1、数学 第6节 正弦定理和余弦定理及其应用 数学 最新考纲 1.掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题.2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.数学 知识链条完善 考点专项突破 解题规范夯实 数学 知识链条完善 把散落的知识连起来【教材导读】1.已知ABC中的三边,如何判断三角形的形状?提示:利用余弦定理可判断出最大边所对的角的余弦值的正负,从而判断出三角形是锐角三角形、钝角三角形还是直角三角形.2.在三角形ABC中,“AB”是“sin Asin B”的什么条件?“AB”是“cos AB”是“sin Asin B”的充要条件,“AB”是
2、“cos Acos B”的充要条件.3.在三角形ABC中,“a2+b2c2”是“ABC为锐角三角形”的什么条件?提示:“a2+b2c2”是“ABC为锐角三角形”的必要不充分条件.数学 知识梳理 1.正弦定理和余弦定理 定理 正弦定理 余弦定理 内容 sinaA=sinbB=sincC=2R(其中 R 是ABC 外接圆半径)a2=;b2=;c2=变形 形式 a=2Rsin A,b=,c=;sin A=2aR,sin B=2bR,sin C=2cR;abc=sin A sin C;asin B=bsin A,bsin C=csin B,asin C=csin A cos A=2222bcabc;c
3、os B=2222cabac;cos C=2222abcab 解决的问题 已知两角和任一边,求另一角和其他两条边;已知两边和其中一边的对角,求另一边和其他两角(1)已知三边,求各角;(2)已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角;(3)已知两边和其中一边的对角,求其他角和边 b2+c2-2bccos A c2+a2-2cacos B a2+b2-2abcos C sin B 2Rsin B 2Rsin C 数学 2.三角形常用面积公式(1)S=12aha(ha表示边 a 上的高);(2)S=12absin C=1sin2bcA =12acsin B;(3)S=12r(a+b+c)(r 为三角
4、形内切圆半径).数学 3.解三角形在测量中的常见题型(1)利用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型有:测量距离问题、测量高度问题、测量角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等.(2)有关测量中的几个术语 仰角和俯角:与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角,目标视线在水平视线上方时叫 ,目标视线在水平视线下方时叫 .(如图(1)所示)方位角:一般指从正北方向顺时针到目标方向线的水平角,如方位角45,是指北偏东45,即东北方向.坡角:坡面与水平面的夹角.俯角 仰角 数学 坡比:坡面的铅直高度与水平宽度之比,即 i=hl=tan (i 为坡比,为坡角).(如图(2)所示)数学【重要
5、结论】在ABC中,常有以下结论:(1)A+B+C=.(2)任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边.(3)sin(A+B)=sin C;cos(A+B)=-cos C;tan(A+B)=-tan C;sin2AB=cos2C;cos2AB=sin2C.(4)tan A+tan B+tan C=tan Atan Btan C.(5)ABabsin Asin Bcos Ac,即 AC,故 C 为锐角.所以 C=4.数学 3.(2016石景山区模拟)已知ABC的三个内角满足sin Asin Bsin C=51113,则ABC是()(A)等腰三角形(B)锐角三角形(C)直角三角形(D)钝角三角形
6、 D 解析:由ABC 的三个内角满足 sin Asin Bsin C=51113,利用正弦定理可得 abc=51113,设 a=5k,b=11k,c=13k,故 C 为最大角,由余弦定理得 cos C=2222abcab=222225121169110kkkk=-231100,可得 C 为钝角,故ABC 是钝角三角形.数学 4.(2015 重庆模拟)甲船在 A 处观察乙船,乙船在它的北偏东 60的方向,两船相距 a海里的 B处,乙船正向北行驶,若甲船是乙船速度的3 倍,甲船为了尽快追上乙船,则应取北偏东 (填角度)的方向前进.解析:设两船在 C 处相遇,则由题意ABC=180-60=120,且
