1、要点导学各个击破函数奇偶性的判断与证明判断下列函数的奇偶性:(1) f(x)=;(2) f(x)=x3-2x;(3) f(x)=a(xR).思维引导根据函数的奇偶性的定义即可判断下列函数的奇偶性.解答(1) 函数的定义域为x|x-1,不关于原点对称,所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数.(2) 函数的定义域为R,关于原点对称,f(-x)=(-x)3-(-2x)=2x-x3=-f(x),所以f(x)是奇函数.(3) 函数的定义域为R,关于原点对称,当a=0时,f(x)既是奇函数又是偶函数;当a0时,f(-x)=a=f(x),即f(x)是偶函数.精要点评判断下列函数的奇偶性首先要考虑函数的定义域,
2、同时要注意运用其等价形式,如奇函数的判断可以通过f(-x)+f(x)=0等.求证:函数f(x)=x+a(其中a为常数)为偶函数.证明易知函数的定义域为(-,0)(0,+),它关于原点对称.因为f(-x)=-x+a=x+a=x+a=x+a=f(x),所以f(x)=x+a(其中a为常数)为偶函数.精要点评函数奇偶性的证明与函数奇偶性的判断的区别在于我们已经知道函数具有奇偶性,从而有了解决问题的方向,只是在对式子的变形上可能要下一定的功夫,特别是对于抽象函数,我们要牢牢抓住奇偶性的定义找到解决问题的突破口.函数奇偶性的应用(2014湖南卷)已知f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且f
3、(x)-g(x)=x3+x2+1,那么f(1)+g(1)=.答案1解析方法一:分别令x=1和x=-1可得f(1)-g(1)=3和f(-1)-g(-1)=1.因为函数f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,所以f(-1)=f(1),g(-1)=-g(1),即f(-1)-g(-1)=1f(1)+g(1)=1,则f(1)+g(1)=1.方法二:由题意知f(x)=f(-x),g(-x)=-g(x),所以f(-x)-g(-x)=f(x)+g(x)=-x3+x2+1,结合f(x)-g(x)=x3+x2+1得f(x)=x2+1,g(x)=-x3,所以f(1)+g(1)=2-1=1.【题组强化重点
4、突破】1. (2014北京东城区模拟)若函数f(x)为奇函数,当x0时,f(x)=x2+x,则f(-2)的值为.答案-6解析因为函数f(x)为奇函数,所以f(-2)=-f(2)=-(22+2)=-6.2. 已知f(x)为奇函数,g(x)=f(x)+9,g(-2)=3,那么f(-2)=.答案6解析由题意得g(-2)=f(-2)+9=3,则f(-2)=-6,所以f(2)=-f(-2)=6.3. 已知f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,且f(-1)+g(1)=2,f(1)+g(-1)=4,那么g(1)=.答案34. (2014眉山模拟)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=-f(x),那么
5、f(-6)=.答案0解析因为f(x)是奇函数,所以f(0)=0,f(-6)=-f(-4)=f(-2)=-f(0)=0.5. (2014全国卷)已知偶函数f(x)在0,+)上单调递减,f(2)=0.若f(x-1)0,则x的取值范围是.答案(-1,3)解析根据偶函数的性质,易知f(x)0的解集为(-2,2),由f(x-1)0,得-2x-12,即-1x3.已知函数f(x)是定义在-1,1上的奇函数,当x0,1时,f(x)=2x+ln(x+1)-1.(1) 求函数f(x)的解析式,并判断f(x)在-1,1上的单调性(不要求证明);(2) 解不等式:f(2x-1)+f(1-x2)0.规范答题(1) 设-
6、1x0,则0-x1,所以f(-x)=2-x+ln(1-x)-1=+ln(1-x)-1. (3分)又f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x).于是f(x)=-f(-x)=-ln(1-x)+1. (5分)故f(x)= (6分)f(x)在-1,1上是单调增函数.(8分)(2) 因为奇函数f(x)在-1,1上是单调增函数,所以f(2x-1)+f(1-x2)0,即f(2x-1)f(x2-1).(10分)所以则解得0x1. (12分)所以不等式的解集为x|0x1.(14分)1. 若函数f(x)=(x+a)(x-4)为偶函数,则实数a=.答案42. 若f(x)=+a是奇函数,则a=.答案解析因为f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),即+a=-a,化简得2a=1,解得a=.3. 下列函数中,既是偶函数又在(0,+)上单调递减的是.(填序号)y=; y=e-x; y=-x2+1; y=lg|x|.答案4. (2014苏锡常镇连徐调研)设函数f(x)=asinx+x2,若f(1)=0,则f(-1)的值为.答案2解析由题意得f(x)+f(-x)=2x2,所以f(1)+f(-1)=2,又f(1)=0,所以f(-1)=2.温馨提醒趁热打铁,事半功倍.请老师布置同学们完成配套检测与评估中的练习(第13-14页).
