1、一元函数导数及其应用五、解答题26(2021全国高三专题练习)已知函数(1)讨论函数在区间上的最小值;(2)当时,求证:对任意,恒有成立【答案】(1)答案见解析;(2)证明见解析.【解析】(1)先求出函数的定义域,再求导,当时,导数恒小于零,则可得函数在上为减函数,从而可求出函数的最小值,当时,由导数可得函数在上单调递减,在上单调递增,然后分,和三种情况讨论可求得函数的最小值;(2)要证,即证,即证,当时,上式恒成立,当时,令,再利用导数可得,从而可得成立【详解】(1)解:函数的定义域是, 当时,则,则函数在上单调递减,即函数在区间上单调递减,故函数在区间上的最小值为 当时,令,得;令,得;故
2、函数在上单调递减,在上单调递增(i)当,即时,函数在区间上单调递增,故函数在区间上的最小值为; (ii)当,即时,函数在区间上单调递减,故函数在区间上的最小值为; (iii)当,即时,函数在上单调递减,在上单调递增,此时函数在区间上的最小值为 综上,当时,函数在区间上的最小值为;当时,函数在区间上的最小值为;当时,函数在区间上的最小值为 (2)证明:当时,要证,即证,因为,所以两边同时乘x,得,即证 当时,而,所以成立,即成立当时,令,则 设,则因为因为,所以,所以当时,单调递增, 所以,即,所以在上单调递增,所以,即成立 综上,对任意,恒有成立27(2021山东高三专题练习)已知函数,(1)
3、讨论函数的单调性;(2)若,且关于的不等式在上恒成立,其中是自然对数的底数,求实数的取值范围【答案】(1)答案见解析;(2)【解析】(1)对函数求导,分和两种情况分别得出函数的单调性;(2)在上恒成立,可得,即在上恒成立,令,求导研究函数的单调性与极值,利用导函数为零得出,代入不等式,并构造出,利用导数得出的范围,进而求出实数的取值范围【详解】(1)根据题意可知的定义域为,令,得当时,时,时;当时,时,时综上所述,当时,在上单调递减,在上单调递增;当时,在上单调递增,在上单调递减(2)依题意,即在上恒成立,令,则对于,故其必有两个零点,且两个零点的积为,则两个零点一正一负,设其正零点为,则,即
4、,且在上单调递减,在上单调递增,故,即令,则,当时,当时,则在上单调递增,在上单调递减,又,故,显然函数在上是关于的单调递增函数,则,所以实数的取值范围为28(2021河北唐山市高三二模)已知函数(1)若,求的取值范围;(2)若有两个零点,且,证明:【答案】(1);(2)证明见解析【解析】(1)利用导数求出函数的最大值,解不等式即得解;(2)由题得,所以;令,利用导数求出函数的单调性即得证.【详解】解:(1)的定义域为,时,;时,所以在上单调递增,在单调递减即时,取得最大值,依题意,故(2)由(1)知,由题得,所以所以所以;令,则,由(1)知,等号当且仅当时成立,所以,等号当且仅当时成立,于是
5、可得,即单调递增,因此,当时,;当时,所以,故29(2021全国高三专题练习)已知函数(1)若曲线在点处的切线经过坐标原点,求实数;(2)当时,判断函数在上的零点个数,并说明理由【答案】(1);(2)答案不唯一,具体见解析【解析】(1)求出函数的导数,根据导数几何意义求斜率,由切线方程求a;(2)原问题转化为的零点问题,求导,利用导数可得单调性,结合零点存在性即可求解.【详解】(1),所以在点处的切线方程为,所以,即;(2)因为,所以,所以可转化为,设,则当时,所以在区间上单调递增当时,设,此时,所以在时单调递增,又,所以存在使得且时单调递减,时单调递增综上,对于连续函数,在时,单调递减,在时
