1、第七章 立体几何第五节 直线、平面垂直的判定及其性质1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线、面垂直的有关性质与判定定理2能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题主干知识整合 01 课前热身稳固根基知识点一 直线与平面垂直1直线与平面垂直(1)定义：若直线 l 与平面 内的_一条直线都垂直，则直线 l 与平面 垂直(2)判定定理：一条直线与一个平面内的两条_直线都垂直，则该直线与此平面垂直(线线垂直线面垂直)即：a，b，la，lb，abP_.(3)性质定理：垂直于同一个平面的两条直线_即：a，b_.2直线与平面所成的角(1)定义：平面的一条斜线和它
2、在平面上的射影所成的锐角，叫做这条斜线和这个平面所成的角(2)线面角 的范围：0，2.答案1(1)任意(2)相交 l(3)平行 ab1(2016浙江卷)已知互相垂直的平面，交于直线 l，若直线m，n 满足 m，n，则()Aml BmnCnlDmn解析：因为 l，所以 l，又 n，所以 nl.故选 C.答案：C2(必修 2P69 练习题)如图，正方形 SG1G2G3 中，E，F 分别是G1G2，G2G3 的中点，D 是 EF 的中点，现在沿 SE，SF 及 EF 把这个正方形折成一个四面体，使 G1，G2，G3 三点重合，重合后的点记为G，则在四面体 SEFG 中必有()ASG平面 EFGBSD
3、平面 EFGCGF平面 SEFDGD平面 SEF解析：解法 1：在正方形 SG1G2G3 中，SG1G1E，SG3G3F，在四面体 SEFG 中，SGGE，SGGF，GEGFG，所以 SG平面 EFG.解法 2：GF 即 G3F 不垂直于 SF，所以可以排除 C；在GSD中，GSa(正方形边长)，GD 24 a，SD3 24 a，所以 SG2SD2GD2，SDG90，从而排除 B 和 D.答案：A3线段 AB 的长等于它在平面 内射影长的 2 倍，则 AB 所在直线与平面 所成的角为_解析：由题意知 cos12，又090，60.答案：60 知识点二 二面角的有关概念1二面角的有关概念(1)二面
4、角：从一条直线出发的_所组成的图形叫做二面角(2)二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作_的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角2平面与平面垂直的判定定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的一条_，则这两个平面互相垂直 性质定理两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于_的直线垂直于另一个平面 l答案1(1)两个半平面(2)垂直于棱2垂线 l l 交线 l a la4(2017衡水模拟)设 l 是直线，是两个不同的平面()A若 l，l，则 B若 l，l，则 C若，l，则 lD若，l，则 l解析：对于 A，若 l，l，则，可能相交；对于 B，若 l
5、，则平面 内必存在一直线 m 与 l 平行，则 m，又 m，故.选项 C，l 可能平行于 或 l 在平面 内；选项 D，l 还可能平行于 或在平面 内答案：B5如图，在三棱锥 DABC 中，若 ABCB，ADCD，E 是AC 的中点，则下列命题中正确的有_(填序号)平面 ABC平面 ABD；平面 ABD平面 BCD；平面 ABC平面 BDE，且平面 ACD平面 BDE；平面 ABC平面 ACD，且平面 ACD平面 BDE.解析：因为 ABCB，且 E 是 AC 的中点，所以 BEAC，同理有 DEAC，DEBEE，于是 AC平面 BDE.因为 AC平面 ABC，所以平面 ABC平面 BDE.又
6、由于 AC平面 ACD，所以平面 ACD平面 BDE.故只有正确答案：热点命题突破 02 课堂升华强技提能 热点一 直线与平面垂直的判定与性质【例 1】已知四棱锥 PABCD 的底面是菱形，且 PAPC，PBPD.若 O 是 AC 与 BD 的交点，求证：PO平面 ABCD.【证明】在PBD 中，PBPD，O 为 BD 的中点，所以 POBD，在PAC 中，PAPC，O 为 AC 的中点，所以 POAC，又因为 ACBDO，所以 PO平面 ABCD.【例 2】如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1 中，已知 ACBC，BCCC1，设 AB1 的中点为 D，B1CBC1E.求证：(1)DE平面 A