7、 ACBC=3,由正弦定理得 ACBC=sin120sinBAC。=3 sinBAC=12.又 0BACsin B,则 AB;在ABC 的六个元素中,已知任意三个元素可求其他元素;面积公式中 S=12bcsin A=12absin C=12acsin B,其实质就是面积公式S=12ah=12bh=12ch(h 为相应边上的高)的变形;在ABC 中,若 b2+c2a2,则此三角形是锐角三角形.数学 解析:错误.若三内角 A,B,C 分别为 6,3,2,比为 123,而对应边的比为13 2.正确.由正弦定理知 sin A=2aR,sin B=2bR,由 sin Asin B 得 ab,即 AB.错
8、误.当已知三个角时不能求三边.正确.如 S=12absin C=12ah(h=bsin C),h 即为边 a 上的高.满足 b2+c2a2,还可能满足 b2a2+c2或 c2a2+b2则三角形不是锐角三角形.答案:数学 考点专项突破 在讲练中理解知识 考点一 正、余弦定理的应用(高频考点)【例 1】(1)(2015 高考北京卷)在ABC 中,a=4,b=5,c=6,则 sin 2sinAC=.解析:(1)在ABC 中,由余弦定理的推论可得 cos A=2222bcabc=2225642 5 6=34,由正弦定理可知 sin 2sinAC=2sincossinAAC=2cosaAc=32446=
9、1.答案:(1)1 考查角度1:利用正、余弦定理解三角形.高考扫描:2013高考新课标全国卷、2015高考新课标全国卷 数学(2)(2015 高考重庆卷)在ABC中,B=120,AB=2,A 的角平分线AD=3,则 AC=.解析:(2)依题意知BDA=C+12BAC,由正弦定理得2sinBDA=3sin B,所以 sin（C+12BAC）=22.因为C+BAC=180-B=60,所以C+12BAC=45,所以BAC=30,C=30.从而 AC=2ABcos 30=6.答案:(2)6数学 反思归纳 利用正、余弦定理解三角形关键是根据已知条件及所求结论确定三角形及所需应用的定理,有时需结合图形分析
10、求解,有时需根据三角函数值的有界性、三角形中大边对大角等确定解的个数.数学【例 2】(2015 高考浙江卷)在ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 A=4,b2-a2=12c2.(1)求 tan C 的值;解:(1)由 b2-a2=12c2及正弦定理得 sin2B-12=12sin2C,所以-cos 2B=sin2C.又由 A=4,即 B+C=34,得-cos 2B=sin 2C=2sin Ccos C,解得 tan C=2.考查角度2:与三角形面积有关的问题.高考扫描:2013高考新课标全国卷、2014高考新课标全国卷,2015全国卷 数学 解:(2)由 tan C
11、=2,C(0,),得 sin C=2 55,cos C=55.又因为 sin B=sin(A+C)=sin（4+C）,所以 sin B=3 1010.由正弦定理得 c=2 210 b,又因为 A=4,12bcsin A=3,所以 bc=62,故 b=3.(2)若ABC的面积为3,求b的值.数学 反思归纳 (1)对于面积公式 S=12absin C=12acsin B=12bcsin A,一般是已知哪一个角就选用哪一个公式.(2)与面积有关的问题,一般是用正弦定理或余弦定理进行边角的转化.得到两边乘积,再整体代入.数学 考点二 利用正、余弦定理判定三角形形状 解:(1)因为 2asin A=(2
12、b-c)sin B+(2c-b)sin C,所以 2a2=(2b-c)b+(2c-b)c,即 bc=b2+c2-a2,所以 cos A=2222bcabc=12,所以 A=60.【例3】在ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且2asin A=(2b-c)sin B+(2c-b)sin C.(1)求角A的大小;数学 解:(2)因为 A+B+C=180,所以 B+C=180-60=120,由 sin B+sin C=3,得 sin B+sin(120-B)=3,所以 sin B+sin 120cos B-cos 120sin B=3.所以 32sin B+32 cos B=3,即 si
