1、2.4.1抛物线及其标准方程自主预习探新知情景引入如图，我们在黑板上画一条直线EF，然后取一个三角板，将一条拉链AB固定在三角板的一条直角边上，并将拉链下边一半的一端固定在C点，将三角板的另一条直角边贴在直线EF上，在拉锁D处放置一支粉笔，上下拖动三角板，粉笔会画出一条曲线这是一条什么曲线，由画图过程你能给出此曲线的定义吗？新知导学1抛物线定义平面内与一个定点F和一条定直线l(定点不在定直线上)_距离相等_的点的轨迹叫做抛物线，_定点F_叫做抛物线的焦点，_定直线l_叫做抛物线的准线2抛物线的标准方程的几种形式同一条抛物线在坐标平面内的位置不同，方程也不同，顶点在原点，以坐标轴为对称轴的抛物线
2、有四种形式请依据这四种抛物线的图形写出标准方程、焦点坐标及准线方程图形焦点准线方程_F(，0)_x_y22px(p0)_F(，0)_x_y22px(p0)_F(0，)_y_x22py(p0)_F(0，)_y_x22py(p0)_3焦半径过抛物线焦点的直线与抛物线相交，被抛物线所截得的线段，称为抛物线的_焦点弦_.4通径通过抛物线的焦点作垂直于坐标轴的直线交抛物线于A、B两点，线段AB称为抛物线的通径，通径|AB|的长等于_2p_.预习自测1抛物线y4x2的准线方程为(D)Ax1By1CxDy解析抛物线y4x2的方程可化为x2y，可得p，准线方程为y.故选D2(2020福州市八县(市)协作校期末
3、)y2x2的焦点坐标是(D)A(1,0)B(，0)C(0，)D(0，)解析由题意知，p，焦点坐标是(0，)故选D3已知抛物线y2mx的焦点坐标为(2,0)，则m的值为(D)AB2C4D8解析抛物线y2mx的焦点坐标为(2,0)，m0，且2pm.又2，p4，m8.4(20192020学年内蒙古赤峰市宁城县期末测试)顶点在原点，焦点是(0,2)的抛物线的方程是(B)Ay28xBx28yCx8y2Dy8x2解析由题意，抛物线的顶点在原点，焦点为F(0,2)，则设抛物线方程为x22py，p0，所以，2，即p4，故抛物线方程为：x28y.故选B5若点P在抛物线y24x上，点A(5,3)，F为抛物线的焦点
4、，则|PA|PF|的最小值为_6_.解析如图，抛物线y24x的准线l的方程为x1，焦点F(1,0)，过点A作AAl，A为垂足，AA与抛物线的交点P，|PF|PA|，|PF|PA|的最小值为|AA|6.互动探究攻重难互动探究解疑命题方向抛物线的焦点及准线典例1设抛物线的方程为yax2(a0)，求抛物线的焦点坐标与准线方程规范解答抛物线方程yax2(a0)化为标准形式：x2y，当a0时，则2p，解得p，焦点坐标是(0，)，准线方程是y.当a0)或x22py(p0)，过点(1,2)，42p(1)或(1)22p2.p2或p.故所求的抛物线方程为y24x或x2y，对应的准线方程分别为x1，y.(2)令x
5、0得y2，令y0得x4，抛物线的焦点为(4,0)或(0，2)当焦点为(4,0)时，4，p8，此时抛物线方程y216x；当焦点为(0，2)时，|2|，p4，此时抛物线方程为x28y.故所求的抛物线方程为y216x或x28y，对应的准线方程分别是x4，y2.规律总结1.求抛物线标准方程的方法：直接法：直接利用题中已知条件确定焦参数p.待定系数法：先设出抛物线的方程，再根据题中条件，确定焦参数p.当焦点位置不确定时，应分类讨论或设抛物线方程为y2mx或x2my.2已知焦点坐标或准线方程可确定抛物线标准方程的形式；已知抛物线过某点不能确定抛物线标准方程的形式，需根据四种抛物线的图形及开口方向确定跟踪练
6、习2_根据下列条件写出抛物线的标准方程：(1)准线方程为y1；(2)焦点在x轴的正半轴上，焦点到准线的距离是2.解析(1)抛物线的准线方程为y1，焦点在y轴正半轴上，且1，p2，抛物线的方程为x24y.(2)焦点到准线距离为2，p2.又焦点在x轴正半轴上，抛物线方程为y24x.命题方向抛物线定义的应用典例3已知抛物线的顶点在原点，焦点在x轴的正半轴上，抛物线上的点M(3，m)到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m的值思路分析解本题的基本思路有两个，其一设抛物线方程，利用点M在抛物线上和点M到焦点的距离等于5，列出关于m、p的方程组求解；其二利用抛物线的定义，得点M到准线的距离为5，直接得p的关
