1、数学 第5节 直线、平面垂直的判定与性质 数学 最新考纲 1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点,认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理.2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间垂直关系的简单命题.数学 知识链条完善 考点专项突破 解题规范夯实 数学 知识链条完善 把散落的知识连起来【教材导读】1.直线l与平面 内无数条直线垂直,则直线l 吗?提示:不一定,当这无数条直线相互平行时,l与不一定垂直.2.若平面 内有一条直线垂直于平面,则 吗?提示:垂直.3.若 ,则 内任意直线都与 垂直吗?提示:不一定,平面内只有垂直于交线的直线才与垂直.数学 知识梳理 1.直线与平面垂直(1)
2、直线和平面垂直的定义 直线l与平面 内的 直线都垂直,就说直线l与平面 互 相 .任意一条 垂直 数学 文字语言 图形语言 符号语言 判定 定理 一条直线与一个平面内的 都垂直,则该直线与此平面垂直 ,a babOlalb l 性质 定理 垂直于同一个平面的两条直线 ab ab(2)直线与平面垂直的判定定理及性质定理 两条相交直线 平行 数学(2)线面角 的范围 0,2 .2.直线与平面所成的角(1)定义 平面的一条斜线和它在平面上的 所成的 ,叫做这条直线和这个平面所成的角.如图,就是斜线AP与平面 所成的角.3.二面角、平面与平面垂直(1)二面角 二面角的定义:从一条直线出发的两个半平面所
3、组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱.这两个半平面叫做二面角的面.如图,记作:二面角l 或二面角AB 或二面角 P AB Q.射影 锐角 PAO 数学 二面角的平面角:在二面角l 的棱 l 上任取一点 O,以点 O 为垂足,在半平面 和 内分别作垂直于棱 l 的射线 OA 和 OB,则射线 OA 和 OB 构成的AOB 叫做二面角的平面角.(2)平面与平面的垂直 定义:一般地,两个平面相交,如果它们所成的二面角是 ,就说这两个平面互相垂直.直二面角 数学 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面过另一个平面的 ,则这两个平面垂直 ll 性质定理 两个平面互相垂直,则一个平面内垂
4、直于 的直线垂直于另一个平面 lalal 平面与平面垂直的判定定理与性质定理 垂线 交线 数学【重要结论】1.若两平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面.2.若两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行.3.若一条直线和两个不重合的平面都垂直,那么这两个平面平行.数学 夯基自测 1.(2014高考浙江卷)设m,n是两条不同的直线,是两个不同的平面()(A)若mn,n,则m (B)若m,则m (C)若m,n,n,则m (D)若mn,n,则m 解析:选项A,B,D中m与平面可能平行、相交或m在平面内;对于C,若m,n,则mn,而n,所以m.C 数学 2.设,是两个不同的平面,l是
5、一条直线,给出下列说法:若l,则l;若l,则l;若l,则l;若l,则l.其中说法正确的个数为()(A)1(B)2(C)3(D)0 解析:对于,l或l;对于,若l,则l,正确;对于,若l,则l或l或l或l与斜交,错误.A 数学 3.(2015天津市新华中学质检)设a,b是两条直线,是两个平面,则ab的一个充分条件是()(A)a,b,(B)a,b,(C)a,b,(D)a,b,解析:若b,所以b,又a,所以ba,即ab.C 数学 4.(2016武昌调研)给出下列四个命题:如果平面 平面,那么平面 内一定存在直线平行于平面;如果平面 不垂直于平面,那么平面 内一定不存在直线垂直于 平面;如果平面 平面
6、,平面 平面,=l,那么l平面;如果平面 平面,那么平面 内所有直线都垂直于平面.其中错误的命题是 .(写出所有错误命题的序号)解析:借助正方体很容易判断出是正确的,只有是错误的.答案:数学 5.边长为a的正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角,则AC的长为 .答案:a 解析:如图所示,取 BD 的中点 O,连接 AO,CO,则AOC 是二面角 A BD C的平面角,即AOC=90,又 AO=CO=22 a.所以 AC=2222aa=a,即折叠后 AC 的长(AC)为 a.数学 考点专项突破 在讲练中理解知识 考点一 直线与平面垂直的判定和性质【例1】(2014高考新课标全国卷)如图,三棱柱A
