1、4.2简单幂函数的图象和性质学 习 目 标核 心 素 养1.了解幂函数的概念(重点)2掌握yx，yx2，yx3，y，yx的图象与性质(重点) 3掌握幂函数在第一象限的分类特征，能运用数形结合的方法处理幂函数有关问题(重点、难点)1.借助幂函数的图象的学习，培养直观想象素养2通过幂函数的性质的学习，培养逻辑推理素养1幂函数的概念形如yx(为常数)的函数，即底数是自变量、指数是常数的函数称为幂函数思考：y1是幂函数吗？提示：是因为它可写成yx0的形式2幂函数的图象如图在同一坐标系内作出函数(1)yx；(2)yx；(3)yx2；(4)yx1；(5)yx3的图象3幂函数的性质(1)所有的幂函数在(0，
2、)上都有定义，并且图象都过点(1，1)；(2)0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间0，)上是增函数特别地，当1时，幂函数的图象下凸；当01时，幂函数的图象上凸；(3)0时，幂函数的图象在区间(0，)上是减函数1已知幂函数fkx的图象过点，则k等于()AB1CD2C由幂函数的定义知k1.又f，所以，解得，从而k.2函数yx的图象是()ABCDB当0xx；当x1时，xg；(2)fg；(3)f1或xg；(2)当x1或x1时，fg；(3)当1x1且x0时，fg.随着的变化，其图象也随着变化，讨论其图象的特点时，可分01和0三种情况讨论2当0xgf如图所示为函数f，g，h在(0，1)上的图象，由此可知
3、，hgf.幂函数性质的应用角度一比较幂的大小【例3】比较下列各组数中两个数的大小：(1)与；(2)与解(1)0.30，yx0.3在(0，)上为增函数又，.(2)10，yx1在(，0)上是减函数，又.此类题在构建函数模型时要注意幂函数的特点：指数不变比较大小的问题主要是利用函数的单调性，特别是要善于应用“搭桥”法进行分组，常数0和1是常用的中间量3比较下列各数的大小：(1)()和()；(2)4.1，3.8和.解(1)函数yx在(，0)上为减函数，又.(2)4.111；03.811；0，3.84.1.角度二由幂函数的大小求字母的取值范围【例4】已知幂函数fx(mN*)的图象关于y轴对称，且在(0，
4、)上是减函数，求满足的a的取值范围思路点拨由幂函数的性质可得到幂指数m22m30，再结合m是整数，及幂函数是偶函数可得m的值解函数在(0，)上递减，m22m30，解得1m3.mN*，m1，2.又函数的图象关于y轴对称，m22m3是偶数，又222233为奇数，122134为偶数，m1.f的实数a的取值范围解(1)mN，m2mm(m1)为偶数令m2m2k，kN，则f(x)，定义域为0，)，在0，)上f为增函数(2) 2 2，m2m2，解得m1或m2(舍去)，f(x)x，由(1)知f在定义域0，)上为增函数，ff等价于2aa10，解得1a0时，图象过(0，0)，(1，1)在第一象限的图象上升；1时，
5、曲线下凸；01时，曲线上凸；x3.()(3)yx与yx定义域相同()(4)若yx在(0，)上为增函数，则0.()答案(1)(2)(3)(4)2如图中曲线是幂函数yxn在第一象限的图象已知n取2，四个值，则相应于曲线C1，C2，C3，C4的n值依次为()A2，2B2，2C，2，2， D2，2，B由幂函数的性质，知选B.3已知函数f(x)若关于x的方程f(x)k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是_. (0，1)作出函数图象如图所示，则当0k3，又3，所以2.(2)由于指数函数y0.2x在上是减函数，所以0.20.50.20.3由于幂函数yx0.3在上是增函数，所以0.20.30.40.3，所以0.20.50.40.3.
