1、一、必记 2 个知识点1函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数设函数 f(x)的定义域为 I，如果对于定义域 I 内某个区间 D上的任意两个自变量的值 x1，x2定义当 x1x2 时，都有_，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数；当 x1x2 时，都有_，那么就说函数f(x)在区间 D 上是减函数.f(x1)f(x2)图象描述自左向右看图象是_自左向右看图象是_ 上升的下降的注：定义的两种形式设 x1，x2D 且 x10(x1x2)f(x1)f(x2)0，则 f(x)为增函数；若fx1fx2x1x20(x1x2)f(x1)f(x2)0f(x)0，则函数 f(x)在区间 D 上是增函数(
2、)(5)已知函数 yf(x)在 R 上是增函数，则函数 yf(x)在 R 上是减函数()2下列函数中，在区间(0，)上为增函数的是()Ayln(x2)By xCy12xDyx1x解析：选项 A 的函数 yln(x2)的增区间为(2，)，所以在(0，)上一定是增函数答案：A3函数 y(2m1)xb 在 R 上是减函数，则()Am12Bm12 Dm12解析：使 y(2m1)xb 在 R 上是减函数，则 2m10，即m12.答案：B4函数 f(x)|x2|x 的单调减区间是()A1,2 B1,0C0,2 D2，)解析：由于 f(x)|x2|xx22x，x2，x22x，x2.结合图象(图略)可知函数的
3、单调减区间是1,2答案：A5设定义在1,7上的函数 yf(x)的图象如图所示，则函数 yf(x)的增区间为_解析：由图可知函数的单调递增区间为1,1和5,7答案：1,1，5,7考点一 确定函数的单调性(区间)判断函数 yx2x1在(1，)上的单调性 解析：解法一 任取 x1，x2(1，)，且 x11，x21，x110，x210，又 x10，x2x1x11x210，即 y1y20.y1y2，函数 yx2x1在(1，)上单调递减解法二 yx2x11 1x1.yx1 在(1，)上是增函数，y 1x1在(1，)上是减函数，y1 1x1在(1，)上是减函数即函数 yx2x1在(1，)上单调递减考点二 求
4、函数的单调区间互动讲练型例 1 求下列函数的单调区间：(1)yx22|x|1；(2)ylog 12 (x23x2)解析：(1)由于 yx22x1，x0，x22x1，x0，即 yx122，x0，x122，x0，则 x2.函数 ylog 12 (x23x2)的定义域为(，1)(2，)又 ux23x2 的对称轴 x32，且开口向上ux23x2 在(，1)上是单调减函数，在(2，)上是单调增函数而 ylog 12 u 在(0，)上是单调减函数，ylog 12 (x23x2)的单调递减区间为(2，)，单调递增区间为(，1)悟技法求函数的单调区间(确定函数单调性)的方法(1)利用已知函数的单调性，即转化为
5、已知函数的和、差或复合函数，求单调区间(2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义(3)图象法：如果 f(x)是以图象形式给出的，或者 f(x)的图象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间(4)导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调区间(5)求复合函数的单调区间的一般步骤是：求函数的定义域；求简单函数的单调区间；求复合函数的单调区间，依据是“同增异减”(6)求函数单调区间，定义域优先提醒 单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“”联结，也不能用“或”联结.变式练(着眼于举一反三)1求出下列函数的单调递增区间(1)f(x)|x24x3|；(2)
6、f(x)132231xx.解析：(1)先画出 g(x)x24x3 的图象然后再画 f(x)|g(x)|的图象，如图由图可知 f(x)的增区间为1,2，3，)(2)令 u2x23x12x34218.因为 u2x34218在，34 上单调递减，函数 y13u 在 R上单调递减所以 y132231xx 的单调递增区间为，34.考点三 求函数的最值(值域)互动讲练型例 2(1)函数 yx x1的最小值为_；(2)函数 y2x22x3x2x1 的值域为_解析：(1)令 x1t，t0，则 xt21，所以 yt2t1t12234，当 t0 时，由二次函数的性质可知，当 t0 时，ymin1.(2)y2x22
