1、一元函数导数及其应用五、解答题26（2021全国高三专题练习）已知函数（1）讨论函数在区间上的最小值；（2）当时，求证：对任意，恒有成立【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）先求出函数的定义域，再求导，当时，导数恒小于零，则可得函数在上为减函数，从而可求出函数的最小值，当时，由导数可得函数在上单调递减，在上单调递增，然后分，和三种情况讨论可求得函数的最小值；（2）要证，即证，即证，当时，上式恒成立，当时，令，再利用导数可得，从而可得成立【详解】（1）解：函数的定义域是， 当时，则，则函数在上单调递减，即函数在区间上单调递减，故函数在区间上的最小值为 当时，令，得；令，得；故
2、函数在上单调递减，在上单调递增（i）当，即时，函数在区间上单调递增，故函数在区间上的最小值为； （ii）当，即时，函数在区间上单调递减，故函数在区间上的最小值为； （iii）当，即时，函数在上单调递减，在上单调递增，此时函数在区间上的最小值为 综上，当时，函数在区间上的最小值为；当时，函数在区间上的最小值为；当时，函数在区间上的最小值为 （2）证明：当时，要证，即证，因为，所以两边同时乘x，得，即证 当时，而，所以成立，即成立当时，令，则 设，则因为因为，所以，所以当时，单调递增， 所以，即，所以在上单调递增，所以，即成立 综上，对任意，恒有成立27（2021山东高三专题练习）已知函数，（1）
3、讨论函数的单调性；（2）若，且关于的不等式在上恒成立，其中是自然对数的底数，求实数的取值范围【答案】（1）答案见解析；（2）【解析】（1）对函数求导，分和两种情况分别得出函数的单调性；（2）在上恒成立，可得，即在上恒成立，令，求导研究函数的单调性与极值，利用导函数为零得出，代入不等式，并构造出，利用导数得出的范围，进而求出实数的取值范围【详解】（1）根据题意可知的定义域为，令，得当时，时，时；当时，时，时综上所述，当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减（2）依题意，即在上恒成立，令，则对于，故其必有两个零点，且两个零点的积为，则两个零点一正一负，设其正零点为，则，即
4、，且在上单调递减，在上单调递增，故，即令，则，当时，当时，则在上单调递增，在上单调递减，又，故，显然函数在上是关于的单调递增函数，则，所以实数的取值范围为28（2021河北唐山市高三二模）已知函数（1）若，求的取值范围；（2）若有两个零点，且，证明：【答案】（1）；（2）证明见解析【解析】（1）利用导数求出函数的最大值，解不等式即得解；（2）由题得，所以；令，利用导数求出函数的单调性即得证.【详解】解：（1）的定义域为，时，；时，所以在上单调递增，在单调递减即时，取得最大值，依题意，故（2）由（1）知，由题得，所以所以所以；令，则，由（1）知，等号当且仅当时成立，所以，等号当且仅当时成立，于是
5、可得，即单调递增，因此，当时，；当时，所以，故29（2021全国高三专题练习）已知函数（1）若曲线在点处的切线经过坐标原点，求实数；（2）当时，判断函数在上的零点个数，并说明理由【答案】（1）；（2）答案不唯一，具体见解析【解析】（1）求出函数的导数，根据导数几何意义求斜率，由切线方程求a；（2）原问题转化为的零点问题，求导，利用导数可得单调性，结合零点存在性即可求解.【详解】（1），所以在点处的切线方程为，所以，即；（2）因为，所以，所以可转化为，设，则当时，所以在区间上单调递增当时，设，此时，所以在时单调递增，又，所以存在使得且时单调递减，时单调递增综上，对于连续函数，在时，单调递减，在时
