1、数列四、解答题25（2021河北唐山市高三二模）已知为等差数列的前项和，（1）求；（2）记数列的前项和为，证明：【答案】（1）；（2）证明见解析【解析】（1）由已知等差数列的前n项和求基本量，写出即可；（2）利用裂项求和法求，应用放缩法证明不等式.【详解】（1）设等差数列的公差为，则，由题意，有，得，（2），26（2021河南高三月考（文）已知各项均为正数的等差数列的公差为4，其前n项和为且为的等比中项（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前n项和【答案】（1）；（2）【解析】法一：（1）将，和都表示成和的形式，代入等比中项，求出，进而求出通项公式；（2）代入数列的通项公式则，裂项相消求即可.
2、法二：（1）利用前项和的性质，可得，代入等比中项可得，化简，再代入和，计算可得，从而求得通项公式；（2）同法一.【详解】解：（1）因为数列是公差为4的等差数列，所以又，所以，即，解得或（舍去），所以（2）因为，所以法二：（1）因为数列是公差为4的等差数列，且为的等比中项，所以，从而因为，所以，即，解得，所以（2）第二问解法同上27（2021全国高三专题练习（理）已知等差数列的首项为2，前n项和为Sn，正项等比数列bn的首项为1，且满足，前n项和为a32b2，S5b2b4（1）求数列an，bn的通项公式；（2）设，求数列cn的前26项和【答案】（1），；（2）328.【解析】（1）根据题设可得关
3、于公差和公比的方程组，求出其解后可得两个数列的通项公式.（2）利用裂项相消法和分组求和可求的前项和.【详解】（1）由题意得：即，是正项等比数列，则，.（2），则的前26项和为：.28（2021山东德州市高三一模）已知数列满足（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前项和为，证明：【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】（1）得到当时，然后与原式联立，可得，然后验证是否满足即可.（2）根据（1）中条件可得，然后使用裂项相消求和并简单判断即可.【详解】（1）由题意： 当时， 得，即，当时，满足上式，所以（2）因为，所以，所以又，所以29（2021全国高三专题练习（理）已知等比数列的各项均为正数，且
4、，（1）求数列的通项公式；（2）记数列的前项和为，求证：【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】（1）设等比数列的公比为，利用等比数列的通项公式求出公比，即可得到数列的通项公式；（2）先利用（1）得到的通项公式，再利用等比数列求和公式和裂项相消法可得，最后利用，即可得证.【详解】解：（1）设等比数列的公比为，因为，所以，解得，所以；（2）证明：因为，所以，因为对，即30（2021广东湛江市高三一模）已知数列an满足，a2-a1=1.（1）证明：数列是等比数列；（2）若a1=，求数列an的通项公式.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）利用证得结论成立.（2）利用累加法求得的通项公式
5、.【详解】（1）依题意，所以，故数列是首项为，公比为的等比数列，所以.（2）由（1）得，所以，所以.即.31（2021广东深圳市高三一模）设数列的前n项和，满足，且.（1）证明：数列为等差数列；（2）求的通项公式.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）将两边同时取倒数在整理，根据等差数列的定义即可证明；（2）由（1）求出，进而可得，当时，再检验是否满足，进而可得的通项公式.【详解】（1）由可得，即，所以是以为首项，以为公差的等差数列，（2）由（1）可得，即，当时，当时，所以不满足，所以，【点睛】方法点睛：由数列前项和求通项公式时，一般根据求解，注意检验是否满足，不满足则需要分段.32（
6、2021全国高三专题练习）已知数列的前项和为（1）证明：数列为等比数列，并求出（2）求数列的前项和【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）根据递推关系及等比数列的定义证明；（2）由（1）可得，根据关系求解通项，根据等比数列求和公式计算即可.【详解】（1）由已知，整理得，所以，令，得，所以，所以是以为首项，为公比的等比数列，所以，所以；（2）由（1）知，当时，当时，所以所以所以33（2021山东枣庄市高三二模）已知数列中，且.记，求证：（1）是等比数列；（2）的前项和满足：.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）将变形为，并计算的值，由此根据定义可证明是等比数列；（2）