7、BC-A1B1C1中,侧面BB1C1C为菱形,B1C的中点为O,且AO平面BB1C1C.(1)证明:B1CAB;(1)证明:连接BC1,则O为B1C与BC1的交点.因为侧面BB1C1C为菱形,所以B1CBC1,又AO平面BB1C1C,所以B1CAO,故B1C平面ABO.由于AB平面ABO,故B1CAB.数学(2)若ACAB1,CBB1=60,BC=1,求三棱柱ABC-A1B1C1的高.(2)解:作 ODBC,垂足为 D,连接 AD,作 OHAD,垂足为 H,由于 BCAO,BCOD,故 BC平面 AOD,所以 OHBC.又 OHAD,所以 OH平面 ABC.因为CBB1=60,所以CBB1为等
8、边三角形,又 BC=1,可得 OD=34.由于 ACAB1,所以 OA=12B1C=12.由 OHAD=ODOA,且 AD=22ODOA=74,得 OH=2114.又 O 为 B1C 的中点,所以点 B1到平面 ABC 的距离为217,故三棱柱 ABC A1B1C1的高为217.数学 反思归纳 (1)证明线线垂直的常用方法 利用特殊图形中的垂直关系;利用等腰三角形底边中线的性质;利用勾股定理的逆定理;利用直线与平面垂直的性质.(2)证明线面垂直的常用方法 利用线面垂直的判定定理;利用“两平行线中的一条与平面垂直,则另一条也与这个平面垂直”;利用“一条直线垂直于两个平行平面中的一个,则与另一个也
9、垂直”;利用面面垂直的性质定理.数学【即时训练】(2015 高考四川卷)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示.(1)请将字母 F,G,H 标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由);(1)解:点 F,G,H 的位置如图所示.数学(2)解:平面 BEG平面 ACH,证明如下:因为 ABCD EFGH 为正方体,所以 BCFG,BC=FG,又 FGEH,FG=EH,所以 BCEH,BC=EH,于是四边形 BCHE 为平行四边形,所以 BECH.又 CH 平面 ACH,BE 平面 ACH,所以 BE平面 ACH.同理 BG平面 ACH.又 BEBG=B,所以平面 BEG平面 ACH
10、.(2)判断平面BEG与平面ACH的位置关系,并证明你的结论;数学(3)证明:连接 FH,因为 ABCD EFGH 为正方体,所以 DH平面 EFGH.因为 EG 平面 EFGH,所以 DHEG.又 EGFH,DHFH=H,所以 EG平面 BFHD.又 DF 平面 BFHD,所以 DFEG.同理 DFBG.又 EGBG=G,所以 DF平面 BEG.(3)证明:直线DF平面BEG.数学 考点二 平面与平面垂直的判定和性质 考查角度1:面面垂直的判定.高考扫描:2015高考新课标全国卷,2012高考新课标全国卷.【例2】(2015高考新课标全国卷)如图,四边形ABCD为菱形,G为AC与BD的交点,
11、BE平面ABCD.(1)证明:平面AEC平面BED;(1)证明:因为四边形ABCD为菱形,所以ACBD.因为BE平面ABCD,所以ACBE.故AC平面BED.又AC平面AEC,所以平面AEC平面BED.数学(2)若ABC=120,AEEC,三棱锥 E-ACD 的体积为63,求该三棱锥的侧面积.(2)解:设 AB=x,在菱形 ABCD 中,由ABC=120,可得 AG=GC=32 x,GB=GD=2x.因为 AEEC,所以在 RtAEC 中,可得 EG=32 x.由 BE平面 ABCD,知EBG 为直角三角形,可得 BE=22 x.由已知得,三棱锥 E ACD 的体积EACDV=13 12ACG
12、DBE=624 x3=63.故 x=2.从而可得 AE=EC=ED=6.所以EAC 的面积为 3,EAD 的面积与ECD 的面积均为5.故三棱锥 E ACD 的侧面积为 3+25.数学 反思归纳 (1)面面垂直的证明方法 定义法:利用面面垂直的定义,即判定两平面所成的二面角为直二面角,将证明面面垂直问题转化为证明平面角为直角的问题.定理法:利用面面垂直的判定定理,即证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线,把问题转化成证明线线垂直加以解决.(2)三种垂直关系的转化 线线垂直线面垂直面面垂直 数学 考查角度 2:面面垂直性质的应用.高考扫描:2013 高考全国新课标卷【例 3】(2015 高考重
