1、第1讲 概 率 专题七 概率与统计 高考真题体验 热点分类突破 高考押题精炼 栏目索引 高考真题体验 1 2 3 41.(2015课标全国)如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为()A.310B.15C.110D.120解析 从1,2,3,4,5中任取3个不同的数共有如下10个不同的结果：(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，其中勾股数只有(3,4,5)，所以概率为
2、110.故选 C.C1 2 3 42.(2014陕西)从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为()A.15B.25C.35D.45解析 取两个点的所有情况为10，所有距离不小于正方形边长的情况有6种，概率为 61035.故选 C.C25C1 2 3 43.(2015重庆)在区间0,5上随机地选择一个数p，则方程x22px3p20有两个负根的概率为_.解析 方程x22px3p20有两个负根，则有0，x1x20，x1x20，即4p243p20，2p0，3p20，1 2 3 4解得 p2 或23p1，又 p0,5，则所求概率为 P3135 1035
3、23.答案 231 2 3 44.(2014福建)如图，在边长为1的正方形中随机撒1 000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为_.解析 由题意知，这是个几何概型问题，S阴S正 1801 0000.18，S 正1，S 阴0.18.0.18 考情考向分析 1.以选择题、填空题的形式考查古典概型、几何概型的基本应用.2.将古典概型与概率的性质相结合，考查知识的综合应用能力.热点一 古典概型热点分类突破 1.古典概型的概率：P(A)mnA中所含的基本事件数基本事件总数.2.古典概型的两个特点：所有可能出现的基本事件只有有限个；每个基本事件出现的可能性相等.例1(2014天津)某校
4、夏令营有3名男同学A，B，C和3名女同学X，Y，Z，其年级情况如下表：一年级 二年级 三年级 男同学 A B C 女同学 X Y Z 现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛(每人被选到的可能性相同).(1)用表中字母列举出所有可能的结果；解 从6名同学中随机选出2人参加知识竞赛的所有可能结果为A，B，A，C，A，X，A，Y，A，Z，B，C，B，X，B，Y，B，Z，C，X，C，Y，C，Z，X，Y，X，Z，Y，Z，共15种.(2)设M为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，求事件M发生的概率.解 选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学的所有可能结果为A，Y，A，
5、Z，B，X，B，Z，C，X，C，Y，共6种.因此，事件 M 发生的概率 P(M)61525.思维升华 求古典概型概率的步骤：(1)反复阅读题目，收集题目中的各种信息，理解题意；(2)判断试验是否为古典概型，并用字母表示所求事件；(3)利用列举法求出总的基本事件的个数n及事件A中包含的基本事件的个数m；(4)计算事件 A 的概率 P(A)mn.跟踪演练1(1)有两张卡片，一张的正反面分别写着数字0与1，另一张的正反面分别写着数字2与3，将两张卡片排在一起组成一个两位数，则所组成的两位数为奇数的概率是()A.16B.13 C.12D.38解析 能组成的两位数有12,13,20,30,21,31，共
6、6个，其中的奇数有13,21,31，共3个，因此所组成的两位数为奇数的概率是3612，故选 C.C(2)甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b，其中a，b1,2,3,4,5,6，若|ab|1，就称甲乙“心有灵犀”.现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为()A.1136B.518 C.16D.49解析 根据题目条件知所有的数组(a，b)共有6236组，而满足条件|ab|1的数组(a，b)有：(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)，(1,2)，(2,1)，(2,3)，(3,2)，(3,4)，(4
7、,3)，(4,5)，(5,4)，(5,6)，(6,5)，共有16组，根据古典概型的概率公式知所求的概率为 P163649.故选 D.答案 D 热点二 几何概型1.几何概型的概率公式：P(A)构成事件A的区域长度面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积.2.几何概型应满足两个条件：基本事件的无限性和每个基本事件发生的等可能性.例 2(1)(2015山东)在区间0,2上随机地取一个数 x，则事件“1log 12 x12 1”发生的概率为()A.34B.23C.13D.14解析 由1log 12 x12 1，得12x122，0 x32.由几何概型的概率计算公式得所求概率 P3202034.
