1、第2课时等差数列的性质最新课程标准 1.掌握等差数列中两项及多项之间的关系(重点、易错点)2能灵活运用等差数列的性质解决问题(难点)教材要点知识点一等差数列的图像等差数列的通项公式ana1(n1)d，当d0时，an是一固定常数；当d0时，an相应的函数是一次函数；点(n，an)分布在以_为斜率的直线上，是这条直线上的一列孤立的点知识点二等差中项如果x，A，y是等差数列，那么称A为x与y的_，且A.任意两数都有等差中项吗？提示是知识点三等差数列的性质(1)an是等差数列，若正整数s，t，p，q满足stpq，则asat_.特别地，当pq2s(p，q，sN)时，2asapaq.对有穷等差数列，与首末
2、两项“等距离”的两项之和等于首末两项的_，即a1ana2an1akank1.(2)从等差数列中，每隔一定的距离抽取一项，组成的数列仍为_数列(3)若an是公差为d的等差数列，则can(c为任一常数)是公差为_的等差数列；can(c为任一常数)是公差为_的等差数列；anank(k为常数，kN)是公差为_的等差数列(4)若an，bn分别是公差为d1，d2的等差数列，则数列panqbn(p，q是常数)是公差为_的等差数列(5)an的公差为d，则d0an为_数列；dk0)是否成立？提示在2的结论中令st，pn1，qn1，可知2anan1an1成立；st，pnk，qnk，可知2anankank也成立例3
3、(1)等差数列an，若a1a17为一确定常数，则下列各式也为确定常数的是()Aa2a15 Ba2a15Ca2a9a16 Da2a9a16(2)设数列an，bn都是等差数列若a1b17，a3b321，则a5b5_.方法归纳1等差数列的性质是等差数列的定义、通项公式等基础知识的推广与变形，熟练掌握和灵活应用这些性质可以有效、方便、快捷地解决许多等差数列问题2应用等差数列的性质解答问题的关键是寻找项数之间的关系，但要注意性质运用的条件，如若stpq，则asatapaq(s，t，p，qN)，需要当序号之和相等、项数相同时才成立跟踪训练3在公差为d的等差数列an中(1)已知a2a3a23a2448，求a
4、13；(2)已知a2a3a4a534，a2a552，求d.解答本题可以直接转化为基本量的运算，求出a1和d后再解决其他问题，也可以利用等差数列的性质来解决题型四灵活设元解等差数列例4已知四个数成等差数列，它们的和为26，中间两项的积为40，求这四个数方法归纳1当已知条件中出现与首项、公差有关的内容时，可直接设首项为a1，公差为d，利用已知条件建立方程组求出a1和d，即可确定数列2当已知数列有2n项时，可设为a(2n1)d，a3d，ad，ad，a3d，a(2n1)d，此时公差为2d.3当已知数列有2n1项时，可设为and，a(n1)d，ad，a，ad，a(n1)d，and，此时公差为d.跟踪训练
5、4三个数成等差数列，其和为9，前两项之积为后一项的6倍，求这三个数教材反思1本节课的重点是等差数列性质的应用2要重点掌握等差数列的如下性质：(1)在等差数列an中，当st时，d为公差公式，利用这个公式很容易求出公差，还可变形为asat(st)d.(2)等差数列an中，每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列(3)等差数列an中，若stpq，则asatapaq(s，t，p，qN)，特别地，若2spq，则2asapaq.3等差数列an中，首项a1与公差d是两个最基本的元素；有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可化成有关a1、d的关系列方程组求解，但是，
6、要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量第2课时等差数列的性质新知初探自主学习知识点一d知识点二等差中项知识点三(1)apaq和(2)等差(3)dcd2d(4)pd1qd2(5)递增递减基础自测1解析：在等差数列中，由性质可得a2a10a4a816.答案：B2解析：a3a5a2a653338.答案：C3解析：因为a3a4a5a6a75a5450.所以a590，a2a82a5290180.答案：1804解析：设an，bn的公差分别为d1，d2，则(an1bn1)(anbn)(an1an)(bn1bn)d1d2，所以anbn为等差数列又a1b1a2b2100，所以anbn为常数列，所以a37b37
7、100.答案：C课堂探究素养提升例1解析：1，a，b，c,7成等差数列，b是1与7的等差中项，b3.又a是1与3的等差中项，a1.又c是3与7的等差中项，c5.该数列为1,1,3,5,7.跟踪训练1解析：因为ab2，所以a，b的等差中项为.答案：A例2解析：(1)a39，a93，又a9a36d，396d，即d1.(2)设等差数列的公差为d，则4d，4d，解得d2.2d10，解得a5.答案：(1)C(2)B跟踪训练2解析：(1)设an的公差为d，则a8a44d，d1.ana8(n8)d4(n8)(1)12n.(2)数列x，a1，a2，y和x，b1，b2，b3，y均为等差数列，1，即，故.答案：(
8、1)an12n(2)例3解析：(1)因为a1a17为一确定常数，又a1a17a2a162a9，所以a2a16a9为一确定常数，故选C.(2)法一：设数列an，bn的公差分别为d1，d2，因为a3b3(a12d1)(b12d2)(a1b1)2(d1d2)72(d1d2)21，所以d1d27，所以a5b5(a3b3)2(d1d2)212735.法二：数列an，bn都是等差数列，数列anbn也构成等差数列，2(a3b3)(a1b1)(a5b5)，2217a5b5，a5b535.答案：(1)C(2)35跟踪训练3解析：法一：(1)化成a1和d的方程如下：(a1d)(a12d)(a122d)(a123d
9、)48，即4(a112d)48.4a1348.a1312.(2)化成a1和d的方程如下：解得或d3或3.法二：(1)根据已知条件a2a3a23a2448，及a2a24a3a232a13.得4a1348，a1312.(2)由a2a3a4a534，及a3a4a2a5得2(a2a5)34，即a2a517.解得或d3或d3.例4解析：法一：设这四个数分别为a，b，c，d，根据题意，得解得或这四个数分别为2,5,8,11或11,8,5,2.法二：设此等差数列的首项为a1，公差为d，根据题意，得化简，得解得或这四个数分别为2,5,8,11或11,8,5,2.法三：设这四个数分别为a3d，ad，ad，a3d，根据题意，得化简，得解得这四个数分别为2,5,8,11或11,8,5,2.跟踪训练4解析：设这三个数依次为ad，a，ad，则解得.这三个数为4,3,2.
