1、专题一 函数与导数、不等式第3讲 导数与函数的单调性、极值与最值一、选择题1函数f(x)x2ln x的单调递减区间为()A(1，1B(0，1C1，) D(0，)解析：由题意知，函数的定义域为(0，)，又由f(x)x0，解得0x1，所以函数f(x)的单调递减区间为(0，1答案：B2(2016四川卷)已知a为函数f(x)x312x的极小值点，则a()A4 B2 C4 D2解析：由题意得f(x)3x212，令f(x)0得x2，当x2时，f(x)0；当2x2时，f(x)1时，f(x)k0恒成立，即k在区间(1，)上恒成立x1，00，b0，且函数f(x)4x3ax22bx2在x1处有极值，若tab，则t
2、的最大值为()A2 B3 C6 D9解析：f(x)4x3ax22bx2，f(x)12x22ax2b，又f(x)在x1处有极值，f(1)122a2b0ab6，a0，b0，ab2，ab9，当且仅当ab3时等号成立答案：D5已知函数f(x)x3ax23x1有两个极值点，则实数a的取值范围是()A(，)B(，)C(，)D(，)(，)解析：f(x)x22ax3.由题意知方程f(x)0有两个不相等的实数根，4a2120，解得a或a.答案：D二、填空题6(2016北京卷)函数f(x)(x2)的最大值为_解析：f(x)，当x2时，f(x)0，所以f(x)在2，)上是减函数，故f(x)maxf(2)2.答案：2
3、7(2016广东肇庆三模)已知函数f(x)x3ax23x9，若x3是函数f(x)的一个极值点，则实数a_.解析：f(x)3x22ax3，由题意知x3为方程3x22ax30的根，3(3)22a(3)30，解得a5.答案：58(2016衡水中学期末)若函数f(x)x24x3ln x在t，t1上不单调，则t的取值范围是_解析：f(x)x4.由f(x)0及判断可知函数f(x)的两个极值点为1，3，则只要这两个极值点有一个在区间(t，t1)内，函数f(x)在区间t，t1上就不单调，所以t1t1或t3t1，解得0t1或2t0；当x(2，ln 2)时，f(x)0.(导学号 53130102)(1)讨论f(x
4、)在其定义域上的单调性；(2)当x0，1时，求f(x)取得最大值和最小值时的x的值解：(1)f(x)的定义域为(，)，f(x)1a2x3x2.令f(x)0，得x1，x2，x1x2，f(x)3(xx1)(xx2)当xx2时，f(x)0；当x1x0.故f(x)在(，x1)和(x2，)内单调递减，在(x1，x2)内单调递增(2)a0，x10.当a4时，x21，由(1)知，f(x)在0，1上单调递增，f(x)在x0和x1处分别取得最小值和最大值当0a4时，x21.由(1)知，f(x)在0，x2上单调递增，在x2，1上单调递减，因此f(x)在xx2处取得最大值又f(0)1，f(1)a，当0a1时，f(x
5、)在x1处取得最小值；当a1时，f(x)在x0和x1处同时取得最小值；当1a4时，f(x)在x0处取得最小值综上可知，当a4时，f(x)取得最大值和最小值时x的值分别为1和0；当0a4时，f(x)取得最大值时x的值为；当0a1时，f(x)取最小值时x的值为1；当a1时，f(x)取得最小值时x的值为0或1；当1a0且x0时，f(x)|ln x|，求a的取值范围解：(1)当a2时，f(x)2x，f(x)2.令f(x)20，得xln ln 2.当xln 2时，f(x)ln 2时，f(x)0.函数f(x)的单调递减区间为(，ln 2)，单调递增区间为(ln 2，)(2)法一：当x1时，f(x)|ln
6、x|等价于axln x，即ln xax0.令g(x)ln xax(a0)，则g(x)a0，函数g(x)在1，)上单调递增g(x)g(1)a.要使成立，则a0，得a.下面证明若a时，对x(0，1)，f(x)|ln x|也成立当x(0，1)时，f(x)|ln x|等价于axln x，即ln xax0，而ln xaxln xx.令h(x)ln xx，则h(x)，再令(x)，则(x).由于x(0，1)，则x21，故(x)(1)110，即h(x)0.函数h(x)在(0，1)上单调递增函数h(x)h(1)0.由式ln xaxln xx0.综上所述，所求a的取值范围为.法二：f(x)|ln x|等价于ax|ln x|，即ax|ln x|.(*)令g(x)|ln x|当x1时，g(x)ln x，则g(x)0.函数g(x)在1，)上单调递减g(x)g(1).当0x0.函数g(x)在(0，1)上单调递增g(x)g(1).下面证明，当a时，(*)式成立：当x1时，axg(x)，(*)式成立当0x1时，由于axx，令h(x)ln xx，则h(x)，再令(x)，则(x).由于x(0，1)，则x21，故(x)(1)110，即h(x)0.函数h(x)在(0，1)上单调递增函数h(x)h(1)0.ln xx0.ln xxax，即(*)式成立综上所述，所求a的取值范围为.
