1、3.1等比数列(二)学习目标1.灵活应用等比数列的定义及通项公式.2.理解等比数列的有关性质.3.能够应用等比数列的通项公式、性质解决问题 知识链接在等差数列an中，通项公式可推广为aman(mn)d，并且若mnpq，则amanapaq(m，n，p，qN)，特别地，若mn2p，则aman2ap.那么，在等比数列中又有哪些类似的性质？预习导引1等比数列的第二通项公式等比数列的通项公式为：ana1qn1，推广形式为：anamqnm(n，mN)2等比数列的性质(1)如果mnkl，则有amanakal.(2)如果 mn2k时，amana.(3)若m，n，p成等差数列，am，an，ap成等比数列(4)在
2、等比数列an中，每隔k项(kN)取出一项，按原来的顺序排列，所得的新数列仍为等比数列(5)如果an，bn均为等比数列，且公比分别为q1，q2，那么数列，anbn，|an|仍是等比数列，且公比分别为，q1q2，|q1|.(6)等比数列的项的对称性：在有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a1ana2an1akank1.要点一等比数列性质的应用例1已知数列an为等比数列若an0，且a2a42a3a5a4a636，求a3a5的值；解a2a42a3a5a4a636，a2a3a5a36，(a3a5)236，又an0，a3a56.规律方法在等比数列的有关运算中，常常涉及到次数较
3、高的指数运算若按常规解法，往往是建立a1，q的方程组，这样解起来很麻烦，通过本例可以看出：结合等比数列的性质进行整体变换，会起到化繁为简的效果跟踪演练1(1)在递增等比数列an中，a1a964，a3a720，求a11的值(2)已知数列an成等比数列若a3a4a58，求a2a3a4a5a6的值解(1)在等比数列an中，a1a9a3a7，由已知可得：a3a764与a3a720.联立得：或an是递增等比数列，a7a3.取a34，a716，164q4，q44.a11a7q416464.(2)由a3a5a，得a3a4a5a8.解得a42.又a2a6a3a5a，a2a3a4a5a6a2532.要点二灵活设
4、项求解等比数列例2有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数解方法一设四个数依次为ad，a，ad，由条件得解得或所以，当a4，d4时，所求四个数为0,4,8,16；当a9，d6时，所求四个数为15,9,3,1.故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.方法二设四个数依次为a，a，aq(a0)，由条件得解得或当a8，q2时，所求四个数为0,4,8,16；当a3，q时，所求四个数为15,9,3,1.故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.规律方法合理地设出所求数中的三个，根据题意得出另一个是解决
5、这类问题的关键，一般地，三个数成等比数列，可设为，a，aq；三个数成等差数列，可设为ad，a，ad.跟踪演练2三个数成等比数列，其积为512，如果第一个数与第三个数各减去2，则这三个数成等差数列，求这三个数解设三个数依次为，a，aq，aaq512，a8.(2)(aq2)2a，2q25q20，q2或q，这三个数为4,8,16或16,8,4.要点三等比数列的实际应用例3某市2010年新建住房400万平方米，其中250万平方米是中低价房，预计今年后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外，每年新建住房中，中低价房的面积比上一年增加50万平方米，那么到哪一年底(1)该市历年所建中低价
6、房的累计面积(以2010年为累计的第一年)将首次不少于4 750万平方米？(2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.解(1)设中低价房面积构成数列an，由题意可知，an是等差数列，其中a1250，d50，则Sn250n5025n2225n；令25n2225n4 750，即n29n1900，解得n19或n10.而n是正整数n10.故到2019年年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4 750万平方米(2)设新建住房面积构成数列bn，由题意可知，bn是等比数列，其中b1400，q1.08，则bn400(1.08)n1，由题意可知an0.85bn，即250(n1