7、A1C1C；(2)BC1AB1.【证明】(1)由题意知，E 为 B1C 的中点，又 D 为 AB1 的中点，因此 DEAC.又因为 DE平面 AA1C1C，AC平面 AA1C1C，所以 DE平面AA1C1C.(2)因为棱柱 ABCA1B1C1 是直三棱柱，所以 CC1平面 ABC.因为 AC平面 ABC，所以 ACCC1.又因为 ACBC，CC1平面 BCC1B1，BC平面 BCC1B1，BCCC1C，所以 AC平面 BCC1B1.又因为 BC1平面 BCC1B1，所以 BC1AC.因为 BCCC1，所以矩形 BCC1B1 是正方形，因此 BC1B1C.因为 AC，B1C平面 B1AC，ACB
8、1CC，所以 BC1平面 B1AC.又因为 AB1平面 B1AC，所以 BC1AB1.【总结反思】(1)证明直线和平面垂直的常用方法：判定定理；垂直于平面的传递性(ab，ab)；面面平行的性质(a，a)；面面垂直的性质(2)证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想(3)线面垂直的性质，常用来证明线线垂直.如图，在四棱锥 PABCD 中，PA底面 ABCD，ABAD，ACCD，ABC60，PAABBC，E 是 PC 的中点证明：(1)CDAE；(2)PD平面 ABE.证明：(1)在四棱锥 PABCD 中，PA底
9、面 ABCD，CD平面 ABCD，PACD，又ACCD，且 PAACA，CD平面 PAC.而 AE平面 PAC，CDAE.(2)由 PAABBC，ABC60，可得 ACPA.E 是 PC 的中点，AEPC.由(1)知 AECD，且 PCCDC，AE平面 PCD.而 PD平面 PCD，AEPD.PA底面 ABCD，AB平面 ABCD，PAAB.又 ABAD，且 PAADA，AB平面 PAD，而 PD平面 PAD，ABPD，又 ABAEA，PD平面 ABE.热点二 平面与平面垂直的判定与性质【例 3】(2016江苏卷)如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1 中，D，E 分别为 AB，BC 的中点，点
10、 F 在侧棱 B1B 上，且 B1DA1F，A1C1A1B1.求证：(1)直线 DE平面 A1C1F；(2)平面 B1DE平面 A1C1F.【证明】(1)在直三棱柱 ABCA1B1C1 中，A1C1AC.在ABC 中，因为 D，E 分别为 AB，BC 的中点，所以 DEAC，于是 DEA1C1.又 DE平面 A1C1F，A1C1平面 A1C1F，所以直线 DE平面 A1C1F.(2)在直三棱柱 ABCA1B1C1 中，A1A平面 A1B1C1.因为 A1C1平面 A1B1C1，所以 A1AA1C1.又 A1C1A1B1，A1A平面 ABB1A1，A1B1平面 ABB1A1，A1AA1B1A1，
11、所以 A1C1平面 ABB1A1.因为 B1D平面 ABB1A1，所以 A1C1B1D.又 B1DA1F，A1C1平面 A1C1F，A1F平面 A1C1F，A1C1A1FA1，所以 B1D平面 A1C1F.因为直线 B1D平面 B1DE，所以平面 B1DE平面 A1C1F.【总结反思】(1)掌握证明两平面垂直常转化为线面垂直，利用判定定理来证明也可作出二面角的平面角，证明平面角为直角，利用定义来证明(2)已知两个平面垂直时，过其中一个平面内的一点作交线的垂线，则由面面垂直的性质定理可得此直线垂直于另一个平面，于是面面垂直转化为线面垂直，由此得出结论：两个相交平面同时垂直于第三个平面，则它们的交
12、线也垂直于第三个平面.如图，已知在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是边长为 4 的正方形，PAD 是正三角形，平面 PAD平面 ABCD，E，F，G 分别是 PD，PC，BC 的中点(1)求证：平面 EFG平面 PAD.(2)若 M 是线段 CD 上一点，求三棱锥 MEFG 的体积解：(1)证明：因为平面 PAD平面 ABCD，平面 PAD平面ABCDAD，CD平面 ABCD，CDAD，所以 CD平面 PAD.又因为PCD 中，E，F 分别是 PD，PC 的中点所以 EFCD，所以 EF平面 PAD.因为 EF平面 EFG，所以平面 EFG平面 PAD.(2)因为 EFCD，EF平面