7、系式，求出p值规范解答解法一：设抛物线方程为y22px(p0)，则焦点F(，0)，由题设可得，解之得，或 .故所求的抛物线方程为y28x，m的值为2.解法二：设抛物线方程为y22px(p0)，焦点F(，0)，准线方程x，根据抛物线定义，点M到焦点的距离等于M到准线的距离，则35，p4.因此抛物线方程为y28x.又点M(3，m)在抛物线上，于是m224，m2.规律总结利用抛物线的定义可以将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，这一相互转化关系会给解题带来方便要注意灵活运用定义解题跟踪练习3_(1)已知抛物线y24x上一点M与该抛物线的焦点F的距离|MF|4，则点M的横坐标x_3_；(2)(
8、湖南浏阳一中醴陵一中2018年高二联考)已知抛物线y24x上一点P到焦点F的距离为5，则PFO的面积为_2_.解析(1)抛物线y24x的焦点为F(1,0)，准线为x1.根据抛物线的定义，点M到准线的距离为4，则点M的横坐标为3.(2)由题意得xp514yp4，因此PFO的面积为412.学科核心素养 抛物线的实际应用(1)在实际应用问题中，有很多问题与抛物线有关抛物线在建筑工程中很有用途，如拱桥就是抛物线形探照灯或手电筒的反射镜的轴截面也是抛物线的一部分此外，还有宇宙中的星体轨道等(2)要解决这些实际问题中有关的计算，我们可以利用坐标法，建立抛物线方程，利用抛物线的标准方程进行推理、运算典例4如
9、图(1)所示，花坛水池中央有一喷泉，水管OP1 m，水从喷头P喷出后呈抛物线状，先向上至最高点后落下，若最高点距水面2 m，P距抛物线的对称轴1 m，则水池的直径至少应设计多少米？(精确到1 m)图(1)思路分析图(2)是图(1)中位于直线OP右边的部分，故OB为水池的半径，以抛物线的顶点为原点，对称轴为y轴建立平面直角坐标系，则易得P点坐标，再由P在抛物线上求出抛物线方程，再由B点纵坐标求出B点的横坐标即可获解规范解答如图(2)所示，建立平面直角坐标系设抛物线方程为x22py(p0)依题意有P(1，1)在此抛物线上，代入得p.故抛物线方程为x2y.图(2)又B在抛物线上，将B(x，2)代入抛
10、物线方程得x，即|AB|，则|OB|OA|AB|1，因此所求水池的直径为2(1)m，约为5 m，即水池的直径至少应设计为5 m.规律总结抛物线的实际应用问题，关键是建立坐标系，将题目中的已知条件转化为抛物线上点的坐标，从而求得抛物线方程，再把待求问题转化为抛物线的几何量讨论跟踪练习4_河上有一抛物线形拱桥，当水面距拱桥顶5 m时，水面宽为8 m，一小船宽4 m，高2 m，载货后船露出水面上的部分高0.75 m，则水面上涨到与抛物线形拱桥顶相距多少米时，小船开始不能通航？思路分析建立平面直角坐标系得出抛物线方程，借助抛物线方程分析求解解析如图所示，以拱桥的拱顶为原点，以过拱顶且平行于水面的直线为
11、x轴，建立平面直角坐标系设抛物线方程为x22py(p0)，由题意可知点B(4，5)在抛物线上，故p，得x2y.当船面两侧和抛物线接触时，船不能通航，设此时船面宽为AA，则A(2，yA)，由22yA，得yA.又知船面露出水面上的部分高为0.75 m，所以h|yA|0.752(m)所以水面上涨到与抛物线形拱桥顶相距2 m时，小船开始不能通航易混易错警示 典例5设抛物线y2mx的准线与直线x1的距离为3，求抛物线的方程错解准线方程为x，因为准线与直线x1的距离为3，所以准线方程为x2，所以2，所以m8，故抛物线方程为y28x.辨析题目条件中未给出m的符号，当m0或m0时，准线方程为x，由条件知13，所以m8.此时抛物线方程为y28x；当m0时，准线方程为x，由条件知13，所以m16，此时抛物线方程为y216x.所以所求抛物线方程为y28x或y216x.
