1、馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。单元评估检测(八)第八章(120分钟150分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.过点P(1,3)且在x轴上的截距和在y轴上的截距相等的直线方程为()A.x+y-4=0B.3x-y=0C.x+y-4=0或3x+y=0D.x+y-4=0或3x-y=0【解析】选D.若直线过原点,设直线方程为y=kx,把点P(1,3)代入得k=3,此时直线为y=3x,即3x-y=0,若直线不经过原点,设直线方程为+=1,即x
2、+y=a,把点P(1,3)代入得a=4,所以直线方程为x+y=4,即x+y-4=0,所以选D.2.(2016临沂模拟)已知椭圆的对称轴是坐标轴,离心率为,长轴长为12,则椭圆方程为()A.+=1或+=1B.+=1C.+=1或+=1D.+=1或+=1【解析】选C.由条件知a=6,e=,所以c=2,所以b2=a2-c2=32.3.(2016枣庄模拟)已知双曲线-=1(a0,b0)的一个焦点到一条渐近线的距离为c(c为双曲线的半焦距长),则双曲线的离心率为()A.B.C.D.3【解析】选C.由条件知,=c,所以=,所以4b2=5a2,因为a2+b2=c2,所以4c2=9a2,所以e=.4.方程x2+
3、xy=x表示的曲线是()A.一个点B.一条直线C.两条直线D.一个点和一条直线【解析】选C.由x2+xy=x得x(x+y-1)=0,即x=0或x+y-1=0,为两条直线.5.(2016莱芜模拟)已知圆C:(x+1)2+(y-1)2=1与x轴切于A点,与y轴切于B点,设劣弧AB的中点为M,则过点M的圆C的切线方程是()A.y=x+2-B.y=x+1-C.y=x-2+D.y=x+1-【解析】选A.由已知得M,又切线斜率为1,故切线方程为y+-1=x-+1,即y=x+2-.6.(2015天津高考)已知双曲线-=1的一条渐近线过点,且双曲线的一个焦点在抛物线y2=4x的准线上,则双曲线的方程为 ()A
4、.-=1B.-=1C.-=1D.-=1【解析】选D.双曲线-=1的渐近线为aybx=0,该渐近线过点,所以ba=2.又因为抛物线y2=4x的准线为x=-,所以双曲线的焦点为(,0),(-,0).所以a2+b2=7,所以a2=4,b2=3,所以双曲线方程为-=1.【加固训练】(2016长春模拟)如图,F1,F2是双曲线C1:x2-=1与椭圆C2的公共焦点,点A是C1,C2在第一象限的公共点,若|F1F2|=|F1A|,则C2的离心率是()A.B.C.或D.【解析】选B.设椭圆方程为+=1(ab0),由题意得,|AF1|=|F1F2|=2c=2=4,所以c=2,|AF1|-|AF2|=2,所以|A
5、F2|=2,所以2a=|AF1|+|AF2|=6,所以a=3,所以e=.7.(2016聊城模拟)若F1,F2分别是椭圆+=1的左、右焦点,M是椭圆上的任意一点,且MF1F2的内切圆的周长为3,则满足条件的点M的个数为()A.2B.4C.6D.不确定【解题提示】由内切圆的周长为3可确定内切圆的半径,然后利用面积相等确定点M的纵坐标,进而确定M点的个数.【解析】选A.由MF1F2的内切圆的周长为3得,内切圆的半径r=,所以MF1F2的面积为(|MF1|+|MF2|+|F1F2|)r=|F1F2|yM|,即(10+6)=6|yM|,得|yM|=4,所以满足条件的点M是短轴的2个端点.【加固训练】(2
6、016赣州模拟)设集合A=,B=(x,y)|y=3x,则AB的子集的个数是()A.4B.3C.2D.1【解析】选A.指数函数y=3x的图象与椭圆+=1有两个交点,所以AB中有2个元素,所以其子集有22=4个.8.已知抛物线y2=2px(p0)与双曲线-=1(a0,b0)的两条渐近线分别交于两点A,B(A,B异于原点),抛物线的焦点为F.若双曲线的离心率为2,|AF|=7,则p=()A.3B.6C.12D.42【解题提示】由双曲线的离心率可求出双曲线的渐近线方程,从而可求出A,B两点的坐标,然后利用抛物线的定义可求p的值.【解析】选B.因为双曲线的离心率为2,所以e2=4,即b2=3a2,所以双
