1、2023年赣州市十八县（市、区）二十三校期中联考高三数学试卷注意事项：L答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。4本试卷主要考试内容：集合与常用逻辑用语、函数与导数、不等式、角函数与解角形、平面向量、复数、数列、立体儿何与空间向量。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 命题“对任意xE-凡，x2
2、 的个位数字不等于2”的否定是A.xE.N忑的个位数字等千2B.3xEN十，x2 的个位数字不等于2C.VxEN土的个位数字等于2D.Vx(/:N十 王的个位数字不等于22 设集合U=R,M位Ix0，则Cuo,bO，则”“+b4”是“ab4”的A允分必要条件B 充分不必要条件C必要不充分条件D 既不充分也不必要条件7某工新购置并安装了先进的废气处埋设备使产生的废气经过过滤后排放，以减少对空气的污染已知过滤过程中废气的污染物数量扒单位：mg儿）与过滤时间t（单位：h）的关系为扒t)=Pue比 化。次是正常数），若经过10 h过滤后消除 f 20脉的污染物，则污染物减少50大约需要参考数据：log
3、为2.322)A.30.hB.31 hC 32 h D.33 h高三数学第1页（共4页）8.巳知函数f位）的定义域为R,I.（1-2x)为偶函数，j（x-1)为奇函数，则A.f(O)=OB.f(-2)=0C.J(-3)=0D.f(-5)=0二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9.已知函数/(x)=sin(x一千）1，则A.J(r)的砐小正周期为2穴B.f位）的图象关于直线x=f对称C.f(x）的图象关于（千l)中心对称5 D.f位）在区间(0,六）上单调递增6 10 若数列a,1满足：对任意正
4、整数n,a,+1-a,为等差数列，则称数列an 为“二阶等差数列 若a,，不是等比数列，但也中存在不相同的二项可以构成等比数列，则称an 是局部等比数列，给出下列数列a,，其中既是“二阶等差数列“，又是局部等比数列的是A.a,=lB.a,=nC.a,卅D.an=丘11 如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1比ClD1中，M,N分别是AC,AB上的动点，下列说法正确的是A.BD1上B1Ccl 8 B 三棱锥A 1-MB心的体积是一3 C 点N到平面A戊C的距离是迈D 该正方体外接球的半径与内切球的半径之比是我.:1 l2 若方程I ln x+Zx-21=a有两个根Xt,x2(x1 x2)，则c
5、沙.，B .、j.户身勿，、，、尸,、,N.,M,、DIK.f J卜，l，；，D,，、尸坠IA A A 父2 l r 旁C.x心1旦3 D.生e奇Xt 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13心 2i一1-2i+l-14已知函数f（上）一二22十气在(1,2).t单调递减，则a的取值范围为争一夕15在Lc,ABC中，AB气，乙C=30，则ABAC的取值范围是 16:：这个是：二二二言三：平一月底面，正四棱锥的侧棱长为3项，底面边长为6，正四棱柱的底 气勹面边长为2我，A,B,C是正四棱锥的侧棱和正四棱柱的侧棱的、，产f、七冷笠交点，则B.C=_.A_三吵丈，l （高三数学第2页（共4
6、页川四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)7.（l0分）在等腰直角6ABC中，乙ABC=90,AB=S,P为丛ABC内一点，乙BPC=90.(1)若 cos乙CBP=，求AP;(2)若乙APB=l50气求tan乙PBA.18.(12分）已知函数 f釭）axsin x+cos x 在x3 玉处取得极值2(1)求a的值；(2)求f(x)在O，叶上的值域C.EC睿髦、一义：勹，A、气、一,:/，一，B 沁_(lg分）已知数列沁满足a,=-4,a,.-1-a,+1=211-9.(l)求沁的通项公式；(2)若b,=2、也，求数列仇的前n项和兀及其最小值21.(