7、)50400(1.08)n10.85满足上述不等式的最小正整数n6.故到2015年年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.规律方法本题将实际问题抽象出一个数列问题，解决数列应用题的关键是读懂题意，建立数学模型，弄清问题的哪一部分是数列问题，是哪种数列在求解过程中应注意首项的确立，时间的推算不要在运算中出现问题跟踪演练3始于2007年初的美国次贷危机，至2008年中期，已经演变为全球金融危机受此拖累，国际原油价格从2008年7月每桶从最高的147美元开始大幅下跌，9月跌至每桶97美元你能求出7月到9月平均每月下降的百分比吗？若按此计算，到什么时间跌至谷底(即每桶34
8、美元)?解设每月平均下降的百分比为x，则每月的价格构成了等比数列an，记：a1147(7月份价格)，则8月份价格：a2a1(1x)147(1x)；9月份价格：a3a2(1x)147(1x)2.147(1x)297，解得x18.8%.即7月到9月平均每月下降的百分比为18.8%.设an34，则34147(118.8%)n1，解得n8.即从2008年7月算起第8个月，也就是2009年2月国际原油价格将跌至谷底(即34美元每桶)要点四等差数列与等比数列的综合应用例4设数列an的前n项和Snn2，数列bn满足bn(mN)(1)若b1，b2，b8成等比数列，试求m的值；(2)是否存在m，使得数列bn中存
9、在某项bt满足b1，b4，bt(tN，t5)成等差数列？若存在，请指出符合题意的m的个数；若不存在，请说明理由解当n2时，anSnSn1n2(n1)22n1，当n1时，a1S11；符合上式数列an的通项公式为an2n1.(1)由bn(mN)知，b1，b2，b8，b1，b2，b8成等比数列，()2，解之得：m9或m0(舍去)故m9.(2)若存在m，使b1，b4，bt成等差数列，则2b4b1bt，2，t7，由于m、tN且t5.令m536,18,9,6,4,3,2,1，即m41,23,14,11,9,8,7,6时，t均为大于5的整数存在符合题意的m值，且共有8个数规律方法(1)在等差数列与等比数列的
10、综合问题中，特别要注意它们的区别，避免用错公式(2)方程思想的应用往往是破题的关键跟踪演练4已知an是首项为19，公差为2的等差数列，Sn为an的前n项和(1)求通项公式an及Sn；(2)设bnan是首项为1，公比为3的等比数列，求数列bn的通项公式解(1)因为an是首项为19，公差为2的等差数列，所以an192(n1)2n21，即an2n21；Sn19n(2)n220n，即Snn220n.(2)因为bnan是首项为1，公比为3的等比数列，所以bnan3n1，即bn3n1an3n12n21.1在等比数列an中，a28，a564，则公比q为()A2 B3 C4 D8答案A解析由a5a2 q3，得
11、q38，所以q2.2在等比数列 an 中，an0，且a1a1027，log3a2log3a9等于()A9 B6 C3 D2答案C解析因为a2a9a1a1027，log3a2log3a9log3273.3在1与2之间插入6个正数，使这8个数成等比数列，则插入的6个数的积为_答案8解析设这8个数组成的等比数列为an，则a11，a82. 插入的6个数的积为a2a3a4a5a6a7(a2a7)(a3a6)(a4a5)(a1a8)3238.4已知an2n3n，判断数列an是否是等比数列？解不是等比数列a121315，a2223213，a3233335，a1a3a，数列an不是等比数列1.等比数列的“子数
12、列”的性质若数列an是公比为q的等比数列，则(1)an去掉前几项后余下的项仍组成公比为q的等比数列；(2)奇数项数列a2n1是公比为q2的等比数列；偶数项数列a2n是公比为q2的等比数列；(3)若kn成等差数列且公差为d，则akn是公比为qd的等比数列，也就是说等比数列中项的序号若成等差数列，则对应的项依次成等比数列2等比数列的单调性(1)当q1，a10或0q1，a11，a10或0q0时，等比数列an是递减数列；(3)当q1时，等比数列an是常数列；(4)当q0时，等比数列an是摆动数列3等比数列的设项法(1)一般地，当等比数列的项数为奇数时，可设中间一个数为a，再以公比为q向两边对称地设其项