8、A(2)在区间1,5和2,4上分别取一个数,记为 a，b，则方程x2a2y2b21 表示焦点在 x 轴上且离心率小于 32 的椭圆的概率为()A.12B.1532 C.1732D.3132解析 方程x2a2y2b21 表示焦点在 x 轴上，且离心率小于 32 的椭圆时，有a2b2，a2b2ab2，a2b，a2b.又a1,5，b2,4，画出满足不等式组的平面区域，如图阴影部分所示，求得阴影部分的面积为154，故 PS阴影241532.答案 B 思维升华 当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积、弧长、夹角等时，应考虑使用几何概型求解；利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生
9、的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域.跟踪演练 2(1)在区间3,3上随机取一个数 x，使得函数 f(x)1x x31 有意义的概率为_.解析 由 1x0，x30，得 f(x)的定义域为3,1，由几何概型的概率公式，得所求概率为 P133323.23(2)在棱长为2的正方体内任取一点，则该点到正方体中心的距离不大于1的概率为()A.6B.4C.3D.2解析 若点到正方体中心的距离不大于1，则该点位于以正方体的中心为球心,半径为1的球内或球面上,所以所求概率为 P438 6.A热点三 互斥事件与对立事件1.事件A，B互斥，那么事件AB发生(即A，B中有一个发生)的概率，等于
10、事件A，B分别发生的概率的和，即P(AB)P(A)P(B).2.在一次试验中，对立事件 A 和 A不会同时发生，但一定有一个发生，因此有 P(A)1P(A).例3 某商场在元旦举行购物抽奖促销活动，规定顾客从装有编号为0,1,2,3,4的五个相同小球的抽奖箱中一次任意摸出两个小球，若取出的两个小球的编号之和等于7则中一等奖，等于6或5则中二等奖，等于4则中三等奖，其余结果为不中奖.(1)求中二等奖的概率；解 记“中二等奖”为事件A.从五个小球中一次任意摸出两个小球，不同的结果有0,1，0,2，0,3，0,4，1,2，1,3，1,4，2,3，2,4，3,4，共10个基本事件.记两个小球的编号之和
11、为x，由题意可知，事件A包括两个互斥事件：x5，x6.事件x5的取法有2种，即1,4，2,3，故 P(x5)21015；事件 x6 的取法有 1 种，即2,4，故 P(x6)110.所以 P(A)P(x5)P(x6)15 110 310.(2)求不中奖的概率.解 记“不中奖”为事件 B，则“中奖”为事件 B，由题意可知，事件 B 包括三个互斥事件：中一等奖(x7)，中二等奖(事件 A)，中三等奖(x4).事件 x7 的取法有 1 种，即3,4，故 P(x7)110；事件x4的取法有0,4，1,3，共2种，故 P(x4)21015.由(1)可知，P(A)310.所以 P(B)P(x7)P(x4)
12、P(A)11015 31035.所以不中奖的概率为 P(B)1P(B)13525.思维升华 事件的互斥和对立是既有联系又有区别的两个概念，要充分利用对立事件是必然有一个发生的互斥事件.在判断这些问题时，先要判断两个事件是不是互斥事件(即是否不可能同时发生)，然后判断这两个事件是不是对立事件(即是否必然有一个发生).在解答与两个事件有关的问题时一定要仔细斟酌，全面考虑，防止出现错误.跟踪演练 3(1)设事件 A，B，已知 P(A)15，P(B)13，P(AB)815，则 A，B 之间的关系一定为()A.两个任意事件B.互斥事件 C.非互斥事件D.对立事件 解析 因为 P(A)P(B)1513 8
13、15P(AB)，所以A，B之间的关系一定为互斥事件.B(2)盒子中装有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九个球，从中任意取出 两 个，则 这 两 个 球 的 编 号 之 积 为 偶 数 的 概 率 是_(结果用最简分数表示).解析 九个数的编号中有5个奇数，4个偶数，两个球的编号之积为奇数的概率为1036 518，所以所求概率为 1 5181318.1318高考押题精练 1 2 3 41.将一骰子抛掷两次，所得向上的点数分别为 m 和 n，则函数 y23mx3nx1 在1，)上为增函数的概率是()A.12B.56C.34D.23押题依据 古典概型是高考考查概率问题的核心，考查频率很高；
14、古典概型和函数、方程、不等式、向量等知识的交汇是高考命题的热点.1 2 3 4解析 将一骰子抛掷两次，所得向上的点数(m，n)的所有事件为(1,1)，(1,2)，(6,6)，共36个.由题可知，函数 y23mx3nx1 在1，)上单调递增，所以y2mx2n0在1，)上恒成立，所以2mn，则不满足条件的(m，n)有(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，共6种情况，所以满足条件的共有30种情况，1 2 3 4则函数 y23mx3nx1 在1，)上单调递增的概率为303656.答案 B 1 2 3 42.已知集合Mx|1x4，xR，Nx|x23x20，在集合M中任取
15、一个元素x，则“xMN”的概率是()A.15B.14 C.16D.12押题依据 与长度(角度、弧度、周长等)有关的几何概型问题也是高考命题的热点，在高考中多以选择题或填空题的形式出现，题目难度不大.1 2 3 4解析 因为Mx|1x4，xR(1,4)，Nx|x23x201,2，所以MN1,2，所以“xMN”的概率是211415.答案 A 1 2 3 43.在一种游戏规则中规定，要将一枚质地均匀的铜板扔到一个边长为8的小方块上(铜板的直径是4)，若铜板完整地扔到小方块上即可晋级.现有一人把铜板扔在小方块上，晋级的概率P为()A.164B.116 C.18D.14押题依据 与面积有关的几何概型问题
16、是高考考查的重点，常以圆、三角形、四边形等几何图形为载体，在高考中多以选择题或填空题的形式出现，难度中等偏下.1 2 3 4解析 由题意分析，知铜板要完整地落在小方块上，则铜板圆心到小方块各边的最短距离不小于铜板半径，所以晋级的概率 P428214.答案 D 1 2 3 44.抛掷一枚均匀的正方体骰子(各面分别标有数字1,2,3,4,5,6)，事件A表示“朝上一面的数是奇数”，事件B表示“朝上一面的数不超过2”，则P(AB)_.押题依据 事件之间关系的正确判断是解题的基础，将复杂事件拆分成n个互斥事件的和可以更方便求解事件的概率，体现了化归思想.1 2 3 4解析 将事件AB分为：事件C“朝上一面的数为1,2”与事件D“朝上一面的数为3,5”，则 C，D 互斥，且 P(C)13，P(D)13，P(AB)P(CD)P(C)P(D)23.答案 23谢谢观看 更多精彩内容请登录：
