1、8.3简单几何体的表面积与体积8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积学 习 目 标核 心 素 养1.通过对棱柱、棱锥、棱台的研究，掌握棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积的求法(重点)2.会求与棱柱、棱锥、棱台有关的组合体的表面积与体积(难点、易错点)1.借助棱柱、棱锥、棱台的表面积、体积的计算，培养数学运算素养.2.通过对棱柱、棱锥、棱台的体积的探究，提升逻辑推理的素养.胡夫大金字塔底边原长230米，高146.59米，经风化腐蚀，现降至136.5米，塔的底角为5151.假如把建造金字塔的石块凿成平均一立方英尺的小块，平均每块重2.5吨，像一辆小汽车那样大问题：(1)如何计算建此金字塔需用多少石块
2、？(2)如果在金字塔的表面涂上一层保护液以防止风化腐蚀，如何计算保护液的使用量？1棱柱、棱锥、棱台的表面积多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和2棱柱、棱锥、棱台的体积棱柱的体积公式VSh(S为底面面积，h为高)；棱锥的体积公式VSh(S为底面面积，h为高)；棱台的体积公式Vh(SS)其中，棱台的上、下底面面积分别为S、S，高为h.思考：简单组合体分割成几个几何体，其表面积不变吗？其体积呢？提示表面积变大了，而体积不变1思考辨析(正确的画“”，错误的画“”)(1)几何体的表面积就是其侧面面积与底面面积的和()(2)几何体的侧面积是指各个侧面的面积之和()(3)等底面面积且等高的两个同类几
3、何体的体积相同()(4)在三棱锥PABC中，VPABCVAPBCVBPACVCPAB()答案(1)(2)(3)(4)2棱长为3的正方体的表面积为()A27B64C54D36C根据表面积的定义，组成正方体的面共6个，且每个都是边长为3的正方形从而，其表面积为63254.3长方体同一顶点上的三条棱长分别为1,2,3，则长方体的体积与表面积分别为()A6,22B3,22 C6,11D3,11AV1236，S2(12)2(13)2(23)22.4棱长都是3的三棱锥的表面积S为_9因为三棱锥的四个面是全等的正三角形，所以S4329.简单几何体的表面积【例1】现有一个底面是菱形的直四棱柱，它的体对角线长为
4、9和15，高是5，求该直四棱柱的侧面积解如图，设底面对角线ACa，BDb，交点为O，对角线A1C15，B1D9，a252152，b25292，a2200，b256.该直四棱柱的底面是菱形，AB264，AB8.直四棱柱的侧面积S485160.求几何体的表面积问题，通常将所给几何体分成基本几何体，再通过这些基本几何体的表面积进行求和或作差，从而获得几何体的表面积，另外有时也会用到将几何体展开求其展开图的面积进而得表面积.1侧面都是等腰直角三角形的正三棱锥，底面边长为a时，该三棱锥的表面积是()Aa2Ba2Ca2 Da2A侧面都是等腰直角三角形，故侧棱长等于a，S表a23a2.简单几何体的体积【例2
5、】在三棱台ABCA1B1C1中，ABA1B112，求三棱锥A1ABC，三棱锥BA1B1C，三棱锥CA1B1C1的体积之比解设三棱台的高为h，SABCS，则SA1B1C14S.VA1ABCSABChSh，VCA1B1C1SA1B1C1hSh.又V台h(S4S2S)Sh，VBA1B1CV台VA1ABCVCA1B1C1ShSh，三棱锥A1ABC，BA1B1C与CA1B1C1的体积比为124.求几何体体积的常用方法2如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为线段AA1，B1C上的点，则三棱锥D1EDF的体积为_利用三棱锥的体积公式直接求解VD1EDFVFDD1ESD1DEAB111.
6、棱台与棱锥之间关系的综合问题【例3】已知正四棱台(上、下底是正方形，上底面的中心在下底面的投影是下底面中心)上底面边长为6，高和下底面边长都是12，求它的侧面积解如图，E，E1分别是BC，B1C1的中点，O，O1分别是下、上底面正方形的中心，则O1O为正四棱台的高，则O1O12.连接OE，O1E1，则OEAB126，O1E1A1B13.过E1作E1HOE，垂足为H，则E1HO1O12，OHO1E13，HEOEO1E1633.在RtE1HE中，E1E2E1H2HE2122323217，所以E1E3.所以S侧4(B1C1BC)E1E2(612)3108.在本例中，把棱台还原成棱锥，你能利用棱锥的有
7、关知识求解吗？解如图，正四棱台的侧棱延长交于一点P.取B1C1，BC的中点E1，E，则EE1的延长线必过P点(以后可以证明)O1，O分别是正方形A1B1C1D1与正方形ABCD的中心由正棱锥的定义，CC1的延长线过P点，且有O1E1A1B13，OEAB6，则有，即.所以PO1O1O12.在RtPO1E1中，PEPOO1E122323217，在RtPOE中，PE2PO2OE2242626217，所以E1EPEPE1633.所以S侧4(BCB1C1)E1E2(126)3108.解决有关正棱台的问题时，常用两种解题思路：一是把基本量转化到直角梯形中去解决；二是把正棱台还原成正棱锥，利用正棱锥的有关知
8、识来解决.方法必备1棱柱、棱锥、棱台的表面积分别是它们侧面展开图的面积，因此弄清侧面展开图的形状及侧面展开图中各线段的长，是掌握它们的表面积有关问题的关键2计算棱柱、棱锥、棱台的体积，关键是根据条件找出相应的底面面积和高，要充分运用多面体的有关截面，将空间问题转化为平面问题3在几何体的体积计算中，注意体会“分割思想”、“补体思想”及“等价转化思想”1如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，则三棱锥D1ACD的体积是()ABCD1A三棱锥D1ADC的体积VSADCD1DADDCD1D.2.已知高为3的棱柱ABCA1B1C1的底面是边长为1的正三角形(如图)，则三棱锥B1ABC的体积为
9、()A BC D答案D3若正方体的棱长为，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的表面积为()AB2C DB所求凸多面体的表面积是两个底面边长为1，高为的四棱锥的侧面积之和，如图，四棱锥的侧棱长l1，所以，以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的表面积S811sin 602.故选B4把一个棱长为a的正方体，切成27个全等的小正方体，则所有小正方体的表面积为_18a2原正方体的棱长为a，切成的27个小正方体的棱长为a，每个小正方体的表面积S1a26a2，所以27个小正方体的表面积是a22718a2.5如图所示，三棱锥的顶点为P，PA，PB，PC为三条侧棱，且PA，PB，PC两两互相垂直，又PA2，PB3，PC4，则三棱锥PABC的体积V_.4三棱锥的体积VSh，其中S为底面积，h为高，而三棱锥的任意一个面都可以作为底面，所以此题可把B看作顶点，PAC作为底面求解故VSPACPB2434.
