1、3.2基本不等式与最大(小)值 学习目标1.熟练掌握基本不等式及变形的应用.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.3.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题知识链接1已知x，y都是正数，若xys(和为定值)，那么xy有最大值还是最小值？如何求？答xy有最大值由基本不等式，得sxy2，所以xy，当xy时，积xy取得最大值.2已知x，y都是正数，若xyp(积为定值)，那么xy有最大值还是最小值？如何求？答xy有最小值. 由基本不等式，得xy22.当xy时，xy取得最小值2.预习导引1用基本不等式求最值的结论(1)设x，y为正实数，若xys(和s为定值)，则当xy时，积xy有最大值，且这个值
2、为.(2)设x，y为正实数，若xyp(积p为定值)，则当xy时，和xy有最小值，且这个值为2.2基本不等式求最值的条件(1)x，y必须是正数；(2)求积xy的最大值时，应看和xy是否为定值；求和xy的最小值时，应看积xy是否为定值(3)等号成立的条件是否满足要点一利用基本不等式求最值例1(1)若x0，求函数yx的最小值，并求此时x的值；(2)已知x2，求x的最小值；(3)已知x0，y0，且 1，求xy的最小值解(1)当x0时，x2 4，当且仅当x，即x24，x2时取等号函数yx(x0)在x2时取得最小值4.(2)x2，x20，xx222 26，当且仅当x2，即x4时，等号成立x的最小值为6.(
3、3)方法一x0，y0，1，xy()(xy)1061016，当且仅当，又1，即x4，y12时，上式取等号故当x4，y12时，(xy)min16.方法二由1，得(x1)(y9)9(定值)可知x1，y9，xy(x1)(y9)1021016，当且仅当x1y93，即x4，y12时上式取等号，故当x4，y12时，(xy)min16.规律方法在利用基本不等式求最值时要注意三点：一是各项为正；二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和为定值(恰当变形，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧)；三是考虑等号成立的条件跟踪演练1(1)已知x0，求f(x)3x的最小值；(2)已知x0，y0，且2x
4、8yxy，求xy的最小值解(1)x0，f(x)3x212，当且仅当3x，即x2时取等号f(x)的最小值为12.(2)x3，x30，y0，x80，y，xyxx(x8)102 1018.当且仅当x8，即x12时，等号成立xy的最小值是18.方法二由2x8yxy0及x0，y0，得1.xy(xy)()1021018.当且仅当，即x2y12时等号成立xy的最小值是18.要点二基本不等式在实际问题中的应用例2某单位用2 160万元购得一块空地，计划在该空地上建造一栋至少10层，每层2 000平方米的楼房经测算，如果将楼房建为x(x10)层，则每平方米的平均建筑费用为56048x(单位：元)(1)写出楼房平
5、均综合费用y关于建造层数x的函数关系式；(2)该楼房应建造多少层时，可使楼房每平方米的平均综合费用最少？最少值是多少？(注：平均综合费用平均建筑费用平均购地费用，平均购地费用)解(1)依题意得y(56048x)56048x (x10，xN)(2)x0，48x21 440，当且仅当48x，即x15时取到“”，此时，平均综合费用的最小值为5601 4402 000(元)答当该楼房建造15层时，可使楼房每平方米的平均综合费用最少，最少值为2 000元规律方法利用基本不等式解决实际问题时，一般是先建立关于目标量的函数关系，再利用基本不等式求解目标函数的最大(小)值及取最大(小)值的条件跟踪演练2某食品
6、厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格为1 800元，面粉的保管费及其他费用为平均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天的支付的总费用最少？解设该厂每隔x天购买一次面粉，其购买量为6x吨由题意可知，面粉的保管费及其他费用为36x6(x1)6(x2)619x(x1)设平均每天所支付的总费用为y元，则y9x(x1)90061 8009x10 809210 80910 989(元)，当且仅当9x，即x10时，等号成立该厂每10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少例3某国际化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2016年巴
7、西里约热内卢奥运会期间进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，化妆品的年销量x万件与年促销费t万元之间满足3x与t1成反比例，如果不搞促销活动，化妆品的年销量只能是1万件，已知2016年生产化妆品的设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1万件化妆品需再投入32万元的生产费用，若将每件化妆品的售价定为其生产成本的150%与平均每件促销费的一半之和，则当年生产的化妆品正好能销完(1)将2016年的利润y(万元)表示为促销费t(万元)的函数(2)该企业2016年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？(注：利润销售收入生产成本促销费，生产成本固定费用生产费用)解(1)由题意可设3x，将t0，x1
8、代入，得k2，x3.当年生产x万件时，年生产成本年生产费用固定费用，年生产成本为32x332(3)3.当销售x(万件)时，年销售收入为150%32(3)3t.由题意，生产x万件化妆品正好销完，由年利润年销售收入年生产成本促销费，得年利润y (t0)(2)y50()50250242(万元)，当且仅当，即t7时，ymax42万元当促销费投入7万元时，企业的年利润最大规律方法应用题，先弄清题意(审题)，建立数学模型(列式)，再用所掌握的数学知识解决问题(求解)，最后要回应题意下结论(作答)跟踪演练3一批货物随17列货车从A市以v千米/时匀速直达B市，已知两地铁路线长400千米，为了安全，两列货车的间
