1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时提升作业 三十四数列的综合应用(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2014北京高考)设an是公比为q的等比数列,则“q1”是 “an为递增数列”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选D.当a11时,an是递减数列;当an为递增数列时,a10,0q0,q1.因此,“q1”是“an为递增数列”的既不充分也不必要条件.【加固训练】(2016南昌模拟)在公差不为0的等差数列an中,2a3-+2a11=
2、0,数列bn是等比数列,且b7=a7,则b6b8=()A.2B.4C.8D.16【解析】选D.因为an是等差数列,所以a3+a11=2a7,所以2a3-+2a11=4a7-=0,解得a7=0或4,因为bn为等比数列,所以bn0,所以b7=a7=4,b6b8=16.2.设y=f(x)是一次函数,若f(0)=1,且f(1),f(4),f(13)成等比数列,则f(2)+f(4)+f(2n)等于()A.n(2n+3)B.n(n+4)C.2n(2n+3)D.2n(n+4)【解析】选A.由题意可设f(x)=kx+1(k0),则(4k+1)2= (k+1)(13k+1),解得k=2,f(2)+f(4)+f(
3、2n)=(22+1)+(24+1)+(22n+1)=2n2+3n=n(2n+3).3.已知正项等差数列an满足:an+1+an-1=(n2),等比数列bn满足:bn+1bn-1=2bn(n2),则log2(a2+b2)=()A.-1或2B.0或2C.2D.1【解析】选C.由题意可知,an+1+an-1=2an=,解得an=2(n2)(由于数列an每项都是正数),又bn+1bn-1=2bn(n2),所以bn=2(n2),log2(a2+b2)=log24=2.4.(2016烟台模拟)莱因德纸草书是世界上最古老的数学著作之一.书中有这样一道题目:把100个面包分给5个人,使每人所得成等差数列,且使
4、较大的三份之和的是较小的两份之和,问最小的一份为()A.B.C.D.【解析】选A.设五个人所分得的面包为a-2d,a-d,a,a+d,a+2d(其中d0),则(a-2d)+(a-d)+a+(a+d)+(a+2d)=5a=100,所以a=20,由(a+a+d+a+2d)=a-2d+a-d,解得d=,所以最小1份为a-2d=20-=.5.已知数列an满足3an+1+an=4(n1),且a1=9,其前n项和为Sn,则满足不等式|Sn-n-6|的最小整数n的值为()A.5B.6C.7D.8【解析】选C.由已知式子变形得3(an+1-1)=-(an-1),则an-1是以8为首项,-为公比的等比数列,则|
5、Sn-n-6|=|an-1+an-1-1+a1-1-6|=6250,故满足条件的最小整数n的值为7.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2016茂名模拟)各项都是正数的等比数列的公比q1,且a2,a3,a1成等差数列,则的值为.【解析】an的公比为q(q0且q1),由a3=a2+a1,得q2-q-1=0,解得q=,而=.答案:7.(2016常德模拟)已知数列an的前n项和为Sn,对任意nN*都有Sn=an-,若1Sk1),即an=-=an-an-1,整理得:=-2(n1),所以an是首项为-1,公比为-2的等比数列,Sk=,因为1Sk9,所以19,即4(-2)k0恒成立求解.【解析】(1)
6、设公差为d,由S3=9,=a3a8,得:解得:a1=2,d=1.所以an=n+1,Sn=+n.(2)由题知cn=n2+(n+1),若使cn为单调递增数列,则cn+1-cn=(n+1)2+(n+2)-=2n+1+0对一切nN*恒成立,即:-2n-1对一切nN*恒成立,又(n)=-2n-1是单调递减的,所以当n=1时,(n)max=-3,所以-3.【加固训练】(2016武汉模拟)已知单调递增的等比数列an满足:a2+a3+a4=28,且a3+2是a2,a4的等差中项.(1)求数列an的通项公式.(2)若bn=anloan,Sn=b1+b2+bn,求Sn+n2n+162成立的正整数n的最小值.【解析