7、x3x2x1 21x2x1.因为 x2x1x12234，所以 221x2x1103.故值域为2，103.答案：(1)1(2)2，103悟技法求函数最值的五种常用方法注意 求函数值域的关键是重视对应关系的作用，还要特别注意定义域对值域的制约.变式练(着眼于举一反三)2函数 f(x)|x1|x2 的值域为_解析：因为 f(x)|x1|x2x2x1，x1，x2x1，x1，所以 f(x)x12254，x1，x12234，xb，则()Aln(ab)0 B3a0 D|a|b|解析：(2)由函数 yln x 的图象(图略)知，当 0ab1 时，ln(ab)b时，3a3b，故 B 不正确；因为函数 yx3 在
8、 R 上单调递增，所以当ab 时，a3b3，即 a3b30，故 C 正确；当 ba0 时，|a|b|，故D 不正确故选 C.答案：(2)C悟技法函数单调性应用问题的常见类型及解题策略(1)比较大小比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决(2)解不等式在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解此时应特别注意函数的定义域(3)利用单调性求参数视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数提醒 若函数在区间a，b上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；分段函
9、数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值.同类练(着眼于触类旁通)4已知函数 f(x)为 R 上的减函数，则满足 f1x f(1)的实数 x的取值范围是()A(1,1)B(0,1)C(1,0)(0,1)D(，1)(1，)解析：由 f(x)为 R 上的减函数且 f1x 1，x0，即|x|1，x0.1x0 或 0 x1.故选 C.答案：C变式练(着眼于举一反三)5已知函数 f(x)log2x 11x，若 x1(1,2)，x2(2，)，则()Af(x1)0，f(x2)0Bf(x1)0Cf(x1)0，f(x2)0，f(x2)0解析：因为函数 f(x)log2x 11x在(1，)上为增函数
10、，且f(2)0，所以当 x1(1,2)时，f(x1)f(2)0，即 f(x1)0.故选 B 项答案：B拓展练(着眼于迁移应用)6已知函数 f(x)x2ax(a0)在(2，)上递增，则实数 a 的取值范围为_解析：任取 2x1x2，由已知条件，得 f(x1)f(x2)x21ax1 x22ax2(x1x2)ax2x1x1x2(x1x2)x1x2ax1x2 0 恒成立，即当 2x1a 恒成立，又 x1x24，则 01，若 f(x)在(，)上单调递增，则实数 a 的取值范围为_解析：要使函数 f(x)在 R 上单调递增，则有a1，a20，f10，即a1，a2，a210，解得 20 时，f(x)1.(1
11、)求 f(0)的值，并证明 f(x)在 R 上是单调增函数；(2)若 f(1)1，解关于 x 的不等式 f(x22x)f(1x)4.解题视点：(1)对于抽象函数的单调性的证明，只能用定义应该构造出 f(x2)f(x1)并与 0 比较大小(2)将函数不等式中的抽象函数符号“f”运用单调性“去掉”是本小题的切入点要构造出f(M)x2，则 x1x20，f(x1x2)1.又 f(x1)f(x1x2)x2)f(x1x2)f(x2)1f(x2)，所以，函数f(x)在 R 上是单调增函数(2)由 f(1)1，得 f(2)3，f(3)5.由 f(x22x)f(1x)4 得 f(x2x1)f(3)，又函数 f(
12、x)在 R 上是增函数，故 x2x13，解之，得 x1，故原不等式的解集为x|x1答题模板：解函数不等式问题的一般步骤第一步：确定函数 f(x)在给定区间上的单调性；第二步：将函数不等式转化为 f(M)f(N)的形式；第三步：运用函数的单调性“去掉”函数的抽象符号“f”，转化成一般的不等式或不等式组；第四步：解不等式或不等式组确定解集；第五步：反思回顾查看关键点，易错点及解题规范答题启示：对于抽象函数的单调性的判断仍然要紧扣单调性的定义，结合题目所给性质和相应的条件，对任意 x1，x2 在所给区间内比较 f(x1)f(x2)与 0 的大小，或 f(x1)，f(x2)同号时比较fx1fx2与 1 的大小有时根据需要，需作适当的变形：如 x1x2x1x2或 x1x2x1x2 等