13、；(2)当项数为偶数，公比大于零时，可设中间两项分别为，aq，再以公比为q2向两边对称地设其项一、基础达标1设等比数列的前三项依次为，则它的第四项是()A1 B. C. D.答案A解析q，a4a3q1.2已知各项均为正数的等比数列an中，lg(a3a8a13)6，则a1a15的值为()A100 B100 C10 000 D10 000答案C解析lg(a3a8a13)lga6，a106a8102100.又a1a15a10 000.3在正项等比数列an中，an1an，a2a86，a4a65，则等于()A. B. C. D.答案D解析设公比为q，则由等比数列an各项为正数且an1an知0q1的等比数
14、列，若a4，a5是方程4x28x30的两根，则a6a7_.答案18解析由题意得a4，a5，q3，a6a7(a4a5)q2()3218.6已知等差数列an的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2_.答案6解析由题意知，a3a14，a4a16.a1，a3，a4成等比数列，aa1a4，(a14)2(a16)a1，解得a18，a26.7已知等比数列bn与数列an满足bn3an(nN)(1)判断an是何种数列？并给出证明(2)若a8a13m，求b1b2b20.解(1)an为等差数列，证明如下：设数列bn的公比为q，则q0.bn3an，b13a1，bn3a1qn13an.等式两边取以3为底的对数得
15、anlog3(3a1qn1)a1(n1)log3q.数列an是以log3q为公差的等差数列(2)a1a20a8a13m，a1a2a2010m.b1b2b203a13a23a203a1a2a20310m.二、能力提升8已知各项均为正数的等比数列an中，a1a2a35，a7a8a910，则a4a5a6等于()A5 B7 C6 D4答案A解析a1a2a3a5，a2，又a7a8a9a10，a8，aa2a8，数列an各项均为正数，a550.a4a5a6a(50)35.9已知等比数列an中，各项都是正数，且a1，a3,2a2成等差数列，则等于()A1 B1C32 D32答案C解析设等比数列an的公比为q，
16、a1，a3,2a2成等差数列，a3a12a2，a1q2a12a1q，q22q10，q1.an0，q0，q1.q2(1)232.10已知等比数列an中，有a3a114a7，数列bn是等差数列，且b7a7，则b5b9_.答案8解析由等比数列的性质得a3a11a，a4a7.a70，a74.b7a74.再由等差数列的性质知b5b92b78.11等差数列an的前n项和为Sn，已知S3 a，且S1，S2，S4成等比数列，求an的通项公式解设an的公差为d.由S3 a，得3a2 a，故a20或a23.由S1，S2，S4成等比数列，得S S1S4.又S1a2d，S22a2d，S44a22d，故(2a2d)2(
17、a2d)(4a22d)若a20，则d22d2，所以d0，此时Sn0，不合题意；若a23，则(6d)2(3d)(122d)，解得d0或d2.因此an的通项公式为an3或an2n1.12在正项等比数列an中，a1a52a3a5a3a736，a2a42a2a6a4a6100，求数列an的通项公式解a1a5a32，a3a7a52，由条件，得a322a3a5a5236，a2a42a2a6a4a6100，同理得a322a3a5a52100，即解得或分别解得或ana1qn12n2或ana1qn126n.三、探究与创新13已知等差数列an的前n项和为Sn，且S1055，S20210.(1)求数列an的通项公式(2)设bn，是否存在m，k(km2，m，kN)使得b1，bm，bk成等比数列？若存在，请说明理由解(1)设等差数列an的公差为d，则Snna1d.由已知，得即解得所以ana1(n1)dn(nN)(2)假设存在m，k(km2，m，kN)使得b1，bm，bk成等比数列，则bb1bk.因为bn，所以b1，bm，bk，所以()2.整理，得k.因为k0，所以m22m10，解得1m1.因为m2，mN，所以m2，此时k8.故存在m2，k8使得b1，bm，bk成等比数列.