13、庆卷改编)如图,三棱锥 P ABC 中,平面 PAC平面 ABC,ABC=2,点 D,E 在线段 AC 上,且 AD=DE=EC=2,PD=PC=4,点F 在线段 AB 上,且 EFBC.证明:AB平面 PFE.数学 证明:由 DE=EC,PD=PC 知,E 为等腰PDC 中 DC 边的中点,故 PEAC.又平面 PAC平面 ABC,平面 PAC平面 ABC=AC,PE 平面 PAC,PEAC,所以 PE平面 ABC,从而 PEAB.因为ABC=2,EFBC,故 ABEF.从而 AB 与平面 PFE 内两条相交直线 PE,EF 都垂直,所以 AB平面 PFE.数学 反思归纳 面面垂直性质的应用
14、(1)两平面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据,运用时要注意“平面内的直线”.(2)两个相交平面同时垂直于第三个平面,它们的交线也垂直于第三个平面.数学 线面角与二面角的求法 考点三 【例 4】(2015 天津模拟)如图,在四棱锥 P ABCD 中,PA底面 ABCD,ABAD,ACCD,ABC=60,PA=AB=BC,E 是 PC 的中点.(1)求 PB 和平面 PAD 所成的角的大小;(1)解:在四棱锥 P ABCD 中,因为 PA底面 ABCD,AB 平面 ABCD,所以 PAAB.又 ABAD,PAAD=A,所以 AB平面 PAD,所以APB 是 PB 与平面 PAD 所成
15、的角.在 RtPAB 中,AB=PA,所以APB=45,所以 PB 和平面 PAD 所成的角的大小为 45.数学(2)证明AE平面PCD;(2)证明:在四棱锥P-ABCD中,因为PA底面ABCD,CD平面ABCD,所以CDPA.由条件CDAC,PAAC=A,所以CD平面PAC.又AE平面PAC,所以AECD.由PA=AB=BC,ABC=60,得AC=PA.因为E是PC的中点,所以AEPC.又PCCD=C,所以AE平面PCD.数学(3)求二面角A-PD-C的正弦值.(3)解:过点 E 作 EMPD,则 AM 在平面 PCD 上的射影是 EM,则 AMPD,所以AME 是二面角 A PD C 的平
16、面角,由已知得CAD=30,设 AC=a,得 PA=a,AD=2 33a,PD=213a,AE=22 a.在 RtADP 中,因为 AMPD,所以 AMPD=PAAD,所以 AM=PA ADPD=2 33213aaa=2 77a,在 RtAEM 中,sinAME=144,所以二面角 A PD C 的正弦值为144.数学 反思归纳 空间线面角、二面角的求法(1)线面角的求法:找出斜线在平面上的射影,作出垂线,确定垂足.(2)二面角的求法 直接法:根据概念直接作,如二面角的棱是两个等腰三角形的公共底边,就可以取棱的中点.垂面法:过二面角棱上一点作棱的垂面,则垂面与二面角的两个半平面的交线所成的角就
17、是二面角的平面角或其补角.垂线法:过二面角的一个半平面内一点A,作另一个半平面的垂线,垂足为B,再从垂足B向二面角的棱作垂线,垂足为C,连接AC,则ACB就是二面角的平 面角或其补角.数学【即时训练】(2016 合肥模拟)如图所示,三棱柱 ABC A1B1C1的底面是边长为 2的正三角形且侧棱垂直于底面,侧棱长是3,D 是 AC 的中点.(1)求证:B1C平面 A1BD;(1)证明:设 AB1与 A1B 相交于点 P,连接 PD,则 P 为 AB1中点,因为 D 为 AC 中点,所以 PDB1C.又因为 PD 平面 A1BD,B1C 平面 A1BD,所以 B1C平面 A1BD.数学(2)解:因
18、为 AA1底面 ABC,所以 AA1BD.又因为 BDAC,所以 BD平面 A1ACC1,所以A1DA 就是二面角 A1 BD A 的平面角.因为 AA1=3,AD=12AC=1,所以 tanA1DA=1AAAD=3,所以A1DA=3,即二面角 A1 BD A 的大小是 3.(2)求二面角A1-BD-A的大小;数学(3)解:由(2)作 AMA1D,M 为垂足,因为 BDAC,平面 A1ACC1平面 ABC,平面 A1ACC1平面 ABC=AC,所以 BD平面 A1ACC1.因为 AM 平面 A1ACC1,所以 BDAM.因为 A1DBD=D,所以 AM平面 A1DB,连接 MP,则APM 就是