7、先根据等比数列的前项和公式求解出，然后根据并采用裂项相消的方法求解出的前项和，最后分析的前项和并完成证明.【详解】（1）证明：由，得，又，所以是以2为首项，2为公比的等比数列.（2）由（1）知，.于是.因为，所以.【点睛】结论点睛：常见的数列中可进行裂项相消的形式：（1）；（2）；（3）；（4）.34（2021辽宁高三二模（理）已知公比大于1的等比数列的前6项和为126，且，成等差数列.（）求数列的通项公式；（）若数列满足，且，证明：数列的前项和.【答案】（）；（）证明见解析.【解析】（1）利用基本量代换，列方程组求出和公比q，得到通项公式；（2）用累加法求出，再用裂项相消法求和.【详解】解：
8、（）设等比数列的公比为，前项和为.则，整理得，解得：（舍）或，由，解得：.（）时，.即，.累加得：，经检验，当时，符合上式，.，则，即证.35（2021江苏盐城市高三二模）已知等比数列的前项和其中为常数（1）求的值；（2）设，若数列中去掉数列的项后余下的项按原来的顺序组成数列，求的值【答案】（1）；（2）【解析】（1）利用等比数列的定义先求数列的前几项，求出首项和公比，从而求出的值，但此方法需验证；也可利用求解；（2）找出数列中数列的项，再在求和中将其减掉即可.【详解】解：（1）方法1：因为，所以当时，当时，故当时，故因为是等比数列，所以，化简得，解得此时当时，当时，所以满足题意方法2因为，所
9、以当时，当时，因为是等比数列，所以，解得（2）因为，所以因为，所以36（2021湖南衡阳市高三一模）已知数列满足，.（1）证明：数列为等差数列.（2）求数列的前项和.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）将两边同时除以，即可证数列为等差数列；（2）利用（1）的结论可以求出数列的通项公式，再利用乘公比错位相减求和.【详解】（1）依题，在两边同时除以，得：，故数列是以1为首项，1为公差的等差数列；（2）由（1）得：，可得，所以，则数列的前项和，-得：，所以.37（2021山东临沂市高三其他模拟）己知数列满足（1）证明:数列是等差数列，并求数列的通项公式;（2）设为数列的前项和，证明【答案
10、】（1）证明见解析，；（2）证明见解析.【解析】（1）构造数列，根据为等差数列，即可求得结果.（2）由裂项相消法即可求和，进而证明不等式.【详解】（1）由题对两边同时除以得又，所以是首项为，公差为的等差数列，所以所以（2）由所以因为所以即38（2021辽宁铁岭市高三一模）已知数列的前项和为，且，数列是公差大于0的等差数列，且，成等比数例（1）求数列和的通项公式；（2）若，求【答案】（1），；（2）【解析】（1）根据得到是公比为、首项为的等比数列， 即可求出，再根据，且，成等比数列，得到方程，求出数列的通项公式（2）利用错位相减法求和即可；【详解】解：（1），时，两式相减得，由得，数列是公比的等
11、比数列，首项，所以数列的通项公式为，又，成等比得，公差，数列的通项公式为（2）令，得39（2021山东烟台市高三一模）在；是与的等比中项，三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答.问题：已知为公差不为零的等差数列，其前项和为为等比数列，其前项和为常数，（1）求数列的通项公式；（2）令其中表示不超过的最大整数，求的值.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】答案见解析【解析】若选（1）先求，可得，进而得，由基本量运算可得；（2）由，可得解.若选（1）先求，可得，进而得，由基本量运算可得；（2）由，可得解.若选（1）先求，可得，进而得，由基本量运算可得；（2）由，可得解.【
12、详解】若选：由已知，所以通项，故不妨设的公差为.则解得所以由，则，所以.若选：由已知，通项故.不妨设的公差为，则，解得所以.由，则，所以.若选：由已知，所以通项，故不妨设的公差为.则，因为解得所以.由则，所以.40（2021江苏常州市高三一模）已知等比数列的各项均为整数，公比为q，且，数列中有连续四项在集合中，（1）求q，并写出数列的一个通项公式；（2）设数列的前n项和为，证明：数列中的任意连续三项按适当顺序排列后，可以成等差数列.【答案】（1），；（2）证明见解析.【解析】（1）因为，且各项均为整数，所以连续四项为，故，不妨取，故；（2）设等比数列的首项为，再分n为奇数时和n为偶数时验证即可