7、曲线-=1(a0,b0)的两条渐近线方程为y=x,代入y2=2px(p0),得x=p或x=0,故xA=xB=p,又因为|AF|=xA+=p+=7,所以p=6.9.(2016烟台模拟)已知圆O:x2+y2-4=0,圆C:x2+y2+2x-15=0,若圆O的切线l交圆C于A,B两点,则OAB面积的取值范围是()A.B.C.D.【解析】选A.圆O的切线l交圆C于A,B两点,则OAB的面积S=ABr,圆O:x2+y2-4=0的半径为r=2,AB是圆C:x2+y2+2x-15=0的弦长,圆C:x2+y2+2x-15=0的圆心C(-1,0),半径为4,圆心C到AB的距离最小时,AB最大,圆心C到AB的距离
8、最大时,AB最小,如图,AB的最小值为:2=2;AB的最大值为:2=2;所以OAB面积的最小值为:22=2.OAB面积的最大值为:22=2.所以OAB面积的取值范围是.10.我们把焦点相同,且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”.已知F1,F2是一对“相关曲线”的焦点,P是它们在第一象限的交点,当F1PF2=60时,这一对“相关曲线”中双曲线的离心率是()A.B.C.D.2【解析】选A.设椭圆的长半轴为a1,椭圆的离心率为e1,则e1=,a1=.双曲线的实半轴为a,双曲线的离心率为e,e=,a=.设|PF1|=x,|PF2|=y(xy0),则由余弦定理得4c2=x2+y2-2xyc
9、os60=x2+y2-xy,当点P看成是椭圆上的点时,有4c2=(x+y)2-3xy=4-3xy,当点P看成是双曲线上的点时,有4c2=(x-y)2+xy=4a2+xy,两式联立消去xy得4c2=+3a2,即4c2=+3,所以+3=4,又因为=e,所以e2+=4,整理得e4-4e2+3=0,解得e2=3,所以e=,即双曲线的离心率为.【加固训练】(2016孝感模拟)已知点F1,F2是双曲线-=1(a0,b0)的左、右两焦点,若双曲线左支上存在点P与点F2关于直线y=x对称,则双曲线的离心率为()A.B.C.2D.【解析】选D.过焦点F2且垂直渐近线y=x的直线方程为:y-0=-(x-c),联立
10、渐近线方程y=x与y-0=-(x-c),解得x=,y=,故对称中心的点坐标为,由中点坐标公式可得点F2的对称点P的坐标为,将其代入双曲线的方程可得-=1,化简可得c2=5a2,故可得e=.二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.请把正确答案填在题中横线上)11.(2016莱芜模拟)直线y=kx+3与圆(x-3)2+(y-2)2=4相交于M,N两点,若|MN|2,则k的取值范围是.【解析】设圆心(3,2)到直线y=kx+3的距离为d,由弦长公式得,|MN|=22,故0d1,即1,化简得k0,所以-k0.答案:12.(2015湖南高考)设F是双曲线C:-=1的一个焦点.若C上存在点P,使
11、线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点,则C的离心率为.【解析】根据对称性,不妨设F(c,0),虚轴一个端点为(0,b),从而可知点(-c,2b)在双曲线上,所以-=1e=.答案:13.(2015浙江高考)椭圆+=1(ab0)的右焦点F(c,0)关于直线y=x的对称点Q在椭圆上,则椭圆的离心率是.【解题提示】利用已知条件求出点Q的坐标,从而求出a, b,c的关系.【解析】设F(c,0)关于直线y=x的对称点为Q(m,n),则有解得m=,n=,所以Q在椭圆上,即有+=1,解得a2=2c2,所以离心率e=.答案:【加固训练】已知椭圆C:+=1,点M与椭圆C的焦点不重合.若M关于椭圆C的焦点的对称点分别
12、为A,B,线段MN的中点在椭圆C上,则|AN|+|BN|=.【解析】如图,设MN的中点为P,由题意可知,PF1,PF2分别为AMN,BMN的中位线,所以|AN|+|BN|=2(|PF1|+|PF2|)=24=8.答案:814.抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,M是抛物线C上的点,若三角形OFM的外接圆与抛物线C的准线相切,且该圆的面积为36,则p的值为.【解析】设OFM的外接圆圆心为O1,则|O1O|=|O1F|=|O1M|,所以O1在线段OF的中垂线上,又因为O1与抛物线的准线相切,所以O1在抛物线上,所以O1,又因为圆面积为36,所以半径为6,所以+p2=36,所以p=8.答案:8