7、12分）在6.ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b=2岛，c=4acos B,2sin Bcos C=矿十b2-(,.2.一一-a(1)求a;-9(2)若D为BC的中点，在AD上存在点P，使得PB PC=，求cos乙BPC的值4 骂归，分：已知函数怀心，心名李,.必？，红-;4怎、2ln召，斗立、气3、：岔i、(1)试讨论 f）的单调区间；(2)若f（心有两个零耟求a的取舶罚阰高三数学试卷参考答案1.A 全称量词命题的否定是存在储词命题2.B 因为 N=x 田艾 20=（,2)U(1，十），所以心(MUN)1,1.3.A 因为向橘 a=(l,2),b=(3,x)，所以 a-b=
8、（2,2 x)由 aj_(a b)，可得 a(a-b)=O，即2+2(2x)=O，解得 x=l，所以lbl=百4.D因为 sin acos3cos asin 3+l，所以 sin acos 3cos asin3sin(a3）1，则广胪号2k六，kEZ 因为 a 为第一象限角，所以p 为第四象限角5.D设等差数列a,的公差为 d，因为 al,a10,a25成等比数列，所以Cai+9d)2=ai Cai+24d),2a1ai+2a 1 a2 a1+d 27 29 解得 d=-故=27 al al a27.6.C 当 a=3,b=l时，满足 a+b4，但不满足 ab4 若 aO,bO，则 a+b2
9、Jc五 因为 ab况，所以 a+b2 旱况，即 a+b4，当且仅当 a=b=2时，等号成立 故“a+b4”是“ab4”的必要不充分条件7.B 因为经过 10 h 过滤后消除了 20 的污染物，所以 P。e-!Ok=80 凡，解得 k=当 P=50几时，50%P。=P。e呤，解得 t=-lOln 2=10In 0.8 2 log25 31.In 0.8 10.8.D 因为 f位1)为奇函数，所以 f(x1)f(Xl),f位）的图象关千点(1,0)对称，则 f(5)f(3),f(l)=O.因为 J(l2x)为偶函数，所以 f(l2x)=JC1+2立，f(x)的图象关于直线正1 对称，所以 J(3)
10、=f(l)=O，故 J(-5)=0.5 穴9.ACD f(x)的最小正周期为 2穴，对称轴为 1.=十妘，kEZ，对称中心为（互 十kTC,1),kE Z,6 3 5 六单调递增区间为互 2k穴，6 6+2k穴,kEZ.10.BC 对于 A，数列l是等比数列，不满足题意对于 B,a,1+l a,=1,a,+1 all为等差数列数列n不是等比数列，在n 中存在不相同的三项可以构成等比数列，满足题意对于 C,a,+1-a,=2n+1,a,+1-a,为等差数列数列们不是等比数列，在妒中存在不相同的三项可以构成等比数列，满足题意对于 D,a,+1 a,石言丁石，a，I a,-i不是等差数列，不满足题意
11、11.AC连接 BC,A1 C,，设 BC 1 与 B心交千点 0（图略）在正方体 ABCDA几GD 1 中，C1D1 J_平面 BB凡C，则 B 1CJ_C1 D 1 又因为 B1 CJ_BC1，所以比 CJ_平面 BD 1 C1，则 BD1J_高三数学参考答案第1页（共6页）】凡C,A 正确4 汽郧iC1=VM-A1 B1 Ci 了St:,A1 a1 c1 AA1=了,B 错误易得 AB/平面 A1B1C，所以点 N 到平面 A1队C 的距离即点 B 到平面 A1凡C 的距离易证 BC1上平面 A戊C，所以 BO 为点 B 到平面 A戊C 的距离易得 BO及，故点 N 到平面 A1B1C的