13、.【详解】（1）因为，且各项均为整数，所以连续四项为，所以公比，取.（2）由题意，所以当n为奇数时，所以，当n为偶数时，所以，所以对中的任意连续三项，经顺序调整后可以构成等差数列.41（2021山东滨州市高三一模）已知等差数列和等比数列满足，（1）求数列，的通项公式；（2）设数列中不在数列中的项按从小到大的顺序构成数列，记数列的前项和为，求【答案】（1），；（2）11302.【解析】（1）先根据已知条件求出的值，可得的公差，即可求出等差数列的通项公式，代入可得的通项公式；（2）先判断出中哪些项在中，用数列的前项去掉数列的前 项后构成的数列，利用等差数列和等比数列前项和公式即可求解.【详解】（1
14、）设等差数列的公差为，因为，所以，所以所以又，即，所以所以（2）由（1），即是数列中的第项设数列的前项和为，数列的前项和为，因为，所以数列的前100项是由数列的前107项去掉数列的前7项后构成的，所以42（2021洛阳市第一高级中学高二月考（文）在已知数列满足：，等比数列中，公比，前5项和为62，这两个条件中任选一个，并解答下列问题.（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前项和为，若对恒成立，求正整数的最大值.【答案】选择条件（1）；（2）2022；选择条件（1）；（2）2022.【解析】（1）选根据等比数列的定义知为等比数列，求出首项即可求出通项公式；选根据公比及求和公式列出方程求出首项即可
15、；（2）由（1）知，可知，由错位相减法求和，由不等式恒成立转化为求最值即可.【详解】（1）选择条件，设等数列的首项为.公比为，依题意，得为等比数列，所以，解之得；选择条件，设等比数列的首项为，公比.前5项和为62，依题意，解之得，.（2）因为，所以1得，所以.因为，所以数列单调递增，最小，最小值为.所以.所以.故正整数的最大值为2022.43（2021山东高三专题练习）从“；，；，是，的等比中项”三个条件任选一个，补充到下面横线处，并解答已知等差数列的前项和为，公差不等于零，_，（1）求数列的通项公式；（2）若，数列的前项和为，求注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分【答案】选择见解析
16、：（1）；（2）【解析】（1）选：由时，即可求解；选：用基本量与列方程组即可求解；选：由等比中项公式即可求得公差，通项可得；（2）依题意求通项再用分组求和法求得前项和为【详解】解：选：（1），令当时，当时，而，选：（1）由得得，又得，因为得，所以；选：（1）由是，的等比中项得，则 因为，所以，则；（2），44（2021全国高三专题练习）已知正项数列的前项和为，且.（1）求数列的通项公式;（2）若，数列前项和为，求使的最小的正整数的值.【答案】（1）；（2）8.【解析】（1）根据，利用数列通项与前n项和的关系求解； （2）由（2）得，利用错位相减法求得，再根据的单调性，根据求解.【详解】（1）当
17、时，由，得，两式相减得，即正项数列.当时，数列是以为首项，为公差的等差数列，.（2）由（1）知，所以，两式相减得：，.，所以当时，单调递增，当时，当时，使的最小的正整数的值为.45（2021广东广州市高三一模）已知等差数列的前项和为，公差，是的等比中项，.（1）求的通项公式；（2）若数列满足，求.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）直接用等差数列的基本量解方程即可；（2）先算出，然后运用累加法即可获解.【详解】（1）是的等比中项解得 （舍去）（2）据题意两式相减得所以有以上9个式子相加得46（2021山东济宁市高三一模）在；，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解决该问题问题：已知数列
18、满足_（），若，求数列的前项和【答案】【解析】若选：利用求解可得数列为等比数列，求出，进而求出的通项公式，再利用错位相减法求和即可；若选：先利用求解可得数列的通项公式，进而求出的通项公式，再利用错位相减法求和即可；若选：由已知条件可知数列为等比数列，利用，求出公比，写出通项公式，进而求出的通项公式，再利用错位相减法求和即可.【详解】解：若选：因为，所以当时，得：，即，所以数列为等比数列，当时，解得，所以所以，所以，得：，所以若选：因为，所以当时，当时，得：，因为符合上式，所以对一切都成立所以，所以，得：，所以若选：由，知数列是等比数列，设数列的公比为，则，即，所以，解得，所以所以，所以，得：，