13、n(B+30)=1.又因为 0B120,所以 30B+30150,所以 B+30=90,即 B=60.所以 A=B=C=60,所以ABC 为正三角形.(2)若 sin B+sin C=3,试判断ABC 的形状.数学 反思归纳 判定三角形形状的两种常用途径:(1)通过正弦定理和余弦定理,化边为角,利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断.(2)利用正弦定理、余弦定理,化角为边,通过代数恒等变换,求出三条边之间的关系进行判断.数学 解析:(1)由 A+B=-C 得 sin(A+B)=sin C,则原式 sin(A+B)sin(A-B)=sin2C 可化为 sin(A-B)=sin(A+B)si
14、n Acos B-cos Asin B=sin Acos B+cos Asin B,整理得 cos Asin B=0.因为 0A0,所以 a+b=25.【例 1】(2015 漳州模拟)在ABC 中,设角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知角C=120,c=4,三角形的面积 S=3,则 a+b=.答案:25 数学【例 2】在ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 所对的边,且 a=12c+bcos C.(1)求角 B 的大小;解:(1)由正弦定理,得 sin A=12sin C+sin Bcos C,又因为 A=-(B+C),所以 sin A=sin(B+C),可得 sin Bco
15、s C+cos Bsin C=12sin C+sin Bcos C,即 cos B=12,又 B(0,),所以 B=3.数学(2)若 SABC=3,b=13,求 a+c 的值.解:(2)因为 SABC=3,所以 12acsin 3=3,所以 ac=4,由余弦定理可知 b2=a2+c2-ac,所以(a+c)2=b2+3ac=13+12=25,即 a+c=5.数学【例3】如图,在一次海上联合作战演习中,红方一艘侦察艇发现在北偏东45方向,相距12 n mile的水面上,有蓝方一艘小艇正以每小时10 n mile的速度沿南偏东75方向前进,若侦察艇以每小时14 n mile的速度沿北偏东45+方向拦
16、截蓝方的小艇.若要在最短的时间内拦截住,求红方侦察艇所需的时间和角 的正弦值.数学 解:如图,设红方侦察艇经过 x 小时后在 C 处追上蓝方的小艇,则AC=14x,BC=10 x,ABC=120.根据余弦定理得(14x)2=122+(10 x)2-240 xcos 120,解得 x=2.故 AC=28,BC=20.根据正弦定理得sinBC=sin120AC。,解得 sin=20sin12028。=5 314.所以红方侦察艇所需的时间为 2 小时,角的正弦值为 5 314.数学 解题规范夯实 把典型的问题程序化 利用正、余弦定理解三角形【典例】(2015 高考新课标全国卷)ABC 中,D 是 B
17、C 上的点,AD 平分BAC,ABD 面积是ADC 面积的 2 倍.(1)求 sinsinBC;(2)若 AD=1,DC=22,求 BD 和 AC 的长.数学 审题点拨 关键点 所获信息 AD 平分BAC,ABD 面积是ADC面积的 2 倍 表示出两个三角形面积,由于 AD 平分 BAC,选用公式时,选用角相等的一组,可以得出 sinsinBC AD=1,DC=22,求 BD 和 AC 的长 在ABD 和ADC 中用余弦定理结合(1)的结论进行求解 解题突破:画出示意图,根据已知信息选择公式表示进行转化 数学 满分展示:(1)SABD=12ABADsinBAD,2 分 SADC=12ACADs
18、inCAD.4 分 因为 SABD=2SADC,BAD=CAD,所以 AB=2AC.5 分 由正弦定理可得 sinsinBC=ACAB=12.6 分(2)因为 SABDSADC=BDDC,所以 BD=2.7 分 在ABD 和ADC 中,由余弦定理知 AB2=AD2+BD2-2ADBDcosADB,8 分 AC2=AD2+DC2-2ADDCcosADC.9 分 故 AB2+2AC2=3AD2+BD2+2DC2=6.11 分 由(1)知 AB=2AC,所以 AC=1.12 分 答题模板:解三角形问题一般可以用以下几步解答:第一步:边角互化,利用正弦定理、余弦定理进行边角互化.第二步:三角变换,三角变换、化简、消元,从而向已知角(边)转化.第三步:由值求角(边),结合已知代入求值.第四步:反思回顾,查看关键点、易错点,公式是否有错误,检查、确认答案.数学 点击进入课时训练数学