12、距离为及，C 正确1 该正方体外接球的半径 r)护十护22 岛，内切球的半径 r2=l，则该正方体外接球2 的半径与内切球的半径之比是岛一：l,D 错误12.BCD 易得函数 y=lnx+2x一2 在(0，十）上单调递增，且过点(1,0)函数 f(x)=I In x+2x21的简图如图所示由题意可 得 0 Xi l 0,f(X1)=f(X2)=a,即lnx2+2x2-2=a,CD In xi+2xi-2=a.y y=aOI x,I功尤因为 j.（1令）ln(1令）aa f(x2)，所以 1牙x2,A 错误令函数 g位）lnx 一x十1,g飞）气三 当 xE(0习）时，g飞）0，当 xECl,十
13、）时，g(x)O,所以 g位）在(0,1)上单调递增，在(1，十）上单调递减，所以 g(x):;gO)=O，即lnxx1，当且仅当 x=l 时，等号成立结合可得 Inx1+2x1 2=a1奇，B 正确结合CD可得 Inx2+2xz 2=a31n立，即x2e气所以x心2e气C正确因为 x1-1+1 心1号，所以 x广X1早 5a迈(D得 In 竺2(:rz-x1)=2aln竺2X，即战，D 正确工J工 161.I 3,4i Zi-1(2i1)(2i 1)3 I 4i 13-.5 5 2叶l=（2叶l)（2i l)5 5.14.(-oo,-4 因为 y沪是增函数，函数 y=x2+ax 在（00，a
14、 a）上单调递减，在（一2+oo）上单调递增，所以 一12，解得 a-4.AB 15.2,6 因为 AB=2，乙C=30，所以!:o.ABC 外接圆的半径R=。=2sin 30 2，故 C 为AABC 外接圆上一动点如图，当 C 位于 G 时，AC在AB上的投影 c,c2.-向撮与AB方向相反，模长最大 当 C 位于 G 时，AC(:EAB上的投影向械与；)）)AB方向相同，模长最大故ABAC的取值范围为-2,6.A 高三数学参考答案第2页（共6页）16.2 过点 B,C作垂直于正四棱锥底面的截面，如图所示，由题意可得DE=3厘 因为正四棱锥的底面边长为6，所以EF=6迈,DG=DE2-EG2
15、=6迈HI的长度为正四棱柱底面 正方形对角线的长度，即HI=4,JA=2 因为驾侵，所以DA=4,DJ=2 因为聋股，所以BJ=E l,BC=2.GF17.解：（l）由题意得cos乙ABP=cos(90乙CBP)=sin乙CBP=.4 在 Rt6ABC中，BP=BCcos乙CBP=3.2分故 AP2=BP2+AB2-2BP AB cos乙ABP=lO，所以AP=冗 4 分(2)设乙PBA=a,LBCP乙PBA=a,LBAP=30a,BP=ABsin乙BCP=5sin a.6 分在6ABP 中AB=BP，即b=,.sin乙APBsin乙BAP1sin 1 50 sin(30-a)8分化简得（1+
16、岛）sin a=cos a，即tan a=.j5-1 2 故 tan乙PBA=岛12.10 分18.解：（1)J(x)=a(xcos x+sin x)sin x.2 分3TC 3TC 因为f(x)在1.=处取得极值，所以f()a+l=O，解得a=l.2 2 经检验，a=l符合题意(2)由(1)可得/(x)=xcos x.：当0女亨时，f(x)0，当f:(x备时，f(x)0,所以f(x)在0，互）上单调递增，在互，六J上单调递减，.2 2 8分f(x)极大伯f（互）互22.10 分又f(O)=l,f忨）1,.11 分所以f(x)在O，六上的值域为-1分.12 分19.解：（l）连接CD 因为AB
17、=2，所以AD=l,CD=及-.1 分设 C 1E=CE=x，则DE2=CE气CD2=3+x2,A 1E2=A心C 1E2=4+x2,A 1D2=AD2+AAf=1+4x气.3 分因为DE_lA1E，所以DE2+A 1E2=A 1厅，即3+x2+4+x2=1+4x气解得x岛故 AA 1=2x=2岛 5 分81 ECl 皿，一，、,、_、,、一、,、,、l,、_,:：，人，、乞洽二A，8 X y【高三数学参考答案第 3 页（共 6 页）】(2)以D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角 坐标系，则A i(-1,0,2岛），E(0，点，万），A（1,0,0),C(O，万，0),.8分:,-X)DA=