19、所以47（2021广东肇庆市高三二模）已知数列的前项和为，.（1）求证：是等差数列；（2）求数列中最接近2020的数.【答案】（1）证明见解析；（2）1980.【解析】（1）根据等差数列的定义证明；（2）由（1）得，然后由由求得，由在上是增函数，计算和后可得【详解】（1）证明：.由，得.因为，所以是以为首项，为公差的等差数列.（2）解：由（1），得，即，则（）当时，也成立.所以（），则.在上是增函数，当时，；当时，.所以数列中最接近2020的数是1980.48（2021山东高三专题练习）已知等比数列的前项和为，且，数列满足，其中. （1）分别求数列和的通项公式；（2）在与之间插入个数，使这个数
20、组成一个公差为的等差数列，求数列的前项和.【答案】（1），；（2）.【解析】（1）设等比数列的公比为，利用，和等比数列的定义即可得出；利用已知条件和累乘法即可得出的通项公式；（2）先利用已知条件得到，再利用错位相减法求解即可.【详解】（1）设等比数列的公比为，由已知，可得，两式相减可得，即，整理得，可知，已知，令，得，即，解得，故等比数列的通项公式为；由得：，那么，以上个式子相乘，可得，又满足上式，所以的通项公式.（2）若在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，则，即为，整理得，所以，两式相减得：，所以.49（2021全国高三专题练习）在，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，
21、并解答该问题.已知正项数列的前项和为，满足_.（1）求；（2）若，求数列的前项和.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】（1）条件选择见解析，；（2）.【解析】（1）若选，当时，得，再利用累乘法求解；若选，当时，得，得，再利用等差数列求解；若选，得，再利用等差数列求解；（2）由题得，再利用错位相减法求解.【详解】若选，则当时，得当时，得，即当时也成立，.若选，即当时，得当时，得得由得又.是公差为，首项为的等差数列，是公差为，首项为的等差数列故.若选，即当时，两式相减得，即，由得，是公差为的等差数列，故.两式相减，得故.50（2021全国高三专题练习）将个正数排成行列：其中每一
22、行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且各列的公比都相等，若，.（1）求；（2）设，求.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）设第一行数的公差为，各列的公比为，利用等比中项的性质可求得，利用等差中项的性质可求得，进而可求得、的值，由等差数列的通项公式可求得；（2）求得，利用错位相减法可求得.【详解】（1）设第一行数的公差为，各列的公比为，由题意可知，解得，由，解得，则.由，解得，因此；（2），可得，两边同时乘以可得：,上述两式相减可得：，因此，.51（2021全国高三专题练习）已知公比小于1的等比数列中，其前n项和为（1）求；（2）求证：【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】（1）由已
23、知，利用等比数列的性质列出关于公比的方程，求出公比，进而可得答案；（2）利用等比数列的求和公式求出，再利用放缩法结合数列的单调性求解即可.【详解】（1）解：设等比数列的公比为q由得解得或（舍去），所以（2）证明：由（1）得，所以因为在R上为减函数，且恒成立，所以当，即时，所以52（2021湖南岳阳市高三一模）已知数列满足，且点在函数的图象上（1）求证：是等比数列，并求的通项公式：（2）若，数列的前n项和为，求证：【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】（1）由题意得，推得，即可证明是等比数列，然后结合等比数列的定义和通项公式即可求得结果；（2）推得，由不等式的性质和等比数列的求和公式、数列的单调性，即可求证.【详解】（1）由点在函数的图象上，可得，所以，即，也即，由，所以，所以是首项和公比均为的等比数列，则，所以；（2），所以，
