x160(1)若集合A中只有一个元素，求实数k的值组成的集合；(2)若集合A中有两个元素，求实数k的值组成的集合分析(1)集合中只有一个元素，说明对应方程的根只有一个，分别寻找使方程只有一个根的条件，注意对方程是否为二次方程进行讨论(2)寻找使方程产生两个不等实根的条件解析(1)当k0时，方程kx28x160变为8x
8、160，解得x2，满足题意；当k0，要使集合Ax|kx28x160中只有一个元素，则方程kx28x160有两个相等的实数根，所以6464k0，解得k1，此时集合A4，满足题意综上所述，k0或k1，故实数k的值组成的集合为0,1(2)由题意可知，方程kx28x160有两个不等实根，故k0，且6464k0，即k1，且k0所以实数k的值组成的集合为k|k1，且k0归纳提升集合与方程的综合问题的解题思路(1)弄清方程与集合的关系，往往是用集合表示方程的解集，集合中的元素就是方程的根(2)当方程中含有参数时，若方程是一元二次方程，则应综合应用一元二次方程的相关知识求解若知道其解集，利用根与系数的关系，可
9、快速求出参数的值(或参数之间的关系)；若知道解集元素个数，利用判别式可求参数的取值范围【对点练习】 (1)已知集合Ax|x2axb0，若A2,3，求a，b的值(2)已知集合Mx|ax22x20，aR中至多有一个元素，求实数a的取值范围解析(1)由A2,3知，方程x2axb0的两根为2,3，由根与系数的关系得因此a5，b6(2)当a0时，方程化为2x20，解得x1，此时M1，满足条件当a0时，方程为一元二次方程，由题意得48a0，即a，此时方程无实数根或有两个相等的实数根综合(1)(2)可知，当a或a0时，集合M中至多有一个元素误区警示忽视集合中元素的互异性例4方程x2(a1)xa0的解集为_1
10、(a1)或1，a(a1)_错解x2(a1)xa0，即(xa)(x1)0，所以方程的实数根为x1或xa，则方程的解集为1，a错因分析错解中没有注意到字母a的取值带有不确定性，得到了错误答案1，a事实上，当a1时，不满足集合中元素的互异性正解x2(a1)xa(xa)(x1)0，所以方程的解为x1或xa若a1，则方程的解集为1；若a1，则方程的解集为1，a故填1(a1)或1，a(a1)方法点拨在刚学习集合的相关概念时，对含有参数的集合问题容易出错，尽管知道集合中元素是互异的，也不会写出1,1这种形式，但当字母a出现时，就会忽略a1的情况，因此要重点注意一定要记住：当集合中的元素用字母表示时，求出参数
11、后一定要代入检验，确保集合中元素的互异性学科素养解决集合的新定义问题的基本方法集合命题中与运算法则相关的问题已经成为新课标高考的热点这类试题的特点：通过给出新的数学概念或新的运算方法，在新的情况下完成某种推理证明或指定要求是集合命题的一个新方向常见的有定义新概念、新公式、新运算和新法则等类型例5当xA时，若x1A且x1A，则称x为A的一个“孤立元素”，所有孤立元素组成的集合称为“孤星集”，则集合A0,1,2,3,5中“孤立元素”组成的“孤星集”为_5_分析准确理解题中给出的新定义，并将其翻译成自然语言是解答此类题的关键解析由“孤立元素”的定义知，对任意xA，要成为A的孤立元素，必须是集合A中既没有x1，也没有x1，因此只需逐一考查A中的元素即可0有1相伴，1,2则是前后的元素都有，3有2相伴，只有5是“孤立的”，从而集合A0,1,2,3,5中“孤立元素”组成的“孤星集”为5，故填5归纳提升解决这类问题的基本方法：仔细审题，准确把握新信息，想方设法将新定义的问题化归为已经解决的熟悉问题，从而使问题得到解决也就是“以旧带新”法
