1、考点一条件概率与相互独立事件的概率1(2015新课标全国,4)投篮测试中,每人投3次,至少投中2次才能通过测试已知某同学每次投篮投中的概率为0.6,且各次投篮是否投中相互独立,则该同学通过测试的概率为()A0.648 B0.432 C0.36 D0.312解析该同学通过测试的概率为p0.60.6C0.40.620.648.答案A2(2014新课标全国,5)某地区空气质量监测资料表明,一天的空气质量为优良的概率是0.75,连续两天为优良的概率是0.6,已知某天的空气质量为优良,则随后一天的空气质量为优良的概率是()A0.8 B0.75 C0.6 D0.45解析由条件概率可得所求概率为0.8,故选
2、A.答案A3.(2011湖南,15)如图,EFGH是以O为圆心,半径为1的圆的内接正方形将一颗豆子随机地扔到该圆内,用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”,B表示事件“豆子落在扇形OHE(阴影部分)内”,则(1)P(A)_.(2)P(B|A)_.解析圆的半径为1,正方形的边长为,圆的面积为,正方形面积为2,扇形面积为.故P(A),P(B|A).答案(1)(2)4(2014陕西,19)在一块耕地上种植一种作物,每季种植成本为1 000元,此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性,且互不影响,其具体情况如下表:作物产量(kg)300500概率0.50.5作物市场价格(元/kg)610概率0.
3、40.6(1)设X表示在这块地上种植1季此作物的利润,求X的分布列;(2)若在这块地上连续3季种植此作物,求这3季中至少有2季的利润不少于2 000元的概率解(1)设A表示事件“作物产量为300 kg”,B表示事件“作物市场价格为6元/kg”,由题设知P(A)0.5,P(B)0.4,因为利润产量市场价格成本,所以X所有可能的取值为500101 0004 000,50061 0002 000,300101 0002 000,30061 000800.P(X4 000)P()P()(10.5)(10.4)0.3,P(X2 000)P()P(B)P(A)P(B)(10.5)0.40.5(10.4)0
4、.5,P(X800)P(A)P(B)0.50.40.2,所以X的分布列为X4 0002 000800P0.30.50.2(2)设Ci表示事件“第i季利润不少于2 000元”(i1,2,3),由题意知C1,C2,C3相互独立,由(1)知,P(Ci)P(X4 000)P(X2 000)0.30.50.8(i1,2,3),3季的利润均不少于2 000元的概率为P(C1C2C3)P(C1)P(C2)P(C3)0.830.512;3季中有2季的利润不少于2 000元的概率为P(1C2C3)P(C12C3)P(C1C23)30.820.20.384,所以,这3季中至少有2季的利润不少于2 000元的概率为
5、0.5120.3840.896.5(2013辽宁,19)现有10道题,其中6道甲类题,4道乙类题,张同学从中任取3道题解答(1)求张同学至少取到1道乙类题的概率;(2)已知所取的3道题中有2道甲类题,1道乙类题设张同学答对每道甲类题的概率都是,答对每道乙类题的概率都是,且各题答对与否相互独立用X表示张同学答对题的个数,求X的分布列和数学期望解(1)设事件“张同学所取的3道题至少有1道乙类题”,则有A“张同学所取的3道题都是甲类题”因为P(),所以P(A)1P().(2)X所有的可能取值为0,1,2,3.P(X0)C;P(X1)CC;P(X2)CC;P(X3)C.所以X的分布列为:X0123P所
6、以E(X)01232.6(2012山东,19)现有甲、乙两个靶,某射手向甲靶射击一次,命中的概率为,命中得1分,没有命中得0分;向乙靶射击两次,每次命中的概率为,每命中一次得2分,没有命中得0分该射手每次射击的结果相互独立假设该射手完成以上三次射击(1)求该射手恰好命中一次的概率;(2)求该射手的总得分X的分布列及数学期望E(X)解(1)记:“该射手恰好命中一次”为事件A,“该射手射击甲靶命中”为事件B,“该射手第一次射击乙靶命中”为事件C,“该射手第二次射击乙靶命中”为事件D,由题意知P(B),P(C)P(D),由于ABCD,根据事件的独立性和互斥性得P(A)P(B C D)P(B )P(C
7、)P(D)P(B)P()P()P()P(C)P()P()P()P(D).(2)根据题意,X的所有可能取值为0,1,2,3,4,5.根据事件的独立性和互斥性得P(X0)P()1P(B)1P(C)1P(D)(1),P(X1)P(B C D)P(B)P()P(),P(X2)P(B C DB C D)P(C)P(D),P(X3)P(BCB D)P(BC)P(BD),P(X4)P(BCD),P(X5)P(BCD).故X的分布列为X012345P所以E(X)012345.7(2011大纲全国,18)根据以往统计资料,某地车主购买甲种保险的概率为0.5,购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3.设各车主购