6、,单调递增又因为,所以当,即时,函数有唯一零点在区间上,当,即时,函数在区间上无零点,综上可知,当时,函数在上有个零点;当时,函数在上没有零点30(2021全国高三专题练习)已知数列.(1)证明:(,是自然对数的底数);(2)若不等式成立,求实数的最大值.【答案】(1)证明见解析;(2)最大值为.【解析】(1)将所要证明的不等式转化为证明在区间上小于零,利用导数研究在区间上的单调性和最值,由此证得结论成立.(2)将不等式成立,转化为在区间上恒成立,利用导数研究的单调性,结合对进行分类讨论,求得的取值范围,由此求得的最大值.【详解】(1)要证成立,两边取对数:只需证明成立,令,构造函数,即只需证
7、明函数在区间上小于零,由于,在区间上,函数单调递减,且,所以在区间上函数所以不等式成立;(2)对于不等式,两边取对数:只需不等式成立,令,构造函数,不等式成立,等价于在区间上恒成立其中,由分子,得其两个实数根为,;当时,在区间上,函数单调递増,由于,不等式不成立当时,在区间上,在区间上;函数在区间上单调递减,在区间上单调递增;且,只需,得,即时不等式成立当时,在区间上,函数单调递减,且,不等式恒成立综上,不等式成立,实数的最大值为.31(2021全国高三专题练习)已知函数.(1)判断的单调性,并求的最值;(2)用表示的最大值.记函数,讨论的零点个数.【答案】(1)当单调递减;当单调递增,最小值
8、;(2)答案见解析.【解析】(1)对求导,由导函数的正负与原函数的关系得到的单调性及最值;(2)结合(1)可得当时,则函数无零点;当时,只需研究零点情况,对a分类讨论分别得到函数的单调性及函数的零点个数【详解】(1).当单调递减;当单调递增.当时,取最小值函数定义域为,其中当时,则函数无零点当时,.下面讨论零点情况.(当时,取等号),当时,此时,在上无零点的零点为,即一个零点.当时,在上一个零点,的有两个零点.当时,.在单调递减,又,上成立,上成立在取极大值,此时.又时,在上有一个零点,又当,即:时,在上有一个零点,有两个零点当,即时,在上有两个零点,有两个零点当,即时,有两个零点,有三个零点
9、综上,时或时,有一个零点.当时或时,有两个零点当时,有三个零点32(2021山东高三专题练习)已知函数.(1)若有唯一零点,求的取值范围;(2)若恒成立,求的取值范围.【答案】(1)或;(2).【解析】(1)转化为有唯一实根,构造函数,利用导数研究函数的性质,得到函数的图象,根据图象可得结果;(2)转化为恒成立,构造函数 ,利用导数求出其最大值,利用最大值可得解.【详解】(1)由有唯一零点,可得方程,即有唯一实根,令,则由,得由 ,得在上单调递增,在 上单调递减.,又所以当时, ;又当时,由得图象可知, 或.(2)恒成立,且 ,恒成立,令,则 ,令,则 ,在单调递减,又,由零点存在性定理知,存
10、在唯一零点,使 即,两边取对数可得即 由函数为单调增函数,可得,所以当时, ,当时, ,所以在上单调递增,在 上单调递减,所以即的取值范围为.33(2021全国高三专题练习)已知函数f(x)=ex,g(x)=2ax+1.(1)若f(x)g(x)恒成立,求a的取值集合;(2)若a0,且方程f(x)-g(x)=0有两个不同的根x1,x2,证明:ln 2a.【答案】(1);(2)见解析【解析】(1)构造函数,求导,分类讨论得函数最值即可求解;(2)由题意得,等价证明,令,构造函数求导证明即可【详解】(1)令, 当 恒成立,在R上单调递增,当 不合题意,故舍去当 则,故当 ,单调递减;当 ;单调递增,故 令,故在 递增,在递减,故即即,故即 故a的取值集合为 (2)方程f(x)-g(x)=0有两个不同的根x1,x2不妨令x1x2, ,若证 0上单调增,无极值点,当时,令,则,当时,即递减,即;当,即递增,(下证引理:):令,则,当,递增;当,递减.而,所以,证毕.,又,在上有唯一零点,当,有,即递减;当,有,递增;有唯一极小值点综上所述,的取值范围是.