19、直线 AB1与平面 A1BD 所成的角.因为 AA1=3,AD=1,所以在 RtAA1D 中,A1DA=3,所以 AM=1sin 60=32,AP=12AB1=72,所以 sinAPM=AMAP=3272=217,所以直线 AB1与平面 A1BD 所成的角的正弦值为217.(3)求直线AB1与平面A1BD所成的角的正弦值.数学 备选例题 【例题】如图所示,在边长为4的菱形ABCD中,DAB=60.点E,F分别在边CD,CB上,点E与点C,D不重合,EFAC于点O.沿EF将CEF翻折到PEF的位置,使平面PEF平面ABFED.(1)求证:BD平面POA;(1)证明:因为菱形ABCD的对角线互相垂
20、直,所以BDAC,所以BDAO.因为EFAC,所以POEF.因为平面PEF平面ABFED,平面PEF平面ABFED=EF,且OP平面PEF,所以PO平面ABFED.因为BD平面ABFED,所以POBD.因为AOPO=O,又BDAO,所以BD平面POA.数学(2)解:设 AOBD=H,因为DAB=60,所以BDA 为等边三角形,故 BD=4,HB=2,HA=23.设 PO=x,如图,连接 OB,PH,则 OH=23-x,OA=43-x.由 OHBD,则 OB2=OH2+BH2=(23-x)2+22.由(1)知,PO平面 BFED,则 POOB,所以 PB=22OBOP=222(2 3)2xx=2
21、2(3)10 x,当 x=3 时,PBmin=10,此时 PO=3.所以当 PB 取得最小值时,-P BFEDV四棱锥=13S 梯形 BFEDPO=13(34 42-34 22)3=3.(2)当PB取得最小值时,求四棱锥P-BFED的体积.数学 解题规范夯实 把典型问题的解决程序化 立体几何中折叠问题的求解策略【典例】(2013 高考广东卷)如图(1),在边长为 1 的等边三角形 ABC 中,D,E分别是 AB,AC 边上的点,AD=AE,F 是 BC 的中点,AF 与 DE 交于点 G,将ABF沿 AF 折起,得到如图(2)所示的三棱锥 A BCF,其中 BC=22.(1)证明:DE平面 B
22、CF;(2)证明:CF平面 ABF;(3)当 AD=23时,求三棱锥 F DEG 的体积FDEGV.数学 审题点拨 关键点 所获信息 折叠后 AB=AC,AD=AE ADAB=AEAC得 DEBC BF=CF=12,BC=22 BC2=BF2+CF2,得 BFCF AD=23,AB=1,BF=CF=12,AF=32 且 DGBF DGBF=AGAF=ADAB=23,求得 DG=EG=13,AG=33,求 SDEG和 FG 解题突破:利用线面平行的判定和线面垂直的判定得(1)(2);再利用数据求得体积 数学 满分展示:(1)在折叠后的图形中,因为 AB=AC,AD=AE,所以 ADAB=AEAC
23、,所以 DEBC.2 分 因为 DE 平面 BCF,BC 平面 BCF,所以 DE平面 BCF.4 分(2)在折叠前的图形中,因为ABC 为等边三角形,BF=CF,所以 AFBC,则在折叠后的图形中,AFBF,AFCF.又 BF=CF=12,BC=22,所以 BC2=BF2+CF2,所以 BFCF.7 分 又 BFAF=F,BF 平面 ABF,AF 平面 ABF,所以 CF平面 ABF.9 分 数学(3)由(1)知,平面 DEG平面 BCF,由(2)知,AFBF,AFCF,又 BFCF=F,所以 AF平面 BCF,所以 AF平面 DEG,即 GF平面 DEG.11 分 在折叠前的图形中,AB=
24、1,BF=CF=12,AF=32.由 AD=23知 ADAB=23,又 DGBF,所以 DGBF=AGAF=ADAB=23,所以 DG=EG=23 12=13,AG=2332=33,所以 FG=AF-AG=36.13 分 故三棱锥 F DEG 的体积为F DEGV三棱锥=13SDEGFG=13 12(13)236=3324.14 分 数学 答题模板:第一步:确定折叠前后的各量之间的关系,搞清折叠前后的变化量和不变量.第二步:在折叠后的图形中确定线和面的位置关系,明确需要用到的线面.第三步:利用判定定理或性质定理进行证明.第四步:利用所给数据求边长和面积等,进而求表面积、体积.数学 点击进入课时训练数学