13、EFG，CD平面 EFG，所以 CD平面 EFG，因此 CD 上的点 M 到平面 EFG 的距离等于点 D 到平面 EFG的距离，所以 VMEFGVDEFG，取 AD 的中点 H，连接 GH，EH，则 EFGH，因为 EF平面 PAD，EH平面 PAD，所以 EFEH.于是 SEFH12EFEH2SEFG，因为平面 EFG平面 PAD，平面 EFG平面 PADEH，EHD 是正三角形，所以点 D 到平面 EFG 的距离等于正EHD 的高，即为 3.因此，三棱锥 MEFG 的体积 VMEFGVDEFG13SEFG 32 33.热点三 平行与垂直的综合问题【例 4】如图所示，平面 ABCD平面 B
14、CE，四边形 ABCD为矩形，BCCE，点 F 为 CE 的中点(1)证明：AE平面 BDF.(2)点 M 为 CD 上任意一点，在线段 AE 上是否存在点 P，使得 PMBE？若存在，确定点 P 的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由【解】(1)证明：连接 AC 交 BD 于点 O，连接 OF.四边形 ABCD 是矩形，O 为 AC 的中点又 F 为 EC 的中点，OFAE.又 OF平面 BDF，AE平面 BDF，AE平面 BDF.(2)当点 P 为 AE 的中点时，有 PMBE，证明如下：取 BE 的中点 H，连接 DP，PH，CH.P 为 AE 的中点，H 为 BE 的中点，PHAB.
15、又 ABCD，PHCD.P，H，C，D 四点共面平面 ABCD平面 BCE，且平面 ABCD平面 BCEBC，CDBC，CD平面 BCE.又 BE平面 BCE，CDBE，BCCE，且 H 为 BE 的中点，CHBE.CHCDC，BE平面 DPHC.又 PM平面 DPHC，PMBE.【总结反思】处理空间中平行或垂直的探索性问题，一般先根据条件猜测点的位置，再给出证明，探索点存在问题，点多为中点或n等分点中的某一个，需根据相关的知识确定点的位置.(2016四川卷)如图，在四棱锥 PABCD 中，PACD，ADBC，ADCPAB90，BCCD12AD.()在平面 PAD 内找一点 M，使得直线 CM
16、平面 PAB，并说明理由；()证明：平面 PAB平面 PBD.解：()取棱 AD 的中点 M(M平面 PAD)，点 M 即为所求的一个点理由如下：因为 ADBC，BC12AD，所以 BCAM，且 BCAM，所以四边形 AMCB 是平行四边形，从而 CMAB.又 AB平面 PAB，CM平面 PAB，所以 CM平面 PAB.(说明：取棱 PD 的中点 N，则所找的点可以是直线 MN 上任意一点)()证明：由已知，PAAB，PACD，因为 ADBC，BC12AD，所以直线 AB 与 CD 相交所以 PA平面 ABCD.从而 PABD.连接 BM，因为 ADBC，BC12AD，所以 BCMD，且 BC
17、MD.所以四边形 BCDM 是平行四边形所以 BMCD12AD，所以 BDAB.又 ABAPA，所以 BD平面 PAB.又 BD平面 PBD，所以平面 PAB平面 PBD.1证明线面垂直的方法(1)线面垂直的定义：a 与 内任何直线都垂直a；(2)判定定理 1：m、n，mnAlm，lnl；(3)判定定理 2：ab，ab；(4)面面平行的性质：，aa；(5)面面垂直的性质：，l，a，ala.2证明线线垂直的方法(1)定义：两条直线所成的角为 90；(2)平面几何中证明线线垂直的方法；(3)线面垂直的性质：a，bab；(4)线面垂直的性质：a，bab.3证明面面垂直的方法(1)利用定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角；(2)判定定理：a，a.4转化思想：垂直关系的转化在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决温示提馨请 做：课时作业 46（点击进入）