7、】(1)设等比数列an的首项为a1,公比为q,依题意,有2(a3+2)= a2+a4,代入a2+a3+a4=28,可得a3=8,所以a2+a4=20,所以解得或又数列an单调递增,所以q=2,a1=2,所以数列an的通项公式为an=2n.(2)因为bn=2nlo2n=-n2n,所以Sn=-(12+222+n2n),2Sn=-,两式相减,得Sn=2+22+23+2n-n2n+1=2n+1-2-n2n+1,所以Sn+n2n+162,即2n+1-262,即2n+164=26,所以n+16,从而n5,故正整数n的最小值为6.所以使Sn+n2n+162成立的正整数n的最小值为6.(20分钟40分)1.(
8、5分)(2016济宁模拟)已知a,b,c成等比数列,a,m,b和b,n,c分别成两个等差数列,则+等于()A.4B.3C.2D.1【解析】选C.由题意得b2=ac,2m=a+b,2n=b+c,则+=2.【一题多解】解答本题,还有以下解法:特殊值法:选C.因为a,b,c成等比数列,所以令a=2,b=4,c=8,又a,m,b和b,n,c分别成两个等差数列,则m=3,n=6,因此+=+=2.2.(5分)(2016烟台模拟)学校餐厅每天供应500名学生用餐,每星期一有A,B两种菜可供选择.调查表明,凡是在这星期一选A菜的,下星期一会有20%改选B菜;而选B菜的,下星期一会有30%改选A菜,用an表示第
9、n个星期一选A菜的人数,如果a1=428,则a4的值为()A.324B.316C.304D.302【解析】选B.依题意有:an=an-1+(500-an-1)=an-1+150(n2,nN*),即an-300=(an-1-300)(n2,nN*),an=128+300,因此a4=128+300=316.【加固训练】根据市场调查结果,预测某种家用商品从年初开始的n个月内累积的需求量Sn(单位:万件)近似地满足Sn=(21n-n2-5)(n=1,2,12).按此预测,在本年度内,需求量超过1.5万件的月份是()A.5月,6月 B.6月,7月C.7月,8月D.8月,9月【解析】选C.设第n个月的需求
10、量为an,因为从年初开始的n个月内累积的需求量为Sn(n=1,2,3,12).所以当n2时,an=Sn-Sn-1=(21n-n2-5)-=(-n2+15n-9).当n=1时,a1=S1=,适合上式,综上可知,an=(-n2+15n-9).令an1.5,即(-n2+15n-9)1.5,解得6n9.又n的取值为1,2,3,12,所以n=7或n=8.3.(5分)(2016太原模拟)已知函数f(x)=log2x,若数列an的各项使得2,f(a1),f(a2),f(an),2n+4成等差数列,则数列an的前n项和Sn=.【解析】设等差数列的公差为d,则由题意,得2n+4=2+(n+1)d,解得d=2,于
11、是log2a1=4,log2a2=6,log2a3=8,从而a1=24,a2=26,a3=28,.易知数列an是等比数列,其公比q=4,所以Sn=(4n-1).答案:(4n-1)4.(12分)已知数列an的前n项和为Sn,且满足a1=,an=-2SnSn-1(n2).求证:+-.【证明】因为an=-2SnSn-1(n2),所以Sn-Sn-1=-2SnSn-1(n2).两边同除以SnSn-1,得-=2(n2),所以数列是以=2为首项,以d=2为公差的等差数列,所以=+(n-1)d=2+2(n-1)=2n,所以Sn=.将Sn=代入an=-2SnSn-1,得an=因为=(n2),=,所以当n2时,+
12、=+,nN*,所以当n2时,=.即Tn,n2.又当n=1时,T1=成立,综上,当nN*时,Tn成立.5.(13分)我们在下面的表格内填写数值:先将第1行的所有空格填上1;再把一个首项为1,公比为q的数列依次填入第一列的空格内;然后按照“任意一格的数是它上面一格的数与它左边一格的数之和”的规则填写其他空格.第1列第2列第3列第n列第1行1111第2行q第3行q2第n行qn-1(1)设第2行的数依次为B1,B2,Bn,试用n,q表示B1+B2+Bn的值.(2)设第3列的数依次为c1,c2,c3,cn,求证:对于任意非零实数q,c1+c32c2.【解析】(1)B1=q,B2=1+q,B3=1+ (1+q)=2+q,Bn=(n-1)+q,所以B1+B2+Bn=1+2+(n-1)+nq=+nq.(2)c1=1,c2=1+(1+q)=2+q,c3=(2+q)+(1+q+q2)=3+2q+q2,由c1+c3-2c2=1+3+2q+q2-2(2+q)=q20,得c1+c32c2.关闭Word文档返回原板块
