1、第二章第十二讲A组基础巩固一、选择题1(2017新疆生产建设第二中学高三上学期第二次数学试题)阿基米德在论球与圆柱一书中推导球的体积公式时，得到一个等价的三角恒等式sinsinsin，若在两边同乘以，并令n，则左边 sinsinxdx.因此阿基米德实际上获得定积分x0sinxdx的等价结果则0sinxdx(D)A2B1C1D2解析sinxdx(cosx)1(1)2，故选D.2下列值等于1的是(C)AxdxB(x1)dxC1dxDdx解析1dxx1.3若ax2dx，bx3dx，csinxdx，则a，b，c的大小关系是(D)AacbBabcCcbaDcab解析ax2dxx3，bx3dxx4|4，c
2、sinxdxcosx|1cos22，cab.4(2017甘肃省武威十八中高三上学期第三次月考数学试题)若f(x)x22f(x)dx，则f(x)dx(B)A1BCD1解析把定积分项看成常数对两侧积分，化简求解即可解：令f(x)dxt，对f(x)x22f(x)dx，两边积分可得：t2tdx2t，解得tf(x)dx，故选B.5(教材改编题)曲线ysinx(0x)与直线y围成的封闭图形的面积为(D)A.B2C2D解析由sinx(0x)，得x或，所以曲线ysinx(0x)与直线y围成的封闭图形的面积Ssinxdx()cosx|cos(cos).故选D.6(2016山东淄博一模)如图所示，曲线yx21，x
3、2，x0，y0围成的阴影部分的面积为(A)A|x21|dxB|(x21)dx|C(x21)dxD(x21)dx(1x2)dx解析由曲线y|x21|的对称性，所求阴影部分的面积与如下图形的面积相等，即|x21|dx，选A.7(2017湖南省示范性高中高三上学期百校联考数学试题)已知直线yx1与曲线yf(x)ln(xa)相切，则f(x2)dx(B)A1Bln2C2ln2D2解析设切点为(m，n)，求出函数的导数，求得切线的斜率，运用切点的特点，代入切线的方程和曲线方程，解得a2，再由定积分的运算公式，即可得到所求值解：设切点为(m，n)，yf(x)ln(xa)的导数为f(x)，可得切线的斜率为k1
4、，又n1mln(am)，可得a2，m1，n0，可得f(x)ln(x2)，f(x)，即有f(x2)dxdx.lnx|ln2ln1ln2.故选B.点拨本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查定积分的运算，考查化简整理的运算能力，属于中档题8(2016创新题)函数f(x)则f(x)dx的值为(A)A6B2C2D8解析22f(x)dx(2x)dxdx(2xx2)|226，故选A.二、填空题9(2017陕西省西安一中大学区高三上学期期中数学试题)设若f(x)，f(f(1)1，则a的值是_1_.解析分段函数f(x)在不同区间有不同对应法则，可先计算f(1)lg10，再相应代入进行计算即可解：10，f(1)l
5、g10，f(0)03t2dtt3|a3，又f(f(1)1，a31，a1，故答案是1.10(2016湖北省重点高三统考)若函数f(x)在R上可导，f(x)x3x2f(1)，则f(x)dx_4_.解析f(x)x3x2f(1)f(x)3x22xf(1)令x1可得f(1)3f(x)x33x2f(x)dx(x33x2)dx(x4x3)|4.11(2016广东河源质检)函数yx2与ykx(k0)的图象所围成的图形的面积为，则k_3_.解析根据题意，由函数yx2与ykx(k0)联立方程组得到交点坐标为x0，xk，那么可知交点坐标为(0,0)(k，k2)，于是所求的面积为(kxx2)dx(kx2x3)|，k3
6、，故答案为3.三、解答题12求由曲线y2x2，直线yx及x轴所围成的封闭图形(图中的阴影部分)的面积.答案解析把阴影部分分成两部分求面积SS1S2(2x2)dx(2x2x)dx(2x)(2x)|232.13(2016洛阳调研)求由抛物线y2x1与其在点(2,1)，(2，1)处的切线所围成的面积.解析y，yx.过点(2,1)的直线斜率为y|x2，直线方程为y1(x2)，即yx.同理，过点(2，1)的直线方程为yx，抛物线顶点在(1,0)如图所示由抛物线y2x1与两条切线yx，yx围成的图形面积为：SSAOB2dx222(x1)|2(10).B组能力提升1(2016福建莆田一中期末)曲线ysinx
7、，ycosx与直线x0，x所围成的平面区域的面积为(D)A(sinxcosx)dxB2(sinxcosx)dxC(cosxsinx)dxD2(cosxsinx)dx解析当x0，时，ysinx与ycosx的图象的交点坐标为(，)，作图可知曲线ysinx，ycosx与直线x0，x所围成的平面区域的面积可分为两部分；一部分是曲线ysinx，ycosx与直线x0，x所围成的平面区域的面积；另一部分是曲线ysinx，ycosx与直线x，x所围成的平面区域的面积且这两部分的面积相等，结合定积分定义可知选D.2(2014江西高考)若f(x)x22f(x)dx，则f(x)dx(B)A1BCD1解析设f(x)d
8、xc，则c(x22c)dx(x32cx)|2c，解得c.3(2017湖南省长沙市长郡中学高三上学期摸底数学试题)已知a(ex)dx，若(1ax)2 016b0b1xb2x2b2 016x2 016(xR)，则的值为(B)A0B1C1De 解析首先利用定积分的几何意义求出a，然后利用二项式定理，将x赋值为即可解：a(ex)dx222，(12x)2 016b0b1xb2x2b2 016x2 016(xR)，令x，则(12x)2 016b0011；故选B.4如图，在边长为e(e为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为 .解析因为函数yex与函数ylnx互为反函数，其图象关
9、于直线yx对称，又函数yex与直线ye的交点坐标为(1，e)，所以阴影部分的面积为2(e110exdx)2e2ex|2e(2e2)2，由几何概型的概率计算公式，得所求的概率P.5(2016信阳调研)在区间0,1上给定曲线yx2.试在此区间内确定t的值，使图中的阴影部分的面积 S1与S2之和最小，并求最小值.解析面积S1等于边长为t与t2的矩形面积去掉曲线yx2与x轴、直线xt所围成的面积，即S1tt2x2dxt3.S2的面积等于曲线yx2与x轴，xt，x1围成的面积去掉矩形面积，矩形边长分别为t2,1t.即S21x2dxt2(1t)t3t2.所以阴影部分面积SS1S2t3t2(0t1)令S(t)4t22t4t(t)0时，得t0或t.t0时，S；t时，S；t1时，S.所以当t时，S最小，且最小值为.