8、买保险相互独立(1)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率;(2)X表示该地的100位车主中,甲、乙两种保险都不购买的车主数求X的期望解设A表示事件:该地的1位车主购买甲种保险;B表示事件:该地的1位车主购买乙种保险但不购买甲种保险;C表示事件:该地的1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种;D表示事件:该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买(1)P(A)0.5,P(B)0.3,CAB,P(C)P(AB)P(A)P(B)0.8.(2)DC,P(D)1P(C)10.80.2,XB(100,0.2),即X服从二项分布,所以期望E(X)1000.220.考点二正态分布1(2015湖南,7)在
9、如图所示的正方形中随机投掷10 000个点,则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(0,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为()附:若XN(,2),则P(X)0.682 6,P(2X2)0.954 4.A2 386 B2 718 C3 413 D4 772解析由XN(0,1)知,P(1X1)0.682 6,P(0X1)0.682 60.341 3,故S0.341 3.落在阴影部分中点的个数x估计值为(古典概型),x10 0000.341 33 413,故选C.答案C2(2015山东,8)已知某批零件的长度误差(单位:毫米)服从正态分布N(0,32),从中随机取一件,其长度误差落在区间(3,6)内的
10、概率为()(附:若随机变量服从正态分布N(,2),则P()68.26%,P(22)95.44%.)A4.56% B13.59% C27.18% D31.74%解析由题意,知P(36)13.59%.答案B3(2014新课标全国,18)从某企业生产的某种产品中抽取500件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得如下频率分布直方图:(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数x和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);(2)由直方图可以认为,这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(,2),其中近似为样本平均数x,2近似为样本方差s2.()利用该正态分布,求P(187.8Z212.2
11、);()某用户从该企业购买了100件这种产品,记X表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数利用()的结果,求E(X)附:12.2.若ZN(,2),则P(Z)0.682 6,P(2Z2)0.954 4.解(1)抽取产品的质量指标值的样本平均数x和样本方差s2分别为1700.021800.091900.222000.332100.242200.082300.02200,s2(30)20.02(20)20.09(10)20.2200.331020.242020.083020.02150.(2)()由(1)知,ZN(200,150),从而P(187.8Z212.2)P
12、(20012.2Z20012.2)0.682 6.()由()知,一件产品的质量指标值位于区间(187.8,212.2)的概率为0.682 6,依题意知XB(100,0.682 6),所以E(X)1000.682 668.26.4(2013湖北,20)假设每天从甲地去乙地的旅客人数X是服从正态分布N(800,502) 的随机变量,记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为p0.(1)求p0的值;(参考数据:若XN(,2),有P(X)0.682 6,P(2X2)0.954 4,P(3X3)0.997 4.)(2)某客运公司用A,B两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务,每车每天往返一
13、次, A,B两种车辆的载客量分别为36人和60人,从甲地去乙地的营运成本分别为1 600元/辆和2 400元/辆,公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队,并要求B型车不多于A型车7辆,若每天要以不小于p0的概率运完从甲地去乙地的旅客,且使公司从甲地去乙地的营运成本最小,那么应配备A型车、B型车各多少辆?解(1)由于随机变量X服从正态分布N(800,502),故有800,50,P(700X900)0.954 4.由正态分布的对称性,可得p0P(X900)P(X800)P(800X900)P(700X900)0.977 2.(2)设A型、B型车辆的数量分别为x,y辆,则相应的营运成本为1 600x2 400y.依题意,x,y还需满足:xy21,yx7,P(X36x60y)p0.由(1)知,p0P(X900),故P(X36x60y)p0等价于36x60y900.于是问题等价于求满足约束条件且使目标函数z1 600x2 400y达到最小的x,y.作可行域如图阴影部分所示,可行域的三个顶点坐标分别为P(5,12),Q(7,14),R(15,6)由图可知,当直线z1 600x2 400y经过可行域的点P时,直线z1 600x2 400y在y轴上截距最小,即z取得最小值故应配备A型车5辆,B型车12辆