13、15.若方程+=1所表示的曲线C,给出下列四个命题:若C为椭圆,则1t4或t1;曲线C不可能是圆;若C表示椭圆,且长轴在x轴上,则1t0,t-10且4-tt-1,解得1t4且t,所以不正确;若C为双曲线,则有(4-t)(t-1)4或tt-10,解得1tb0),离心率e=,且过点.(1)求椭圆方程.(2)RtABC以A(0,b)为直角顶点,边AB,BC与椭圆交于B,C两点,求ABC面积的最大值.【解析】(1)由e=,即=,又a2-b2=c2,得a=3b,把点代入椭圆方程可得:+=1b=1,所以椭圆方程为:+y2=1.(2)不妨设直线AB的方程为y=kx+1,则直线AC的方程为y=-x+1,由得(
14、1+9k2)x2+18kx=0xB=,把k用-代换,可得xC=,从而有|AB|=,|AC|=,于是SABC=|AB|AC|=162=162.令t=k+2,有SABC=,当且仅当t=2时,(SABC)max=.19.(12分)(2016烟台模拟)已知椭圆C:+=1(ab0)的离心率为,右焦点为F,右顶点A在圆F:(x-1)2+y2=r2(r0)上.(1)求椭圆C和圆F的方程.(2)已知过点A的直线l与椭圆C交于另一点B,与圆F交于另一点P.请判断是否存在斜率不为0的直线l,使点P恰好为线段AB的中点,若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由.【解析】(1)由题意可得c=1,又由题意可得=,所
15、以a=2,所以b2=a2-c2=3,所以椭圆C的方程为+=1,所以椭圆C的右顶点为A(2,0),代入圆F的方程,可得r2=1,所以圆F的方程为(x-1)2+y2=1.(2)假设存在直线l:y=k(x-2)(k0)满足条件,由得(4k2+3)x2-16k2x+16k2-12=0.设B(x1,y1),则2+x1=,可得中点P,由点P在圆F上可得+=1,化简整理得k2=0,又因为k0,所以不存在满足条件的直线l.【一题多解】解决本题(2)还有如下方法:假设存在直线l满足题意,由(1)可得OA是圆F的直径,所以OPAB.由点P是AB的中点,可得|OB|=|OA|=2.设点B(x1,y1),则由题意可得
16、+=1.又因为直线l的斜率不为0,所以4,所以|OB|2=+=+3=3+0,设A,B,则x1+x2=,x1x2=, y1+y2=-(x1+x2)+2b=,所以线段AB的中点M,将点M的坐标代入直线方程y=mx+,解得b=-,由解得m.(2)令t=,则=,且O到直线AB的距离为d=,设AOB的面积为S(t),所以S(t)=d=,当且仅当t2=时,等号成立,故AOB面积的最大值为.21.(14分)一种画椭圆的工具如图1所示.O是滑槽AB的中点,短杆ON可绕O转动,长杆MN通过N处铰链与ON连接,MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动,且DN=ON=1,MN=3.当栓子D在滑槽AB内作往复运动时,带动N绕O
17、转动,M处的笔尖画出的椭圆记为C.以O为原点,AB所在的直线为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系.(1)求椭圆C的方程.(2)设动直线l与两定直线l1:x-2y=0和l2:x+2y=0分别交于P,Q两点.若直线l总与椭圆C有且只有一个公共点,试探究:OPQ的面积是否存在最小值?若存在,求出该最小值;若不存在,说明理由.【解析】(1)因为|OM|MN|+|NO|=3+1=4,当M,N在x轴上时,等号成立;同理|OM|MN|-|NO|=3-1=2,当D,O重合,即MNx轴时,等号成立.所以椭圆C的中心为原点O,长半轴长为4,短半轴长为2,其方程为+=1.(2)当直线l的斜率不存在时,直线l为x=4
18、或x=-4,都有SOPQ=44=8.当直线l的斜率存在时,设直线l:y=kx+m,由消去y,可得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-16=0.因为直线l总与椭圆C有且只有一个公共点,所以=64k2m2-4(1+4k2)(4m2-16)=0,即m2=16k2+4.又由可得P,同理可得Q.由原点O到直线PQ的距离为d=和|PQ|=|xP-xQ|,可得SOPQ=|PQ|d=|m|xP-xQ|=|m|=.将代入得,SOPQ=8.当k2时,SOPQ=8=88;当0k2时,SOPQ=8=8.因0k2,则01-4k21,2,所以SOPQ=88,当且仅当k=0时取等号.所以当k=0时,SOPQ的最小值为8.综上可知,当直线l与椭圆C在四个顶点处相切时,OPQ的面积取得最小值8.关闭Word文档返回原板块