9、距不得小于()2千米，那么这批货物全部运到B市，最快需要_小时答案8解析设这批货物从A市全部运到B市的时间为t，则t28(小时)，当且仅当，即v100千米/时时等号成立，此时t8小时.1设0x，则函数yx(32x)的最大值是()A. B.C2 D.答案D解析0x0，yx(32x)2x(x)2()2，当且仅当xx，即x时，取“”，函数yx(32x)的最大值为.2已知x，则f(x)有()A最大值 B最小值C最大值1 D最小值1答案D解析f(x)(x2)1.当且仅当x2，即x3时等号成立3将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m2、形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费
10、最少)的是()A6.5 m B6.8 mC7 m D7.2 m答案C解析设两直角边分别为a，b，直角三角形的框架的周长为l，则ab2，ab4，lab2426.828(m)因为要求够用且浪费最少，故选C.4已知a3，则a的最小值为_答案7解析a3，a30.aa33237，当且仅当a5时取等号a的最小值为7. 1.用基本不等式求最值(1)利用基本不等式求最值要把握下列三个条件：“一正”各项为正数；“二定”“和”或“积”为定值；“三相等”等号一定能取到这三个条件缺一不可(2)利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创建应用基本不
11、等式的条件(3)在求最值的一些问题中，有时看起来可以运用基本不等式求最值，但由于其中的等号取不到，所以运用基本不等式得到的结果往往是错误的，这时通常可以借助函数yx(p0)的单调性求得函数的最值2求解应用题的方法与步骤：(1)审题；(2)建模(列式)；(3)解模；(4)作答一、基础达标1已知x1，y1且lg xlg y4，则lg xlg y的最大值是()A4 B2 C1 D.答案A解析x1，y1，lg x0，lg y0，lg xlg y()24，当且仅当lg xlg y2，即xy100时取等号2已知点P(x，y)在经过A(3,0)，B(1,1)两点的直线上，则2x4y的最小值为()A2 B4C
12、16 D不存在答案B解析点P(x，y)在直线AB上，x2y3.2x4y224.3函数ylog2(x5) (x1)的最小值为()A3 B3 C4 D4答案B解析x5(x1)6268.当且仅当x2时，取“”log2(x5)3，ymin3.4已知a0，b0，ab2，则y的最小值是()A. B4 C. D5答案C解析ab2，1.()()()2(当且仅当，即b2a时，“”成立)，故y的最小值为.5周长为1的直角三角形面积的最大值为_答案解析设直角三角形的两条直角边边长分别为a、b，则1ab2，解得ab，当且仅当ab时取“”，所以直角三角形面积S，即S的最大值为.6建造一个容积为8 m3，深为2 m的长方
13、体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，那么水池的最低总造价为_元答案1 760解析设水池的造价为y元，长方体底的一边长为x m，由于底面积为4 m2，所以另一边长为 m.那么y1204280(2x2)480320(x)48032021 760(元)当x2，即底为边长为2 m的正方形时，水池的造价最低，为1 760元7设0x2，求函数y的最大值解0x2，03x20，y4，当且仅当3x83x，即x时，取等号当x时，y有最大值4.8某种生产设备购买时费用为10万元，每年的设备管理费共计9千元，这种生产设备的维修费各年为第一年2千元，第二年4千元，第三年6千元，而且以后以每年
14、2千元的增量逐年递增，问这种生产设备最多使用多少年报废最合算(即使用多少年的年平均费用最少)?解设使用x年的年平均费用为y万元由已知，得y，即y1(xN)由基本不等式知y12 3，当且仅当，即x10时取等号因此使用10年报废最合算，年平均费用为3万元二、能力提升9若xy是正数，则(x)2(y)2的最小值是()A3 B. C4 D.答案C解析(x)2(y)2x2y2()(x2)(y2)()1124.当且仅当xy或xy时取等号10设正实数x，y，z满足x23xy4y2z0，则当取得最大值时，的最大值为 ()A0 B1 C. D3 答案B解析由x23xy4y2z0，得zx23xy4y2.所以1，当且
15、仅当，即x2y时取等号，此时z2y2，()max1.(1)211，当y1时，取等号，故选B.11设x1，则函数y的最小值是_答案9解析x1，x10，设x1t0，则xt1，于是有yt5259，当且仅当t，即t2时取等号，此时x1.当x1时，函数y取得最小值9.12某建筑公司用8 000万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少12层、每层4 000平方米的楼房经初步估计得知，如果将楼房建为x(x12)层，则每平方米的平均建筑费用为Q(x)3 00050x(单位：元)为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？每平方米的平均综合费用最小值是多少？(注：平均综合费用平均建筑费用平均购
16、地费用，平均购地费用)解设楼房每平方米的平均综合费用为f(x)元，依题意得f(x)Q(x)50x3 000(x12，xN)，f(x)50x3 00023 0005 000(元)当且仅当50x，即x20时上式取“”因此，当x20时，f(x)取得最小值5 000(元)所以为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为20层，每平方米的平均综合费用最小值为5 000元三、探究与创新13如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成(1)现有可围36 m长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？(2)若使每间虎笼面积为24 m2，则
17、每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？解(1)设每间虎笼长x m，宽为y m，则由条件知：4x6y36，即2x3y18.设每间虎笼面积为S，则Sxy.方法一由于2x3y22，218，得xy，即S，当且仅当2x3y时，等号成立由解得故每间虎笼长为4.5 m，宽为3 m时，可使面积最大方法二由2x3y18，得x9y.x0，0y6，Sxy(9y)y(6y)y.0y0，S2.当且仅当6yy，即y3时，等号成立，此时x4.5.(2)由条件知Sxy24.设钢筋网总长为l，则l4x6y.方法一2x3y2224，l4x6y2(2x3y)48，当且仅当2x3y时，等号成立由解得故每间虎笼长6 m，宽4 m时，可使钢筋网总长最小方法二由xy24，得x.l4x6y6y6(y)6248.当且仅当y，即y4时，等号成立，此时x6.故每间虎笼长6 m，宽4 m时，可使钢筋网总长最小