6、，单调递增又因为，所以当，即时，函数有唯一零点在区间上，当，即时，函数在区间上无零点，综上可知，当时，函数在上有个零点；当时，函数在上没有零点30（2021全国高三专题练习）已知数列.（1）证明：(，是自然对数的底数)；（2）若不等式成立，求实数的最大值.【答案】（1）证明见解析；（2）最大值为.【解析】（1）将所要证明的不等式转化为证明在区间上小于零，利用导数研究在区间上的单调性和最值，由此证得结论成立.（2）将不等式成立，转化为在区间上恒成立，利用导数研究的单调性，结合对进行分类讨论，求得的取值范围，由此求得的最大值.【详解】（1）要证成立，两边取对数：只需证明成立，令，构造函数，即只需证
7、明函数在区间上小于零，由于，在区间上，函数单调递减，且，所以在区间上函数所以不等式成立；（2）对于不等式，两边取对数：只需不等式成立，令，构造函数，不等式成立，等价于在区间上恒成立其中，由分子，得其两个实数根为，；当时，在区间上，函数单调递増，由于，不等式不成立当时，在区间上，在区间上；函数在区间上单调递减，在区间上单调递增；且，只需，得，即时不等式成立当时，在区间上，函数单调递减，且，不等式恒成立综上，不等式成立，实数的最大值为.31（2021全国高三专题练习）已知函数.（1）判断的单调性，并求的最值；（2）用表示的最大值.记函数，讨论的零点个数.【答案】（1）当单调递减；当单调递增，最小值
8、；（2）答案见解析.【解析】（1）对求导，由导函数的正负与原函数的关系得到的单调性及最值；（2）结合（1）可得当时，则函数无零点；当时，只需研究零点情况，对a分类讨论分别得到函数的单调性及函数的零点个数【详解】（1）.当单调递减；当单调递增.当时，取最小值函数定义域为，其中当时，则函数无零点当时，.下面讨论零点情况.(当时，取等号)，当时，此时，在上无零点的零点为，即一个零点.当时，在上一个零点，的有两个零点.当时，.在单调递减，又，上成立，上成立在取极大值，此时.又时，在上有一个零点，又当，即：时，在上有一个零点，有两个零点当，即时，在上有两个零点，有两个零点当，即时，有两个零点，有三个零点
9、综上，时或时，有一个零点.当时或时，有两个零点当时，有三个零点32（2021山东高三专题练习）已知函数.（1）若有唯一零点，求的取值范围;（2）若恒成立，求的取值范围.【答案】（1）或；（2）.【解析】（1）转化为有唯一实根，构造函数，利用导数研究函数的性质，得到函数的图象，根据图象可得结果；（2）转化为恒成立，构造函数 ，利用导数求出其最大值，利用最大值可得解.【详解】（1）由有唯一零点，可得方程，即有唯一实根，令，则由，得由 ，得在上单调递增，在 上单调递减.，又所以当时， ;又当时，由得图象可知， 或.（2）恒成立，且 ，恒成立，令，则 ，令，则 ，在单调递减，又，由零点存在性定理知，存
10、在唯一零点，使 即，两边取对数可得即 由函数为单调增函数，可得，所以当时， ，当时， ，所以在上单调递增，在 上单调递减，所以即的取值范围为.33（2021全国高三专题练习）已知函数f(x)=ex，g(x)=2ax+1.（1）若f(x)g(x)恒成立，求a的取值集合；（2）若a0，且方程f(x)-g(x)=0有两个不同的根x1，x2，证明：ln 2a.【答案】（1）；（2）见解析【解析】（1）构造函数，求导，分类讨论得函数最值即可求解；（2）由题意得，等价证明，令，构造函数求导证明即可【详解】（1）令， 当 恒成立，在R上单调递增，当 不合题意，故舍去当 则，故当 ，单调递减；当 ；单调递增，故 令，故在 递增，在递减，故即即，故即 故a的取值集合为 （2）方程f(x)-g(x)=0有两个不同的根x1，x2不妨令x1x2, ,若证 0上单调增，无极值点，当时，令，则，当时，即递减，即；当，即递增，(下证引理：)：令，则，当，递增；当，递减.而，所以，证毕.，又，在上有唯一零点，当，有，即递减；当，有，递增；有唯一极小值点综上所述，的取值范围是.