18、(-1,0,2岛），DE=(O，岛，瓦），AC=（，万，0).设平面 A1DE的法向噩为n=(x,y,z),DA1 n=O,x+2平0,则厂千即取 z=1，则n（2瓦，I,!).DE n=O,点y+岛z=O.设直线AC 与平面 A1DE所成的角为0,则叩e=I cos4时，T,+T,=(n4)2，一20，即T,:-,.T,;当n4时，T，十1-T,=(n4).211-20，即T记,因为PB.PC=（PD+DB)（丙5+茂）I百汁|五汗IPD尸 1 旦，解得PD=4 勹，.夕.-.,.8分且 cos乙CDA灼气吓，是在 9分13平所以在DPCD中，PC2=CD2+PD22CD PDcos乙CDA
19、=-，解得PC=,4 2.,.,.,.、.、.10分21 在L,PBD中，p仔BD2+PD22BD PDcosLBDA=，解得pB=.4 2 11分故cos乙BPCPB PC 3酰=-“.，.12分|PB|PC|91.解法二：过点P作PE上BC，垂足为点E（图略）因为LPDEv.LADC，所以钮亡停，即DE 瓦尸.,.7分酰声砰画（陓瓦）匠尸祠豆PE 一（即气互）（CD-瓦PE9 6 一），解得PE岛，4 乒.尸爹仓.9分1 3 所以DE=上,CE=l-DE=,BE=l+D贮，2 2 2 平所以PC=PE2+CE2=,PB=PE2+BE2=.2 2 10分故 cos乙BPC=丙冗;3迈丙夏.-
20、=91.12分IPBI IPCI 22 解：（l)f(x)的定义域为（0，十=).高三数学参考答案第5页（共6页）f(x)=2(ax2-2x1).1 分X 当aO 时，a正2xlO 在（0，十）上恒成立，即/(x)O时，令ax22xl=O，心 4+4aO,解得x1+,/I=言1-,II=亏l=a 0,x 2=a 0.1十二1+Jl+a 当xE(0,）时，f(x)O.a a 故 f釭）在(0,1+二1十JT言a)上单调递减，在(a+=）上单调递增4 分1+Jf=曰1+Jf=曰综上，当aO 时，f(x)在（0，十）上单调递减；当aO 时，f位）在(0,）上单调递减，在（a a,=）上单调递增5 分
21、(2)由(1)可得，当aO 时，f(x)在(0.+3)上单调递减，f(x)最多只有1个零点6 分当aO时，f(x)的最小值为J丘）若f(x)有两个零点，则f(x 1)0.7 分因为axy-2x1-1=0，所以 a=2x1-,-1Xj 2x1+l J(x 1)=a式 4艾1-2lnx1+丑=2x1+1-4x1-2ln x1+=2x 1-2ln x 1+2xi+l3 3对3xf+1.8 分令函数u(x)=-2x21nx+2x+1 2 2x+2=3x2+1,U1位）2;3x3 l，即aEC0,3)时，f(X1)0.10 分令函数g(x)=lnx艾1，旷(x)=.1-x X 当xE(O,l)时，矿（心0；当x.E(1，十oo)时，矿（心0.所以g(x)在(0,1)上单调递增，在（1，十oo)上单调递减，所以 g(x)g(l)=O，即Inxx-1.f(x)=ax24x-2ln x奇ax24x+22x奇a正 6x+2宁.11 分令函数h(x)=ax2-6x+2奇,h(0)=2号0,h(x1)f(x 1)0,:lx3E(X1,十oo),h(x3)0,即:Ix王(0,x1),f(x2)O,:I X3 E Cx1,+00),f(x3)O,所以当x 1l，即aEC0,3)时，f(x)有2个零点综上，若f(x)有两个零点，则a的取值范围为(0,3).12 分【高三数学参考答案第6页（共6页）
